线性系统理论4能控性和能观性.ppt

第四章第四章 线性系统的线性系统的能控性和能观性能控性和能观性4.1 4.1 能控性和能观性的定义能控性和能观性的定义4.1.1 4.1.1 问题的提出问题的提出能控性问题能控性问题 已知某系统的当前时刻及已知某系统的当前时刻及其状态，试问是否存在一个容许控制，其状态，试问是否存在一个容许控制，使得系统在该控制的作用下于有限时使得系统在该控制的作用下于有限时间间后后到达某希望的待定状态？到达某希望的待定状态？能观性问题能观性问题 已知某系统及其在某时间已知某系统及其在某时间段上的输入和输出，试问可否依据这段上的输入和输出，试问可否依据这一时间段上的输入和输出决定系统这一时间段上的输入和输出决定系统这一时间段上的状态？一时间段上的状态？例例4.1.14.1.1 给给定系定系统统的状的状态态空空间间描述描述为为将其表将其表为标为标量方程量方程组组的形式，有的形式，有 而由始点达到原点，因而系而由始点达到原点，因而系统为统为完完全能控；但全能控；但输输出出 都可通都可通过选择过选择输输入入这这表明：状表明：状态变态变量量和和只能反映状只能反映状态变态变量量状状态变态变量量和和输输出出 既无直接既无直接联联系，也系，也无无间间接接联联系，所以系系，所以系统统是不完全能是不完全能观测观测的。的。，则则不不论电论电容的初始端容的初始端电压电压 。从。从电电路不路不难难看出：如果初看出：如果初始状始状态态例例4.1.2 考察考察图图4.1.1所示的所示的电电路，系路，系统统的状的状态变态变量量为电为电容端容端电压电压输输入入为电压为电压源源输输出出为电压为电压，那么不管，那么不管输输入入是什么，是什么，对对所有所有必恒有必恒有，即，即不受不受影响；影响；另一方面，如果另一方面，如果输输入入是多少，是多少，对对所有所有恒有恒有，即，即不能由不能由 反映。反映。这这表明，此表明，此电电路是路是状状态态不能控和状不能控和状态态不能不能观测观测的。的。转转移到任意目移到任意目标值标值，但，但不能将不能将例例4.1.3 考考虑图虑图4.1.2所示的两个所示的两个电电路。在路。在图图4.1.2（a）的的电电路中，两个状路中，两个状态变态变量量为为两两电电容的端容的端电压电压 能能够够做做到使到使和和，输输入入或者或者和和 分分别转别转移到不同的任意移到不同的任意目目标值标值。如若初始状如若初始状态态则则不不论论将将输输入入取取为为何种形式，何种形式，对对所有所有总总只能是只能是即不可能做到使即不可能做到使。这这表明此表明此电电路不完全能控。路不完全能控。在图在图4.1.2（b）的电路中，的电路中，如若取如若取输输入入，那么当两个状，那么当两个状态变态变量的初始状量的初始状态态且且为为任意任意值时值时，必定有，必定有也即也即对对所有所有总总是有是有 。这说这说明，明，此种情况下的此种情况下的电电路状路状态态运运动动是由是由输输出不能出不能反映的，所以此反映的，所以此电电路路为为不完全能不完全能观测观测。4.1.2 4.1.2 能控性的定义能控性的定义定义定义4.1.14.1.1 对于线性时变系统对于线性时变系统 是系是系统统在在如果对取定初始时刻如果对取定初始时刻 的一个非零的一个非零初始状态初始状态，存在一时刻，存在一时刻,和一个无和一个无约约束的容束的容许许控制控制 使得系使得系统统在在这这个控制的作用下，系个控制的作用下，系统统由由出出发发的运的运动轨动轨迹迹经过时间经过时间 后由后由 转转移到移到，则则称此称此 时时刻的一个能控状刻的一个能控状态态。定义定义 4.1.24.1.2 对于线性时变系统对于线性时变系统 上是完上是完全能控的。全能控的。如果状态空间中的所有非零状态都是在如果状态空间中的所有非零状态都是在 时刻的能控状态，则称该系统时刻的能控状态，则称该系统在时刻在时刻 是完全能控的。如果是完全能控的。如果对对于任何于任何，系统均是在，系统均是在 时刻为能控时刻为能控的，则称该系统在区间的，则称该系统在区间 定义定义4.1.34.1.3 对于线性时变系统对于线性时变系统 取定初始取定初始时时刻刻 如果状态空如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时间中存在一个或一些非零状态在时刻刻 是不能控的，是不能控的，则称该系统在则称该系统在时刻时刻 是不完全能控的。是不完全能控的。说明说明 4.1.14.1.1 定义中要求在可找到的输入定义中要求在可找到的输入 的作用下，使的作用下，使 上的一段有限时间内转移到状态空间的坐标上的一段有限时间内转移到状态空间的坐标系原点。而对于状态转移的轨迹并不加以限系原点。而对于状态转移的轨迹并不加以限制和规定。这就是说，能控性是表征系统状制和规定。这就是说，能控性是表征系统状态运动的一个定性特性。态运动的一个定性特性。说明说明4.1.24.1.2 定义中提到的所谓无约束的容定义中提到的所谓无约束的容许控制，无约束表示对输入的每个分量的许控制，无约束表示对输入的每个分量的幅值不加以限制，即可取为任意大到所要幅值不加以限制，即可取为任意大到所要求的值，容许控制则表示输入的所有分量求的值，容许控制则表示输入的所有分量均是在均是在 时刻的非零状态时刻的非零状态 在在上平方可上平方可积积的。的。来定义的，这对于来定义的，这对于时变系统是完全必要的。如果所考虑的时变系统是完全必要的。如果所考虑的为线性定常系统，则其能控与否和为线性定常系统，则其能控与否和 说明说明4.1.34.1.3 上述各定义中都是相对于上述各定义中都是相对于J J中的一个取定时刻中的一个取定时刻 时刻的选取无关。时刻的选取无关。说明说明4.1.44.1.4 上述定义中都规定为由非零状上述定义中都规定为由非零状态转移到零状态，如果将其变更为由零状态转移到零状态，如果将其变更为由零状态达到非零状态，则称这种情况为状态能态达到非零状态，则称这种情况为状态能达的。对于连续的线性定常系统，能控性达的。对于连续的线性定常系统，能控性和能达性是等价的。对于离散系统和时变和能达性是等价的。对于离散系统和时变系统，严格地说两者是不等价地的。可以系统，严格地说两者是不等价地的。可以出现这样的情况，系统是不完全能控的，出现这样的情况，系统是不完全能控的，但却是完全能达的。但却是完全能达的。说明说明4.1.54.1.5 系统为不完全能控的情况是系统为不完全能控的情况是一种一种“奇异奇异”的情况，系统中组成的情况，系统中组成元件元件的的参数值的很小的变动（这在实际情况中参数值的很小的变动（这在实际情况中是完全可能的）都可使其成为完全能控。是完全可能的）都可使其成为完全能控。所以对于一个实际的系统，系统为能控所以对于一个实际的系统，系统为能控的概率几乎等于的概率几乎等于1。换句话说，如果随机。换句话说，如果随机地选取系统地系数矩阵地选取系统地系数矩阵 和和 的元，那的元，那么使系统为完全能控的概率几乎等于么使系统为完全能控的概率几乎等于1。4.1.3 4.1.3 能观测性定义能观测性定义 能观测性表征系统的状态是否能观测性表征系统的状态是否可由系统的输入和输出完全反映。可由系统的输入和输出完全反映。定义定义4.1.44.1.4 对于线性时变系统对于线性时变系统 如果对取定初始时刻如果对取定初始时刻 的一个非零初的一个非零初始状态始状态上的系统输出上的系统输出 可以唯一地决定系统的初始状态可以唯一地决定系统的初始状态 为能观测的。为能观测的。，存在一个有限时刻，存在一个有限时刻，使得由区间，使得由区间，则称此，则称此 在时刻在时刻 定义定义 4.1.54.1.5 对于线性时变系统对于线性时变系统 取定初始时刻取定初始时刻 及一个非零初始状态及一个非零初始状态，如果对于任何有限时刻，如果对于任何有限时刻 均有均有 ,，则称此，则称此 在时刻在时刻 为不能观测的。为不能观测的。系统均是在系统均是在定义定义 4.1.64.1.6 对于线性时变系统对于线性时变系统 如果状态空间中所有状态都是时刻如果状态空间中所有状态都是时刻上是完全能观测的。上是完全能观测的。的能观测状态的能观测状态,则称系统在时刻则称系统在时刻观测的。如果对于任何观测的。如果对于任何 是完全能是完全能时刻为能观测的，则称系统在时刻为能观测的，则称系统在，如果状态空间，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻中存在一个或一些非零状态在时刻是不能观测的。则称系统在时刻是不能观测的。则称系统在时刻定义定义 4.1.74.1.7 对于线性时变系统对于线性时变系统 取定初始时刻取定初始时刻 是完全不能观测的。是完全不能观测的。4.2 4.2 线性时变系统的能控性判据线性时变系统的能控性判据 4.2.1 Gram4.2.1 Gram矩阵判据矩阵判据 的状的状态转态转移矩移矩阵阵。定理定理4.2.14.2.1 系系统统 在在时时刻能控的充分必要条件是刻能控的充分必要条件是存存在某个有限时刻在某个有限时刻，使得矩，使得矩阵阵 是正定的，是正定的，这这里里 是系统是系统 命命题题4.2.14.2.1 令令是任意一个能把系是任意一个能把系统统 的初始状的初始状态态控制到控制到的容的容许许控制，控制，则则 4.2.2 4.2.2 基于状态转移矩阵的判据基于状态转移矩阵的判据定理定理 4.2.24.2.2 假设假设 和和都是都是的的连续连续函数矩函数矩阵阵，则则系系统统 在在 时时刻能控的充分必要条件是存在某刻能控的充分必要条件是存在某个有限个有限时时刻刻，使得矩，使得矩阵阵在在 上行上行线线性独立，即性独立，即对对任意任意维维非零向量非零向量都有都有 4.2.3 4.2.3 基于系统参数矩阵的判据基于系统参数矩阵的判据定理定理 4.2.34.2.3 假设系统假设系统 令令 时时刻能控。刻能控。中的中的和和的每个元分的每个元分别别是是 和和一次一次连续连续可微函数，可微函数，记记如果存在某个如果存在某个时时刻刻，使得，使得，那么，那么该该系系统统在在4.3 4.3 线性定常系统的能控性判据线性定常系统的能控性判据4.3.1 4.3.1 定常系统能控性的特殊性定常系统能控性的特殊性引理引理4.3.14.3.1 设设定常定常线线性系性系统统在某在某 时时刻完全能控，刻完全能控，则则它必在它必在上完全能控。上完全能控。4.3.2 4.3.2 能控性矩阵判据能控性矩阵判据定理定理 4.3.14.3.1 定常线性系统定常线性系统能控的充分必要条件是能控的充分必要条件是:推推论论4.3.14.3.1 已知定常已知定常线线性系性系统统 如果系如果系统统矩矩阵阵的最小多的最小多项项式是式是次的，那么次的，那么该该系系统统能控的充分必要能控的充分必要条件是条件是:那么它能控的充分必要条件是那么它能控的充分必要条件是:推推论论4.3.24.3.2 设设定常定常线线性系性系统统是是单输单输入的，即入的，即 4.3.3 PBH4.3.3 PBH判据判据定理定理4.3.24.3.2 定常定常线线性系性系统统能控的充分必要条件是，能控的充分必要条件是，对对每个每个其中，其中，表示表示的特征的特征值值集合。集合。都有都有推推论论 4.3.34.3.3 定常定常线线性系性系统统能控的充分必要条件是它没有能控的充分必要条件是它没有输输入解耦零点。入解耦零点。能控的充分必要条件是，能控的充分必要条件是，对对于系于系统统矩矩阵阵的每个左特征向量的每个左特征向量推推论论4.3.44.3.4 定常定常线线性系性系统统,总总有有 的特征的特征值值（或者（或者说说系系统统的极点）的极点）进进行分行分类类。推推论论 4.3.54.3.5 系系统统能控的充分必要条件是能控的充分必要条件是 按照系按照系统统的能控性，可以的能控性，可以对对定常定常线线性系性系统统的系的系统统矩矩阵阵，并且，并且满满足足叫做叫做该该系系统统的一个不能控振型。的一个不能控振型。定定义义4.3.14.3.1 如果如果则则 系统的不能控振型必是系统的系统的不能控振型必是系统的极点极点,同时又是系统的零点。同时又是系统的零点。4.4 4.4 对偶原理与能观测性判据对偶原理与能观测性判据4.4.1 Gram4.4.1 Gram矩阵判据矩阵判据定理定理4.4.14.4.1 已知已知线线性系性系统统它在它在 时时刻完全能刻完全能观测观测的充分必要条件的充分必要条件是，存在某个有限是，存在某个有限时时刻刻，使得矩，使得矩阵阵 是正定的。是正定的。时时刻完全能控。刻完全能控。4.4.2 4.4.2 对偶原理对偶原理引理引理4.4.14.4.1 线线性系性系统统时时刻安全能控的充分必要条件是它的刻安全能控的充分必要条件是它的对对偶系偶系统统在在 的状的状态转态转移矩移矩阵阵是互是互为转为转置逆的关系。置逆的关系。时时刻完全能控刻完全能控测测的充分必要条件的充分必要条件是它的是它的对对偶系偶系统统的状的状态转态转移矩移矩阵阵和它的和它的对对偶系偶系统统定理定理4.4.24.4.2 （对对偶原理）系偶原理）系统统在在时时刻完全能控刻完全能控测测；系；系统统在在在在4.4.3 4.4.3 能观性判据能观性判据能能观观的充分必要条件是，存在某个有限的充分必要条件是，存在某个有限时时刻刻上列上列线线性独立，即性独立，即对对任意的非零向量任意的非零向量有有定理定理4.4.34.4.3 已知系已知系统统，假，假设设和和的的诸诸元均元均为连续为连续的，的，则则其在其在时时刻刻，使得矩，使得矩阵阵在在 定理定理4.4.44.4.4 已知系已知系统统，假，假设设 和和分分别别是是并令并令 如果存在某个如果存在某个时时刻刻那么系那么系统统和和一次一次连续连续可微的，可微的，记记:，使得，使得 在在时时刻是完全能刻是完全能观测观测的。的。定理定理4.4.54.4.5 定常定常线线性系性系统统能能观测观测的充分必要条件是的充分必要条件是:推推论论4.4.14.4.1 已知定常已知定常线线性系性系统统如果如果的最小多的最小多项项式是式是次的，那么系次的，那么系统统完全能完全能观测观测的充分必的充分必要条件是要条件是:推推论论4.4.24.4.2 已知定常已知定常线线性系性系统统是是单输单输入的，即入的，即 那么它完全能那么它完全能观测观测的充分必要条件是的充分必要条件是:定理定理4.4.64.4.6 定常定常线线性系性系统统完全能完全能观测观测的充分必要条件是，的充分必要条件是，对对每个每个都有都有:推推论论4.4.34.4.3 定常定常线线性系性系统统完全能完全能观测观测的充分必要条件是的充分必要条件是它没有它没有输输出解耦零点。出解耦零点。4.5 4.5 系统的能控、能观性指数系统的能控、能观性指数4.5.1 4.5.1 线性系统的能控性指数线性系统的能控性指数完全能控的线性定常系统完全能控的线性定常系统定义定义 阶常阵阶常阵:其中其中 为正整数为正整数,因为系统能控因为系统能控,当当 时时,为能控制性矩阵为能控制性矩阵 ，且且 。则存在一个使。则存在一个使 成立的最小正成立的最小正整数整数 ，称为系统的能控性指数，定义，称为系统的能控性指数，定义式为：式为：，并，并设设引理引理4.5.14.5.1 已知系已知系统统记记其能控性指数其能控性指数为为则则必成立必成立:推推论论4.5.14.5.1 对对于于单输单输入系入系统统，也即，也即时时，系，系统统的能控型指数的能控型指数为为。推推论论4.5.24.5.2 线线性定常系性定常系统统完全能控的充分必要条件完全能控的充分必要条件时时 的最小多的最小多项项式的式的次数，次数，则则能控性指数能控性指数引理引理4.5.24.5.2 令可可进进而表而表为为为为矩矩阵阵的估的估计计不等式不等式命命题题 4.5.14.5.1 对对系系统统的状的状态态方方程程作作线线性非奇异性非奇异变换变换，其能控指数，其能控指数和能控型指数集和能控型指数集 保持不保持不变变。4.5.2 4.5.2 线性系统的能观性指数线性系统的能观性指数若把若把 表示为表示为从从 开始搜索开始搜索 个线性无关的行个线性无关的行,考虑到考虑到 的秩为的秩为 ,将这将这 个线性无关的行个线性无关的行重新排列重新排列:通常称通常称 为系统为系统 的能的能观测性指数集观测性指数集,显然有显然有:和和 的最小多的最小多项项式的次数，式的次数，那么上式那么上式还还可表示可表示为为 的能的能观测观测性指数和能性指数和能观测观测性指数集，我性指数集，我们们有有1 1若若2 2如果令如果令 3 3当当对该对该系系统统作作线线性非奇异性非奇异变换时变换时，都保持不都保持不变变。引理引理4.5.34.5.3 关于系关于系统统为为矩矩阵阵，则则必成立必成立和和推论推论4.5.3 若若，则则系系统统为为能能观测观测的充分必要条件的充分必要条件为为 4.6 4.6 单输入单数出先行系统的能控单输入单数出先行系统的能控规范型和能观规范型规范型和能观规范型定理定理4.6.14.6.1 对完全能控的单输入对完全能控的单输入单输出单输出线性定常系统线性定常系统 引入引入线线性非奇异性非奇异变换变换即可即可导导出其出其 第一能控第一能控规规范型范型为为 其中其中其中其中 定理定理4.6.24.6.2 对完全能控的单输入对完全能控的单输入单输出单输出线性定常系统线性定常系统:定定义义:则则在在线线性非奇异性非奇异变换变换下系下系统统代数等价于下述第二能控代数等价于下述第二能控规规范型范型 其中其中:这这里里:完全能控，完全能控，则则其其传递传递函数函数为为推论推论4.6.14.6.1 设系统设系统命题命题4.6.14.6.1 代数等价的单变量完全能控代数等价的单变量完全能控系统具有相同的第一或第二能控规范型。系统具有相同的第一或第二能控规范型。例例4.6.1 给给定能控的定能控的单输单输入入单输单输出出线线性性 定常系定常系统为统为定出其特征多定出其特征多项项式式和常数和常数则则利用式利用式（4.6.4）（）（4.6.11），），即可即可导导而其逆而其逆为为于是，又可定出能控于是，又可定出能控规规范型中的状范型中的状态态向量向量为为其特征多其特征多项项式如式（式如式（4.6.34.6.3）所示，）所示，则则在在线线性非奇异性非奇异变变换换4.6.2 4.6.2 单输入单输入-单输出系统的单输出系统的能观测规范型能观测规范型定理定理4.6.34.6.3 对完全能控的单输入对完全能控的单输入单输出单输出线性定常系统线性定常系统下，可下，可导导出其第一能出其第一能观规观规范型范型为为:定理定理4.6.44.6.4 对完全能观测的单输入对完全能观测的单输入单单输出线性定常系统输出线性定常系统 其特征多项式其特征多项式:定义定义:则则，在，在线线性非奇异性非奇异变换变换下，可下，可导导出其第二能出其第二能观规观规范型范型为为:例例4.6.2 给给定能定能观测观测的的单输单输入入-单输单输出出线线性性定常系定常系统统先定出其特征多先定出其特征多项项式式和常数和常数 于是，又可定出能于是，又可定出能观测规观测规范型中的状范型中的状态态向量向量为为命题命题4.6.24.6.2 代数等价的单变量完全能观代数等价的单变量完全能观测系统具有相同的第一或第二能观规范测系统具有相同的第一或第二能观规范型。型。命题命题4.6.34.6.3 第一（二）能控规范型和第一（二）能控规范型和第一（二）能观规范型是互为对偶的。第一（二）能观规范型是互为对偶的。4.7 4.7 多输入多输入-多输出线性系统的能控多输出线性系统的能控规范型和能观规范型规范型和能观规范型4.7.1 4.7.1 两种搜索方案两种搜索方案给定系统的状态方程和输出方程为给定系统的状态方程和输出方程为其中其中,为为 常阵；常阵；和和 分别为分别为 和和 常阵。常阵。其能控性判别阵其能控性判别阵 和能观测性判别阵和能观测性判别阵分别是分别是为为了了找找出出 中中的的 个个线线性性无无关关的的列列（行行），通通常常可可使使用用格格栅栅来来进进行行，并并可可有有两两种种搜搜索方案索方案方案方案11列搜索列搜索 对给定对给定（,），按，按图图.所示构成格栅图。按列搜索所示构成格栅图。按列搜索 与前面线性无关列的线与前面线性无关列的线性相关性一直到性相关性一直到 时，搜时，搜索结束。索结束。方案方案22行搜索行搜索 对给定（对给定（,），按），按图图.2.2所示构成格栅图。按行搜索所示构成格栅图。按行搜索 如果如果 ，那么，那么 中的中的 个列是个列是线性无关的，在第一行中从线性无关的，在第一行中从 起依次找到起依次找到 个个线线性性无无关关的的向向量量，并并搜搜索索以以下下的的行行，直到找到直到找到 个线性无关的向量为止。用个线性无关的向量为止。用 表示第表示第 列列 中中“”格的格的长度，那么就可以得到一个指数集合长度，那么就可以得到一个指数集合 它即是系统的能控性指数集。它即是系统的能控性指数集。4.7.2 4.7.2 多输入多输入-多输出系统的多输出系统的WonhamWonham能能控制规范型控制规范型算法算法4.7.14.7.1 WonhamWonham能控制规范型的求取能控制规范型的求取 第第一一步步:判判断断多多输输入入-多多输输出出线线性性定定常常系系统统 是是否否为为完完全全能能控控,如如否否，则则不不存存在在能能控控规规范范 型型.第二步第二步:表表按前搜索方案找出能控性矩阵按前搜索方案找出能控性矩阵的的 个线性无关的向量为：个线性无关的向量为：其中：其中：定理定理4.7.14.7.1 对完全能控的多输入对完全能控的多输入多输出多输出线性定常系统线性定常系统基于算法基于算法4.7.1求取的系求取的系统统在在线线性非奇异性非奇异变换变换下的代数等价系下的代数等价系统统 第三步第三步:取变换阵为取变换阵为第四步第四步:计算计算具有具有Wonham第一能控第一能控规规范型的形式范型的形式其中：其中：算法算法.2.2 WonhamWonham第二能控制规范型第二能控制规范型的求取的求取第一步至第三步第一步至第三步:同算法同算法4.7.1第四步第四步:计算矩阵计算矩阵 ,并将其表为如下形式并将其表为如下形式第五步第五步:取矩阵取矩阵 的每个块中的末行的每个块中的末行 按下述方式构造变换矩阵按下述方式构造变换矩阵:第六步第六步:计算计算定理4.7.2 对完全能控的多输入对完全能控的多输入多输出多输出线性定常系统线性定常系统基于算法基于算法4.7.1求取的系求取的系统统在在线线性非奇异性非奇异变变换换具有具有Wonham第二能控第二能控规规范型的形式范型的形式:下的代数等价系下的代数等价系统统 其中其中:4.7.3 Luenberger4.7.3 Luenberger能控规范型能控规范型算法算法4.7.34.7.3 LuenbergerLuenberger能控规范型的求取能控规范型的求取第一步第一步:判断多输入判断多输入-多输出线性定常系统是多输出线性定常系统是否为完全能控否为完全能控,如否如否，则不存在能控规范型。则不存在能控规范型。第二步第二步:按搜索方案按搜索方案IIII找出其能控性矩阵找出其能控性矩阵为为系系统统的能控性指数集。的能控性指数集。的的 个线性无关列个线性无关列,且将搜索结果表为且将搜索结果表为:其中其中:第三步：依据搜索第三步：依据搜索结结果取果取变换阵为变换阵为：第四步：第四步：计计算算定理定理4.7.34.7.3 对于完全能控的多输入对于完全能控的多输入多输出多输出线性定常系统线性定常系统 对对其其应应用算法用算法4.7.34.7.3求取的系求取的系统统在在线线性非奇异性非奇异变换变换:设设其其满满足足下的代数等价系下的代数等价系统统具有具有LuenbergerLuenberger第一能第一能控控规规范型的形式范型的形式 其中其中 ，算法算法4.7.44.7.4 LuenbergerLuenberger第二能控规范型第二能控规范型的求取的求取 第一步至第三步第一步至第三步:同算法同算法4.7.34.7.3第四步第四步:计算矩阵计算矩阵 ,并将其表示为下述并将其表示为下述形式形式:第五步第五步:取矩阵取矩阵 的每个块中的末行的每个块中的末行 按下述方式构造变换矩按下述方式构造变换矩阵阵:第六步第六步:计算计算定理定理4.7.44.7.4 对于完全能控的多输入对于完全能控的多输入多输出多输出 线性定常系统线性定常系统 对对其其应应用算法用算法4.7.44.7.4求取求取的系的系统统在在线线性非奇异性非奇异变换变换 设设其其满满足足下的代数等价系下的代数等价系统统具有具有LuenbergerLuenberger第二能控第二能控规规范型的形式范型的形式 其中其中 ，例例4.7.1 已知定常已知定常线线性系性系统统为为，求求该该系系统统的的Luenberger第二能控第二能控标标准型。准型。解解:该该系系统统的能控性矩的能控性矩阵为阵为从中按方案从中按方案选选取取线线性独立列向量得矩性独立列向量得矩阵阵容易容易计计算算做矩做矩阵阵不不难计难计算算于是于是经简单计经简单计算可以得出算可以得出，由矩由矩阵阵 决定得系决定得系统统就是所要求就是所要求得得LuenbergerLuenberger第二能控第二能控标标准型。准型。4.7.4 4.7.4 线性系统的能观规范型线性系统的能观规范型定理定理4.7.54.7.5 考虑完全能控的多输入考虑完全能控的多输入多输出多输出线性定常系统线性定常系统则其则其Wonham第一能观测规范型在形式上对第一能观测规范型在形式上对偶于偶于Wonham第二能控规范型，即第二能控规范型，即 其中其中 定理定理4.7.64.7.6 考虑完全能控的多输入考虑完全能控的多输入多输出多输出线性定常系统线性定常系统则其则其WonhamWonham第二能观测规范型在形式上对第二能观测规范型在形式上对偶于偶于WonhamWonham第第一一能控规范型，即能控规范型，即 其中其中 ，则则其其LuenbergerLuenberger第一第一能能观测规观测规范型在形式上范型在形式上对对偶于偶于LuenbergerLuenberger第第二二能控能控规规范型，即范型，即 定理定理4.7.74.7.7 对于完全能观测的多输入对于完全能观测的多输入多多输出线性定常系统输出线性定常系统 设设其其满满足足其中其中 ，则则其其LuenbergerLuenberger第二第二能能观测规观测规范型在形式上范型在形式上对对偶于偶于LuenbergerLuenberger第第一一能控能控规规范型，即范型，即 定理定理4.7.84.7.8 对于完全能观测的多输入对于完全能观测的多输入多多输出线性定常系统输出线性定常系统 设设其其满满足足其中其中 4.8 4.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解4.8.1 4.8.1 能控性和能观测性在线性非奇异变换能控性和能观测性在线性非奇异变换下的属性下的属性为为两者的能两者的能观测观测性矩性矩阵阵。命题命题4.8.14.8.1 设设对对进进行行线线性非奇异性非奇异变换变换所所导导出的出的结结果，果，即两者之即两者之间间有下述关系有下述关系 其中，其中，为为非奇异常非奇异常阵阵，从而必成立，从而必成立 和和 其中，其中，为为两者的能控性矩两者的能控性矩阵阵，命题命题4.8.24.8.2 设设的元是的元是对对 的的绝对连续绝对连续函数，且函数，且对对一切一切均不降秩，均不降秩，记记系系统统和和 Gram能控矩能控矩阵阵分分别为别为则则有有 和和Gram能能观观矩矩阵阵分分别为别为和和和和 4.8.2 4.8.2 线性定常系统按能控性的结构线性定常系统按能控性的结构分解分解算法算法4.8.14.8.1 能控性结构分解的求取能控性结构分解的求取 第一步第一步:列写线性定常系统的能控性矩阵列写线性定常系统的能控性矩阵并求出并求出第二步第二步:在能控性判别矩阵中任意选取在能控性判别矩阵中任意选取 个线性无关的列个线性无关的列,记为记为 。此外。此外，在，在 维实数空间中任意选取维实数空间中任意选取 个列向量，记为个列向量，记为 ，使得，使得 为线性无关。为线性无关。第三步：按下述方式组成变换矩阵第三步：按下述方式组成变换矩阵 第四步：计算第四步：计算 定理定理4.8.14.8.1 对不完全能控系统对不完全能控系统利用算法利用算法4.8.14.8.1求得系求得系统统在在线线性非奇异性非奇异变换变换下代数等价系下代数等价系统统具有下述具有下述结结构按能控性分解的构按能控性分解的规规范表达式范表达式维维能控分状能控分状态态向量，即向量，即维维不能控分状不能控分状态态向量，向量，其中，其中，为为能控；能控；为为。例例4.8.14.8.1 给给定定线线性定常系性定常系统统已知已知,故只需判断故只需判断是否是否为为行行满满秩。秩。现现知知表明系表明系统统不完全能控。不完全能控。进进而，在而，在中取中取线线性无关的列性无关的列和和再任取再任取，使构成矩，使构成矩阵阵为为非奇异。而通非奇异。而通过过求逆，可定出求逆，可定出于是可算得于是可算得这样这样就就导导出了系出了系统统按能控性分解的表达式按能控性分解的表达式为为4.8.3 4.8.3 线性定常系统按能观测性的结构线性定常系统按能观测性的结构分解分解算法算法4.8.24.8.2 能观性结构分解的求取能观性结构分解的求取第一步：列写系统的能观测性判别矩阵第一步：列写系统的能观测性判别矩阵并计算并计算第第二二步步：在在 中中任任意意选选取取 个个线线性性无无关关的的行向量行向量 ，此外再任意选取，此外再任意选取个个行行向向量量 ，使使得得 线线性性无无关。关。第四步：计算第四步：计算第三步：按下述方式构成变换阵：第三步：按下述方式构成变换阵：定理定理4.8.24.8.2 对不完全能对不完全能观测观测系统系统基于算法基于算法4.8.24.8.2求得系求得系统统在在线线性非奇异性非奇异变换变换下代数等价系下代数等价系统统具有具有结结构按能控性分解的构按能控性分解的规规范表达式范表达式 其中，其中，维维能控分状能控分状态态向量，即向量，即为为完全能完全能观观；为为维维不能不能观测观测状状态态。4.8.4 4.8.4 线性定常系统结构的分解线性定常系统结构的分解定理定理4.8.34.8.3 （规范分解定理）规范分解定理）对不完全能对不完全能控和不完全能观测的系统控和不完全能观测的系统通通过线过线性非奇异性非奇异变换变换可可实现实现系系统结统结构的构的规规范分解，起范分解，起规规范分解的表达式范分解的表达式为为其中其中:为为能控且能能控且能观测观测分状分状态态，即，即既完全能控有完全能既完全能控有完全能观观；为为能控但不能能控但不能观测观测分状分状态态，即即完全能控；完全能控；为为不能控但能不能控但能观测观测分状态，即分状态，即 完全能完全能观观；为为不能控且不能不能控且不能观测观测分状分状态态。其其输输入入输输出描述即出描述即传递传递函数矩函数矩阵阵只能反只能反映系映系统统中能控且能中能控且能观观的那一部分，即成立的那一部分，即成立 推论推论4.8.14.8.1 对不完全能控和不完全能观测对不完全能控和不完全能观测的系统的系统4.9 4.9 线性系统的实现问题线性系统的实现问题4.9.1 4.9.1 问题的描述与解的存在性问题的描述与解的存在性问题问题RL RL 已知有理分式矩阵已知有理分式矩阵 ，求满足：，求满足：的常值矩阵的常值矩阵 。如果这个问题有解，。如果这个问题有解，则由矩阵则由矩阵 决定的线性系统：决定的线性系统：叫做叫做 的一个状态空间实现，简称实现。的一个状态空间实现，简称实现。能能实现实现的充要条件是其的充要条件是其为为真有理分式矩真有理分式矩阵阵，即它的每个元都是真有理分式。即它的每个元都是真有理分式。阶阶有理分式矩有理分式矩阵阵，它存在使得，它存在使得的的实现实现的充要条件是，它的充要条件是，它为严为严格真有理格真有理分式矩分式矩阵阵，即它的每个元的分母的次数，即它的每个元的分母的次数比分子的次数高。比分子的次数高。引理引理4.9.14.9.1 阶阶有理分式矩有理分式矩阵阵推论推论4.9.14.9.1 设设为为一个一个4.9.2 4.9.2 能控、能观系统的传递函数特性能控、能观系统的传递函数特性引理引理4.9.24.9.2 系统系统完全能控和完全能完全能控和完全能观测观测的充要条件是的充要条件是由式由式定定义义的的没有零极相消，即没有零极相消，即互互质质。它完全能控和完全能它完全能控和完全能观测观测的充要条件是的充要条件是引理引理4.9.34.9.3 已知定常系统已知定常系统左互左互质质右互右互质质。是它的一个是它的一个实现实现。它是一个最小。它是一个最小实现实现的充要条件是的充要条件是为为一个一个阶严阶严格真有理分式矩格真有理分式矩阵阵，能控，能控，能能观测观测。定理定理4.9.14.9.1 设设定理定理4.9.24.9.2 的两个最小的两个最小实现实现和和是代数等价的。是代数等价的。