福建省普通高中2021-2022学年高二1月学业水平合格性考试数学试题(含答案解析).docx

福建省普通高中 2021-2022 学年高二 1 月学业水平合格性考试数学试题学校: 姓名： 班级： 考号： 一、单选题试卷第 5 页，共 5 页2,0,11已知集合 A = -2,0,1, B = 0,1,2，则 A A0,1BB = （）2,0,1,2C0,1,2 D2. 某简单几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A球B圆锥C圆台D圆柱3直线 y = 3x + 1 的倾斜角是（）A. p6B. p3C. 2p3D. 5p64. 函数 y = log (3x - 2)的定义域是（）2A æ -¥, 2 öB æ 2 , +¥ öC (0, +¥ )D R33ç÷ç÷èøèø5. 随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为奇数的概率是（）A. 16B. 13C. 12D. 236. 等差数列a 中，若a = 4 ，公差d = 2 ，则a= （）n15A10B12C14D22í7已知函数 f (x)= ìx2 - 2, x 0, 则 f (f (1)= （）A4î 2x , x < 0,B2C 1D -128. 已知sina = 3 ，且a 为第一象限角，则cosa = （）5A. 45B. - 45C. 34D. - 349. 函数 f (x)= 2x + 3x - 4 的零点所在的区间是（）A (-1,0 )B (0,1)C (1,2 )D (2,3 )10. 函数 y = sin 2x 的最小正周期是（）A. p2BpC 2pD 4p11. 如图，在长方体体 ABCD - A B C D 中， E, F 分别是棱BB , B C 的中点，以下说法1 1 1 111 1正确的是（）A. A E平面CC D D11 1B. A E 平面 BCC B11 1C. A E D F11D. A E D F1112. 函数y = x + 1 的图象大致为（）ABCDx13. 为了得到函数 y = sin æ x + p ö +1的图象，只需把函数 y = sinx 的图象（）ç÷3èøA. 向右平移p 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度3B. 向右平移p 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度3C. 向左平移p 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度3D. 向左平移p 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度314. 已知a = log 4,b = log 2, c = log1 测a, b, c 的大小关系是（）3A a < b < cC a < c < b32 3B c < a < bD c < b < a15. 下列各组向量中，可以用来表示向量a = (3,5 )的是（）A. e1= (0,0 ), e2= (1,-2)B e = (1,2 ), e = (-1, -2)1C e12= (2,3 )， e2= (4,6 )D e1= (1,3 ), e2= (2, -1)二、填空题16. 数列a 的前几项和为Sn，且an1= 1,an+1= 2an，则， S4= 3,17. ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，且a =A = 60 , B = 45 ，则b = 18. 已知向量a 与b 满足 a = 5, b = 4 ，且a × b = 10 ，则a 与b 的夹角等于 19. 一车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所需的时间，为此进行了多次试验，收集了加工零件个数x 与所用时间 y （分钟）的相关数据，并利用最小二乘法求得回归方程 y = 0.67x + 55 据此可预测加工 200 个零件所用的时间约为 分钟20. 某工厂要建造一个容积为9m 3的长方体形无盖水池如果该水池池底的一边长为1m ，池底的造价为每平方米 200 元，池壁的造价为每平方米 100 元，那么要使水池的总造价最低，水池的高应为 m 三、解答题21. 在平面直角坐标系中，角a 的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重ç÷合，终边交单位圆于P 点æ 3 , 4 ö.5 5èø(1) 求sin (p -a)的值；(2) 求tan æ p +a ö 的值ç÷4èø22. 某校高三年级共有学生 1000 名该校为调查高三学生的某项体育技能水平，从中随机抽取了 100 名学生进行测试，记录他们的成绩，并将数据分成6 组：40,50),50,60),90,100，整理得到频率分布直方图，如图(1) 若a = 0.002,b = 0.006 ，估计该校高三学生这项体育技能的平均成绩；(2) 如果所抽取的 100 名学生中成绩分布在区间60,70 ) 内的有 8 人，估计该校高三学生这项体育技能成绩低于 60 分的人数23. 如图，在三棱锥P - ABC 中，平面PAC 平面 ABC , AC BC(1) 求证：PA BC ；(2) 若 PA = PC = BC = 2, Ð BAC = 30 ，求三棱锥P - ABC 的体积.24. 已知函数 f (x)= ex - e- x , g (x)= ex + e- x 22(1) 从 f (x),g (x)中选择一个函数，判断其奇偶性，并证明你的结论；(2) 若函数h (x)= f (x)- ag (x)有零点，求实数a 的取值范围25. 已知圆C 过点 A(1,2 ), B (2,1)，且圆心C 在直线 y = -x 上P 是圆C 外的点，过点P 的直线l 交圆C 于M , N 两点(1) 求圆C 的方程；(2) 若点P 的坐标为(0,-3)，求证：无论l 的位置如何变化 PM × PN 恒为定值；(3) 对于（2）中的定值，使 PM × PN 恒为该定值的点P 是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点P 的集合（不必证明）参考答案：1A【解析】【分析】根据集合交集的定义即可求解.【详解】解：因为集合 A = -2,0,1, B = 0,1,2， 所以 AB = 0,1，故选：A.2D【解析】【分析】由几何体的三视图可得该几何体为圆柱，从而即可得答案.【详解】解：由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是球、圆锥、圆台，故选项A、B、C 错误， 因此该几何体为圆柱，即选项D 正确，故选：D.3B【解析】【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，从而求出倾斜角q【详解】3因为： y = 3x + 1 ，所以：k=由于： k = tanq ，则tanq = 3 ，即：q = p3故选：B.【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系4B【解析】答案第 11 页，共 11 页【分析】根据真数大于零，即可解出【详解】由3x - 2 > 0 解得： x > 2 3故选：B5C【解析】【分析】分别求出点数向上的结果数和向上的点数为奇数的结果数，由古典概率可得答案.【详解】随机投掷一枚质地均匀的骰子，点数向上的结果有6 种，其中向上的点数为奇数的有 3 种所以出现向上的点数为奇数的概率是3 = 162故选：C 6B【解析】【分析】根据等差数列的性质直接计算即可.【详解】由等差数列的性质可知： a5= a + 4d = 4 + 4 ´ 2 = 12 ；1故选：B.7C【解析】【分析】根据分段函数的定义即可求解.【详解】í解：因为 f (x)= ìx2 - 2, x 0 ，所以 f (1) = 12 - 2 = -1，î 2x , x < 0所 以 f (f (1)= f (-1)= 2-1 = 1 ，2故选：C.8A【解析】【分析】根据三角函数值在各象限的符号以及平方关系即可解出【详解】因为a 为第一象限角， sina = 3 ，所以cosa =1- sin2a= 4 55故选：A9B【解析】【分析】根据函数零点存在定理即可判断.【详解】解：因为 f (x)= 2x + 3x - 4 为R 上的增函数，又 f (0)= 20 + 3 ´ 0 - 4 = -3 < 0 ，f (1) = 21 + 3 ´1 - 4 = 1 > 0 ，所以函数 f (x)= 2x + 3x - 4 的零点所在的区间是(0,1)， 故选：B.10B【解析】【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式即可得出答案.【详解】解：由函数 y = sin 2x ，则最小正周期T = 2p = p .2故选：B.11A【解析】【分析】对 A：由平面 ABB A平面CC D D ，然后根据面面平行的性质定理即可判断；1 11 1对 B：若 A E 平面 BCC B ，则 A E BB ，这与 A E 和 BB 不垂直相矛盾，从而即可判11 11111断；对 C、D：以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，由A E 与 D F 不是共线向量，且A E × D F = b211> 0 ，从而即可判断.11【详解】解：对A：由长方体的性质有平面ABB A平面CC D D ，又 A E Ì 平面 ABB A ，所以1 11 111 1A E平面CC D D ，故选项A 正确；11 1对 B：因为 E 为棱 BB 的中点，且 A B BB ，所以 A E 与 BB 不垂直，11 1111所以若 A E 平面 BCC B ，则 A E BB ，这与 A E 和 BB 不垂直相矛盾，故选项B 错误；11 11111对 C、D：以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 DA = a, DC = b, DD= c ，则 A = (a,0, c)， E æ a, b, c ö ， D (0,0, c)， F æ a , b, c ö ，ç÷ç÷11è2 ø1è 2ø所以 A E = æ 0, b, - c ö ， D F = æ a , b, 0 ö ，ç÷ç÷1è2 ø1è 2ø因为 A E 与 D F 不是共线向量，且 A E × D F = b2 > 0 ，1111所以 A E 与 D F 不平行，且 A E 与 D F 不垂直，故选项C、D 错误.1111故选：A.12A【解析】【分析】根据函数y = x + 1 的奇偶性以及值域即可解出x【详解】因为 y = f (x)= x + 1 的定义域为x | x ¹ 0，且 f (-x)= - f (x)，所以函数y = x + 1 为奇函x数，其图象关于原点对称，所以排除C；又当 x > 0 时， y = x +等号，所以排除B，D 故选：A13C【解析】【分析】由三角函数图象变换求解【详解】要得到函数 y = sin æ x + p ö +1，x1 ³ 2 ，当且仅当 x = 1 时取x3ç÷èøp需把函数 y = sinx 的向左平移个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，3故选：C 14D【解析】【分析】运用对数的性质直接判断即可.【详解】a = log34 > 1 ， 0 < b = log32 < 1， c = log1 = - log2 323 < 0 ，a > b > c ； 故选：D.15D【解析】【分析】在平面向量中能作为基底的充分必要条件是一组不平行的非零向量，按照这个条件逐项分析即可.【详解】对于A， e1= (0,0 ) 是零向量，不可以；对于B， e1= -e21，是平行向量，不可以；对于C， e =e12 2，是平行向量，不可以；对于D，不存在实数l 使得e = l e成立，是一组不平行的非零向量，可以；12故选：D.1615【解析】【分析】按照等比数列写出通项公式和求和公式计算即可.【详解】an+1= 2an，a 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，nS = a ´411- q4 = 1´ 1- 24 = 151- q1- 22故答案为 15. 17【解析】【分析】直接运用正弦定理计算即可.【详解】由正弦定理得： a=22b,b = a ´ sin B = 3 ´ sin 45° = 3 ´ 2 =；故答案为：18 p # 60°3【解析】【分析】sin Asin Bsin Asin 60°322.直接用数量积的定义求夹角即可.【详解】依题意， cos故答案为： p .3= 1 ，与pab的夹角为；3a,b = a b = 10a b5´ 4219189【解析】【分析】根据回归方程 y = 0.67x + 55 即可求解.【详解】解：因为回归方程 y = 0.67x + 55 ，所以当 x = 200时， y = 0.67 ´ 200 + 55 = 189 ，所以可预测加工 200 个零件所用的时间约为 189 分钟， 故答案为：189.203【解析】【分析】写出底边长和高的关系式，运用基本不等式运算即可.【详解】由题意，设底面另一边长为 x，高为 y，则有 xy = 9 ，总造价为S = 200 x + 2 ´100 y + 2 ´100 xy = 200 x + 200 y +1800³ 2´ 200 xy +1800 = 3000 ，当且仅当 x=y=3 时等号成立， 故答案为：3.21(1) 45(2)-7【解析】【分析】先求出 sin a 和tan a ，在根据诱导公式和两角和正切公式计算即可. (1)4由题意， sina = 4 , tana = 5 = 4 ，sin (p -a )= sina = 4 ；53355(2)ptan p + tana1+ 4ç÷tan æ4+a ö =4 p=3 = -7 ；4èø1- tantana1- 43综上， sin (- a )= 4 , tan æ p + a ö = -7 .22(1)80.4 (2)20【解析】【分析】ç÷45èø（1） 根据直方图所给出的数据求平均数即可；（2） 根据直方图面积等于 1，求出 a，再将频率作为概率计算即可. (1)由直方图可知：平均成绩x = 45´ 0.02 + 55´ 0.02 + 65´ 0.06 + 75´ 0.4 + 85´ 0.3 + 95´ 0.2 = 80.4 ，即平均成绩为 80.4；(2)由于在60,70 ) 内有 8 人，b = 0.008 ，a=0.001， 低于 60 分的人数约为2´ 0.001´10´1000 = 20 人；综上，平均成绩约为 80.4 分，低于 60 分的人数约为 20 人.23(1)证明见解析(2) 2 33【解析】【分析】（1） 根据面面垂直的性质定理可得BC 平面 PAC ，从而即可得证 PA BC ；（2） 由三棱锥P - ABC 的体积VP- ABC= 1 S 3BC 即可求解.´APC(1)证明：因为平面PAC 平面 ABC , AC BC ，平面 PAC平面 ABC = AC ， BC Ì平面ABC ，所以 BC 平面 PAC ，又 PA Ì 平面 PAC ， 所以 PA BC ；(2)解：由（1）知 BC 平面 PAC ，所以BC AC ，又 BC = 2, Ð BAC = 30 ，所以 AC = 2 3 ，3()2因为 PA = PC = 2 ，所以cos ÐAPC =22 + 22 - 22 ´ 2 ´ 2= - 1 ，21 - cos2 ÐAPC所以sin ÐAPC =所以S= 1 ´ 2 ´ 2 ´=，323 = 3 ，APC22所以三棱锥P - ABC 的体积VP- ABC= 1 S 3BC = 1 ´ 3 ´ 2 = 2 3 .´APC3324(1)若选 f (x)，则 f (x)为奇函数；若选g (x)，则 g (x)为偶函数. (2) (-1,1)【解析】【分析】（1） 根据函数奇偶性的定义即可求解；（2） 将原问题等价转化为方程a = 1 -2有解，求出 y = 1-2的值域即可得答案.(1)e2 x + 1e2 x +1解：若选 f (x)，则 f (x)为奇函数，证明如下：因为 f (-x)= e- x - ex = - f (x)且定义域为R，2所以 f (x)为奇函数；若选 g (x)，则 g (x)为偶函数，证明如下：因为g (- x )= e- x + ex = g (x )且定义域为R，所2以 g (x)为偶函数；(2)解：因为函数h (x)= f (x)- ag (x)有零点，所以方程ex - e- x - a ´ ex + e- x= 0 ，即a = ex - e- x= e2 x - 1 = 1 -2有解，22ex + e- xe2 x + 1e2 x + 112因为e2 x > 0 ，所以e2 x + 1 > 1， 0 << 1，所以-1 < 1 -< 1，e2 x + 1e2 x + 1所以-1 < a < 1，即实数a 的取值范围(-1,1). 25(1) x2 + y2 = 5(2)4(3)不唯一， P (a,b)(a,b Î R) .【解析】【分析】（1） 联立 AB 垂直平分线方程与 y=-x，求得圆心和半径即可；（2） 设过 P 点的直线方程，与圆 C 方程联立，按照两点距离公式计算即可；（3） 设点 P 的坐标和过点 P 的直线方程，与圆 C 的方程联立，再用两点距离公式计算即可. (1)B 两点的中点为æ 3 , 3 ö，斜率为k= 1- 2 = -1 ， AB 垂直平分线的斜率为 1，2 2ç÷èø垂直平分线的方程为：y=x，AB 2 -112 + 225í联立方程ì y = x，解得 x=0，y=0， 圆心为（0,0），半径为r =，î y = -x圆 C 的方程为： x2 + y2 = 5 ；(2)如图：55PN = 4若 MN 斜率不存在，则 PN = 3 -， PM = 3 +， PM；ìx2 + y2 = 5若 MN 斜率存在，设为 k，则 MN 直线方程为 y=kx-3，联立方程： í，î y = kx - 3()解得： 1+ k 2 x2 - 6kx + 4 = 0 ，12(1+ k 2 )x 2 ,1设 M (x , y ), N (x , y ) ，则 x + x= 6k , x x =4，1 122x 2 + (y + 3)211PM =()1+ k 21 2(1+ k 2 )x 22PN =1+ k 2，PM PN = 1+ k 2 x x= 4 ，1 2即不论 MN 斜率是否存在PM(3)，为定值 4；PN = 4ìx2 + y2 = 5不妨设 P（a,b），当 MN 斜率不存在时，联立方程： íî，x = a5 - a2解得： y = ±， PM PN =5 - a2 - b - 5 - a2 - b = a2 + b2 - 5 ；若 MN 斜率存在，设为 k，则直线 MN 的方程为 y = kx + (b - ak ) ，ìïx2 + y2 = 5()()()î联立方程： íï y = kx +x =2(b - ak )2 - 5 1+ k 22k (b - ak )(b - ak )，解得： 1+ k 2 x2 + 2kb - akx + b - ak2 - 5 = 0 ，x + x = -, x，PN = (1+ k 2 )(x - a )21(1+ k 2 )(x - a )2 = (1+ k 2 ) x x - a (x + x )+ a221 212121+ k 21PM= a2 + b2 - 5 ，即不论 P 点在何处，MN 的斜率是否存在，PMPN = 4综上，圆 C 的方程为 x2 + y2 = 5 ， PMP (a,b)(a,b Î R) .+ b2 - 5 ，为定值；PN = a2，P 点不唯一，其集合为