线性代数习题课件.ppt
第二章第二章 方阵的行列式方阵的行列式习题课习题课2.1 n阶行列式的定义阶行列式的定义2.2 方阵行列式的性质方阵行列式的性质2.3 展开定理与行列式的计算展开定理与行列式的计算1.n1.n阶行列式的定义阶行列式的定义(1)n阶行列式是阶行列式是n！项的代数和！项的代数和.(2)n阶行列式的每一项都是取自阶行列式的每一项都是取自n阶行列式的不同行和阶行列式的不同行和不同列的不同列的n个元素的乘积，称为个元素的乘积，称为均匀分布项均匀分布项.如果行标按如果行标按标准顺序排列，列标记为标准顺序排列，列标记为 ,一般项记为一般项记为(3)n阶行列式的每一项的符号由列标排列的奇偶性决定阶行列式的每一项的符号由列标排列的奇偶性决定:若列标排列为奇排列若列标排列为奇排列,则此项的符号为负则此项的符号为负,若列标排列为若列标排列为偶排列偶排列,则此项的符号为正则此项的符号为正.即符号可表示为即符号可表示为且正项和负项各占一半且正项和负项各占一半.(4)由于由于n级排列共有级排列共有n!个个,所以所以n阶行列式共有阶行列式共有n！项！项.(5)一般的，一般的，n阶行列式是一个数阶行列式是一个数.解：解：3.3.设设排列排列的逆序数为的逆序数为m,m,且且中小于中小于的有的有s s个个,求排列求排列的逆序数的逆序数.解解 在在n n级排列级排列中，比中，比小的数共有小的数共有个个.设排列设排列中中右边比右边比小的数有小的数有个个,则该排列中则该排列中左边比左边比小的数有小的数有个个.(1)(1)先求排列先求排列的逆序数的逆序数.该排列中在该排列中在右边比右边比小的数有小的数有个个(i=1,2,-,n).(i=1,2,-,n).于是于是(2)(2)求排列求排列的逆序数的逆序数.在排列在排列中将中将排到第一位排到第一位,由于由于中小于中小于的有的有s s个个,故当把故当把 排到第一位时排到第一位时,增加了增加了s s个逆序个逆序,减少了减少了n-1-sn-1-s个逆序个逆序,故故2.2.行列式的性质行列式的性质行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.互换行列式的两行互换行列式的两行(列列)，行列式变号，行列式变号.某行某行(列列)有公因子可以提到行列式的外面有公因子可以提到行列式的外面.某行某行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)，行列式不变，行列式不变.若行列式中某一行若行列式中某一行(列列)的所有元素均为两元素之和的所有元素均为两元素之和.则该行列式可拆成两个行列式的和则该行列式可拆成两个行列式的和.某两行某两行(列列)的对应元素成比例，则行列式等于的对应元素成比例，则行列式等于0.某行某行(列列)的元素全为的元素全为0，则行列式等于，则行列式等于0.几几个重要的公式个重要的公式3.3.设设A A是是m m阶方阵，阶方阵，B B是是n n阶方阵，则阶方阵，则4.4.设设A,BA,B为为n n阶方阵阶方阵,注意注意两行列式相加与两矩阵相加的不同两行列式相加与两矩阵相加的不同两行列式相等与两矩阵相等的不同两行列式相等与两矩阵相等的不同数乘行列式与数乘矩阵的不同数乘行列式与数乘矩阵的不同(第2列的-2倍加到第3列上，第2列-3倍加到第4列上）5.5.行列式按行行列式按行(列列)展开定理及其推论展开定理及其推论6.Laplace6.Laplace定理定理定义定义 设设D是一个是一个n阶行列式，在阶行列式，在D中取某中取某K行行(或列或列),则含于此则含于此k阶行阶行(或列或列)中的所有中的所有k阶子式与其代数余子阶子式与其代数余子式的乘积之和恰好等于式的乘积之和恰好等于D.即即 是是D D的被选定的的被选定的k k行行(或列或列)所含的所含的K K阶子阶子式式,其中其中分别是它们的代数余子式分别是它们的代数余子式.7.计算行列式计算行列式解解 作辅助函数作辅助函数将上式按最后一列展开，则将上式按最后一列展开，则f f(x x)为为x x的一个的一个4 4次多次多项式，且项式，且x x的的3 3次幂的系数为次幂的系数为D D,于是可以通过考察多于是可以通过考察多项式项式f f(x x)来求来求D.D.从上式易知，多项式从上式易知，多项式f f(x x)的三次幂项系数为的三次幂项系数为故故8.计算计算解解 按第一按第一列展开列展开 9.9.计算计算解解 各行减第一行各行减第一行 箭形箭形行列式行列式10.用用Laplace定理计算定理计算解解 取取D的第的第1，2行，行，D含有第含有第1，2行的不为行的不为0的的2阶阶子式有子式有3个个相应的代数余子式为相应的代数余子式为11.11.设设abc0abc0，试证，试证证证第一列乘第一列乘(a+b+c)(a+b+c)加到第三列加到第三列12.12.计计算算解解一般采用按行一般采用按行(列列)展开展开,得到递推公式得到递推公式,然后由递然后由递推公式推出结果推公式推出结果.三对角行列式三对角行列式按第一按第一行展开行展开按第一按第一列展开列展开(1)(2)(n-1)又又得得(3)相加得相加得
