2019九年级数学下册 第27章 圆本章总结提升同步练习 （新版）华东师大版.doc

1圆圆本章总结提升本章总结提升问题问题 1 1 与圆有关的概念与圆有关的概念 直径与弦有什么关系？弦与弧有什么区别？优弧与劣弧如何表示？长度相等的弧是等弧吗？ 例 1 有下列说法：圆中最长的弦不一定是直径；同一个圆中，优弧大于半圆周，劣弧 小于半圆周；等弧的长度一定相等；经过圆内一个定点可以作无数条弦；经过圆内一 个定点可以作无数条直径其中正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 问题问题 2 2 垂径定理及其推论垂径定理及其推论 你能说出垂径定理及其推论的内容吗？垂径定理常与哪些定理相结合解决问题？ 例 2 如图 27T1，CD为O的直径，弦AB交CD于点E，连结BD，OB，AC. (1)求证：AECDEB； (2)若CDAB，AB8，DE2，求O的半径图 27T12【归纳总结】应用垂径定理时应注意：定理中的“直径”是指过圆心的弦，但在实际应用 中可以不是直径，可以是半径、过圆心的直线或线段等；在利用垂径定理思考问题时，常 常把问题转化到由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中去解决问题问题 2 2 圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，两个相等的圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对 称性有什么联系？例 3 已知：如图 27T2，AB是O的直径，BC是弦，ODBC于点E，交于点D，连结BCAC，OC，CD，BD. (1)请写出六个不同类型的正确结论； (2)若BC4，DE1，求O的半径图 27T2【归纳总结】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中如果有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量也相等，这体现了转化思想 问题问题 4 4 圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论 圆周角的两个要素是什么？圆周角定理及其推论的内容是什么？这个定理及其推论可以解决 哪些类型的问题？ 例 4 如图 27T3，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交AC于点E，交BC于点D， 连结BE，AD交于点P.求证： (1)D是BC的中点； (2)BECADC； (3)AC·CE2PD·AD.图 27T33【归纳总结】圆周角定理及其推论的作用：由圆周角定理及其推论的条件和结论可知，应用 圆周角定理及其推论可以证明两角相等、两弧相等、一角(或弧)等于另一角(或弧)的 2 倍或 一半，判定圆的直径或直角三角形，求角或弧的度数等问题问题 5 5 圆内接四边形圆内接四边形 什么是圆内接四边形？它有什么性质？这个性质与圆周角定理有什么关系？例 5 如图 27T4 所示，四边形ABCD内接于O，F是上一点，且，连结CF并延CDDFBC长交AD的延长线于点E，连结AC.若ABC105°，BAC25°，则E的度数为( )图 27T4 A45° B50° C55° D60° 【归纳总结】圆内接四边形的性质是“圆内接四边形的对角互补” ，这个性质是由圆周角定 理推导出来的，其主要作用是计算角度，根据这个性质可以推出“圆内接四边形的外角等于 它的内对角” 问题问题 6 6 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 直线与圆有哪些位置关系？如何确定一条直线与一个圆是哪种位置关系？什么是圆的切线？ 切线的判定定理、切线的性质定理、切线长定理的内容各是什么？ 例 6 如图 27T5，O是ABC的外接圆，AC为直径，弦BDBA，BEDC交DC的延长 线于点E，连结AD. 求证：(1)1BAD； (2)BE是O的切线图 27T54【归纳总结】已知切线想性质，要证切线想判定；证明切线时，若明确已知直线与圆的公共 点，则用切线的判定定理，若未明确已知直线与圆是否有公共点，则考虑圆心到直线的距 离d与半径r是否相等；多条切线时，莫忘切线长定理问题问题 7 7 求不规则图形的面积求不规则图形的面积 什么是不规则图形？如何求与扇形有关的不规则图形的面积？求解过程体现了什么数学思想？例 7 如图 27T6，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC8，BD6，以AB为直径 作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( )图 27T6A256 B.6 C.6 D.625 225 625 8【归纳总结】计算平面图形的面积是初中几何常见的题型之一，其中计算不规则图形的面积 又是难点，在求与圆有关的不规则阴影部分的面积时，通常是运用转化思想将阴影部分的面 积转化为圆、扇形、三角形面积的和或差，对图形进行分解、组合，化不规则图形为规则图 形再求解问题问题 8 8 圆中的计算问题圆中的计算问题 圆锥的侧面展开图是什么形状的？展开图与圆锥各部分的对应关系如何？怎样计算圆锥的侧 面积与全面积？ 例 8 如图 27T7，一扇形纸片的圆心角AOB为 120°，弦AB的长为 2 cm，用它围3成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥的底面半径为( )图 27T7A. cm B. cm 2 32 3C. cm D. cm3 23 2问题问题 9 9 正多边形与圆正多边形与圆 正多边形与圆有什么关系？什么是正多边形的中心、半径、边心矩、中心角？如何进行正多 边形的相关计算？怎样利用正多边形与圆的关系画出正多边形？例 9 (1)已知：如图 27T8，ABC是O的内接正三角形，P为上一动点，求证：BCPAPBPC；(2)如图，四边形ABCD是O的内接正方形，P为上一动点，求证：PAPCPB；BC25(3)如图，六边形ABCDEF是O的内接正六边形，P为上一动点，请探究PA，PB，PC三BC者之间有何数量关系，并给予证明图 27T8【归纳总结】(1)各边相等的圆内接多边形是正多边形； (2) 各角相等的圆外切多边形是正多边形. 6教师详解详析教师详解详析 【整合提升】 例 1 1 解析 C 只有正确 例 2 2 解析 (1)根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等” ，可以得到这两个三角 形有两对角分别相等，然后根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明即可 (2)根据垂径定理，可以证明 E 为 AB 的中点，设O 的半径为 r，则 OEr2，根据勾股定 理可得一个关于 r 的方程，解方程即可 解：(1)证明：根据“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等” ，得 AD，CABD，AECDEB. (2)CDAB，CD 为O 的直径，BE AB4.1 2设O 的半径为 r.DE2， OEr2. 在RtOEB 中，由勾股定理，得 OE2BE2OB2， 即(r2)242r2，解得 r5， 即O 的半径为 5. 例 3 3 解析 (1) 此题是结论开放性问题由于 AB 是O 的直径，所以ACB90°(直径 所对的圆周角是直角)进一步可得 AC2BC2AB2，或AABC90°；因为 ODBC 于点 E，交于点 D，所以 CEBE，CDBD，(垂径定理)，OE2BE2OB2.进一步可得BCCDBD到：CODBOD，A COBCODBOD(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周1 2角等于该弧所对的圆心角的一半)；还可以得到 ACOD，BOD 是等腰三角形等(2)在RtOBE 中，根据垂径定理和勾股定理可以求出半径 解：(1) 答案不唯一，如：BECE，BED90°， BODA，ACOD，ACBC，OE2BE2OB2，BOD 是等腰三角形等 (2)设O 的半径为 r，则 OBr, OEr1. ODBC，BECE BC2.1 2在RtOBE 中，OE2BE2OB2, (r1)222r2，解得 r .5 2故O 的半径为 .5 2例 4 4 解析 (1)根据等腰三角形三线合一的性质证明； (2)两个三角形有一个公共角，只要再证明一对对应角相等即可； (3)由 AC·CE 联想到BECADC.再由 PD·AD 联想到证明BPDABD，综合可得 AC·CE2PD·AD. 证明：(1)AB 是O 的直径， ADB90°，即 ADBC.7又ABAC，D 是 BC 的中点 (2)在BEC 与ADC 中， CC，CBECAD，BECADC.(3)BECADC，.BC ACCE CDD 是 BC 的中点，2BD2CDBC，则 2BD2AC·CE.2BD ACCE BDABAC，ADBC，CADBAD. 又CADCBE， CBEBAD. 又BDPADB，BPDABD，则 BD2PD·AD.BD ADPD BD由得 AC·CE2BD22PD·AD， AC·CE2PD·AD. 例 5 5 解析 B 因为四边形 ABCD 内接于O，所以ADC180°ABC180°105°75°.因为，所以DCEBAC25°.因为ADCDCEE，所以DFBCEADCDCE75°25°50°.故选B. 例 6 6 证明：(1)BDBA， BDABAD. 又1BDA，1BAD. (2)如图，连结 BO，AC 为O 的直径， ABC90°. BADBCD180°， 1BCD180°. OBOC， 1CBO， CBOBCD180°，OBDC. BEDC，BEOB. 又OB 是O 的半径，BE 是O 的切线 例 7 7 解析 D 由菱形的性质，在RtABO 中，易得 AB5，于是以 AB 为直径的半圆的面积为 ··( )2，阴影部分的面积为以 AB 为直径的半圆的面积减去RtABO 的面积，1 25 225 8即6.25 88点评 求不规则图形的面积的主要方法是将图形分割成规则图形，然后求出各规则图形的 面积，再用它们的和或差求不规则图形的面积 例 8 8 解析 A 由AOB 为 120°，弦 AB 的长为 2 cm，可以求出 OAOB2 cm，所以3扇形的弧长为×2，它等于圆锥的底面周长，即 2r×2，解得 r (cm)120 180120 1802 3例 9 9 解：(1)证明：如图，延长 BP 至点 E，使 PEPC，连结 CE.1260°， 3460°， CPE60°， PCE 是等边三角形， CEPC，E360°. 又EBCPAC， BECAPC， PAEBPBPEPBPC. (2)证明：如图，过点 B 作 BEPB 交 PA 于点 E.122390°， 13. 又易知APB45°， PBEB， PEPB.2又ABCB，ABECBP，PCEA， PAEAPEPCPB.2(3)PAPCPB.3证明：如图，在 AP 上截取 AQPC，连结 BQ.9又BAPBCP，ABCB， ABQCBP， QBPB. 又易知APB30°， PQPB，3PAAQPQPCPB.3