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第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算向量（矢量）：向量（矢量）：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量，记的向量，记零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量，记的向量，记|向量的模：向量的模：向量的大小，记向量的大小，记单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或或或或粗体字母或粗体字母。规定其方向是任意的。规定其方向是任意的。机动 目录 上页 下页 返回 结束 自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 两向量的夹角两向量的夹角 :零向量零向量与其它向量夹角规定为与其它向量夹角规定为0,0,任意值任意值任取空间任取空间 一点一点O O称为向量称为向量 的夹角的夹角规定规定:零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行;若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行,ab;记作记作因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称故两向量平行又称 两向量两向量共线共线.若若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上,则称则称此此 k 个向量个向量共面共面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 若若称为向量称为向量 垂直，记垂直，记零向量零向量与任何向量都垂直与任何向量都垂直二、向量的线性运算（加减法）二、向量的线性运算（加减法）1.向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:机动 目录 上页 下页 返回 结束 运算规律运算规律:交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加.机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.向量的减法向量的减法三角不等式三角不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 两向量同向或反向时等号成立。两向量同向或反向时等号成立。三三.向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数是一个数,它的模它的模 :可见可见 与与a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量,记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 运算律运算律:结合律结合律分配律分配律因此因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.例例.设设 M 为为解解:ABCD 对角线的交点对角线的交点,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.(为唯一实数为唯一实数)设设 a 为非零向量为非零向量,则则ab机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:“”.,取取 且且再证数再证数 的唯一性的唯一性.则则设设 ab取正号取正号,反向时取负号反向时取负号,a,b 同向时同向时则则 b 与与 a 同向同向,设又有设又有 b a,“”则则已知已知 b a,b0a,b 同向同向a,b 反向反向ab 机动 目录 上页 下页 返回 结束 实数实数x在数轴上点点 p(x称为点称为点 p 的在轴上的的在轴上的坐标坐标)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证与与 平行且相等平行且相等,结论得证结论得证.机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）注意与标量的区别）（平行四边形法则）平行四边形法则）（注意数乘后的方向）注意数乘后的方向）四、小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案