激光原理-第二章光学谐振腔理论课件.ppt

激光原理与技术激光原理与技术党学明党学明仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院合肥工业大学合肥工业大学第二章 光学谐振腔理论概述概述第一节第一节 光学谐振腔的基本知识光学谐振腔的基本知识第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模第四节第四节 谐振腔的衍射积分理论谐振腔的衍射积分理论 第三节光学谐振腔的稳定性条件第三节光学谐振腔的稳定性条件 主要内容：主要内容：主要内容：主要内容：第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征第八节第八节 高斯光束高斯光束第九节第九节 非稳腔的模式理论非稳腔的模式理论概述光学谐振腔是常用激光器的三个主要组成部分光学谐振腔是常用激光器的三个主要组成部分之一。之一。与微波腔相比,光频腔的主要特点是n侧面敞开以抑制振荡模式,n轴向尺寸远大于光波长和腔的横向尺寸。从理论上分析时,通常认为其侧面没有边界,因此,将其称为开放式光学谐振腔。本章主要针对这类开放开放式光学谐振腔。本章主要针对这类开放式光腔进行讨论。式光腔进行讨论。概述光学谐振腔理论研究的基本问题是:n光频电磁场在腔内的传输规律光频电磁场在腔内的传输规律n从数学上讲是求解电磁场方程的本征函数和从数学上讲是求解电磁场方程的本征函数和本征值。本征值。由于开放式光腔侧面不具有确定的边界,一般情况下不能在给定边界条件下对经典电磁场理论中的波动方程严格求解。因此,常采用一些近似方法来处理光腔问题。概述常用的近似研究方法包括:1.几何光学分析方法几何光学分析方法在几何光学近似下,光的波动性不起主要作用,可将光看成光线用几何光学方法来处理。对于光学谐振腔来说,当腔的菲涅耳数远大于1时,光在其中往返传播时横向逸出腔外的几何损耗远大于由于腔镜的有限尺寸引起的衍射损耗。此时可用几何光学的方法来处理腔的模式问题。这种方法的优点是简便、直观简便、直观,主要缺点在于不能得主要缺点在于不能得到腔的衍射损耗和腔模特性的深入分析到腔的衍射损耗和腔模特性的深入分析。概述2.矩阵光学分析方法矩阵光学分析方法矩阵光学使用矩阵代数的方法研究光学问题,将几何光线和激光束在光腔内的往返传播行为用一个变换矩阵来描写,从而推导出谐振腔从而推导出谐振腔的稳定性条件的稳定性条件。此外,利用高斯光束的利用高斯光束的ABCD定律和模的自再现定律和模的自再现条件能够推导出用矩阵元形式表示的光腔本条件能够推导出用矩阵元形式表示的光腔本征方程的模参数公式征方程的模参数公式,便于光腔的设计和计算。便于光腔的设计和计算。这种方法的优点在于处理问题简明、规范这种方法的优点在于处理问题简明、规范,易易于用计算机于用计算机 概述3.波动光学分析方法波动光学分析方法 从波动光学的菲涅耳菲涅耳-基尔霍夫衍射积分理论基尔霍夫衍射积分理论出发,可以建立一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。利用该方程原则上可以求得任意光腔的模式任意光腔的模式,从而得到场的从而得到场的振幅、相位分布振幅、相位分布,谐振频率以及衍射损耗等腔模特性谐振频率以及衍射损耗等腔模特性。虽然数学上已严格证明了本征积分方程解的存在性,但只有在腔镜几何尺寸趋于无穷大的情况下,该积分方程的解析求解才是可能的。对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔对称共焦腔求出了解析解。多数情况下,需要使用近似方法求数值解。虽然衍射积分方程理论使用了标量场近似,也不涉及电磁波的偏振特性,但与其他理论相比,仍可认为是一种比较普遍和严格的理论。概述n本章中采用矩阵光学方法来讨论谐振腔的稳矩阵光学方法来讨论谐振腔的稳定性定性,用衍射积分方程理论处理谐振腔的模式用衍射积分方程理论处理谐振腔的模式问题。问题。光学谐振腔中的光场分布以及输出到腔外的光束都是高斯光束形式是高斯光束形式,其特性和谐振其特性和谐振腔密切相关腔密切相关,因此,也在本章中讨论。n本章的最后采用几何光学分析方法对非稳腔本章的最后采用几何光学分析方法对非稳腔进行简单讨论。进行简单讨论。概述n本章中只研究无源谐振腔只研究无源谐振腔,又称非激活腔或被动腔又称非激活腔或被动腔,即无激活介质存在的腔即无激活介质存在的腔。n虽然处于运转状态的激光器的谐振腔都是存在增益介质的有源腔有源腔(又称激活腔或主动腔又称激活腔或主动腔),但理论和实践表明,对于中、低增益的激光器,无源腔的模式理论可以作为有源腔模式的良好近似。对于高增益激光器,适当加以修正也是适用的。n这是由于激活介质的主要作用在于补偿腔内本征模主要作用在于补偿腔内本征模在振荡过程中能量的损耗在振荡过程中能量的损耗,使之满足谐振条件使之满足谐振条件,形成形成和维持自激振荡和维持自激振荡。其对场的空间分布以及谐振频率的影响是次要的,不会使腔的模式发生本质的改变。第一节 光学谐振腔的基本知识 本节主要讨论光学谐振腔的构成、分类、作用构成、分类、作用,以及以及腔模腔模的概念光学谐振腔的构成和分类光学谐振腔的构成和分类根据结构、性能和机理等方面的不同,谐振腔有不同的分类方式。按能否忽略侧面边界按能否忽略侧面边界,可将其分为n开腔、开腔、n闭腔闭腔n气体波导腔气体波导腔第一节 光学谐振腔的基本知识 开腔而言：开腔而言：1.根据腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低,又可分为稳定腔、非稳腔及临界腔稳定腔、非稳腔及临界腔;2.按照腔镜的形状和结构,可分为球面腔球面腔和非球面腔非球面腔;3.就腔内是否插入透镜之类的光学元件,或者是否考虑腔镜以外的反射表面,可分为简单腔简单腔和复合腔复合腔;4.根据腔中辐射场的特点,可分为驻波腔驻波腔和行波腔行波腔;5.从反馈机理的不同,可分为端面反馈腔端面反馈腔和分布反馈分布反馈腔腔;6.根据构成谐振腔反射镜的个数,可分为两镜腔两镜腔和多多镜腔镜腔等。第一节 光学谐振腔的基本知识 2.作用作用光学谐振腔的作用主要有两方面光学谐振腔的作用主要有两方面:提供轴向光波模的光学正反馈提供轴向光波模的光学正反馈;通过谐振腔镜面的反射,轴向光波模可在腔内往返传播,多次通过激活介质而得到受激辐射放大,从而在腔内建立和维持稳定的自激振荡。光腔的这种光学反馈作用主要取决主要取决于腔镜的反射率、几何形状以及之间的组于腔镜的反射率、几何形状以及之间的组合方式。合方式。这些因素的改变将引起光学反馈作用的变化,即引起腔内光波模损耗的变化。第一节 光学谐振腔的基本知识 控制振荡模式的特性控制振荡模式的特性。由于激光模式的特性由光腔结构决定,因此,可通过改变腔参数实现对光波模特性的控制。通过对腔的适当设计以及采取特殊的选模措施,可有效控制腔内实际振荡的模式可有效控制腔内实际振荡的模式数目数目,使大量光子集中在少数几个状态中使大量光子集中在少数几个状态中,从而提高光子简并度,获得单色性和方向性好的相干光。通过调节腔的几何参数可直接控制激光模的横向分布特性、光斑半径、横向分布特性、光斑半径、谐振频率以及远场发散角谐振频率以及远场发散角等。第一节 光学谐振腔的基本知识 3.腔模腔模无论是闭腔或是开腔，都将对腔内的电磁场施以一定的约束。一切被约束在空间有限范围内的电磁场都将只能存在于一系列分立的本征状态之中，场的每一个本征态将具有一，场的每一个本征态将具有一定的振荡频率和一定的空间分布。定的振荡频率和一定的空间分布。在激光技术的术语中，通常将光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态称为腔的模式腔的模式。从光子的观点来看，激光模式也就是腔内可能区分的也就是腔内可能区分的光子的状态光子的状态。同一模式内的光子具有完全相同的状态。每一同一模式内的光子具有完全相同的状态。每一种模式都具有确定的基本特征种模式都具有确定的基本特征,主要包括主要包括 第一节 光学谐振腔的基本知识 电磁场分布电磁场分布,特别是在腔的横截面内的场分布特别是在腔的横截面内的场分布;谐振频率谐振频率;在腔内往返一次所经受的相对功率损耗在腔内往返一次所经受的相对功率损耗;相对应的激光束的发散角相对应的激光束的发散角。由于腔内电磁场的本征态由Maxwell方程组和腔的边界条件决定,因此不同类型和结构的谐振腔的模式也将各不相同。一旦给定了腔的具体结构,其中振荡模的特征也就随之确定下来。光学谐振腔理论就是研究腔模式的基本特征,以及模与腔结构之间的具体依赖关系。原则上说只要知道了腔的参数，就可以唯一地原则上说只要知道了腔的参数，就可以唯一地确定模的上述特征。确定模的上述特征。第一节 光学谐振腔的基本知识n腔内电磁场的空间分布可分解为沿传播方向(腔轴线方向)的分布和在垂直于传播方向的横截面内的分布。其中,腔模沿腔轴线方向的腔模沿腔轴线方向的稳定场分布稳定场分布称为谐振腔的纵模纵模,在垂直于腔轴在垂直于腔轴的横截面内的稳定场分布的横截面内的稳定场分布称为谐振腔的横模横模。1）纵模）纵模nF-P腔：腔：多光束干涉理论可知,发生相长干涉的条件是:波从某一点出发,经腔内往返一周再回到原来位置时,应与初始出发波同相。第一节 光学谐振腔的基本知识对于非均匀介质：所以：平面面腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件。q 称为腔的谐振波长,q 称为腔的谐振频率。平面面腔中的谐振频率是分立的。可以将FP腔中满足的平面驻波场称为腔的本征模式腔的本征模式。其特点是其特点是：在腔的横截面内场分布是均匀的，而沿腔的轴线方向(纵向)形成驻波，驻波的波节数由q决定。通常将由整数q所表征的腔内纵向场分布称为腔的纵模腔的纵模。不同的q值相应于不同的纵模。q称为纵模序数称为纵模序数。第一节 光学谐振腔的基本知识当整个光腔内充满折射率为n 的均匀物质时，有 由于光频谐振腔的腔长远大于光波波长,整数q通常具有104 106 数量腔的两个相邻纵模频率之差腔的两个相邻纵模频率之差q称为纵模的频率间隔称为纵模的频率间隔,简称纵模间隔简称纵模间隔腔长L越小，纵模间隔越大。有什么用处？有什么用处？什么是频率梳？什么是频率梳？第一节 光学谐振腔的基本知识2）横模）横模这种稳态场经一次往返后,唯一可能的变化仅是,镜面上各点场的振幅按同样的比例衰减,各点的相位发生同样大小的滞后。镜面上各点场的振幅按同样的比例衰减,各点的相位发生同样大小的滞后。这种在腔反射镜面上形成的经过一次往返传播后能自再现的稳定场分布称为自现模或横模。自现模或横模。n对于两个镜面完全相同的对称腔来说对于两个镜面完全相同的对称腔来说,这种稳定这种稳定场分布经单程传播后即可实现自再现。场分布经单程传播后即可实现自再现。综上所述,激光的横模,实际上就是谐振腔所允许的(也就是在腔内往返传播,能保持相对稳定不变的)光场的各种横向稳定分布。第一节 光学谐振腔的基本知识n不同的纵模和横模具有不同的光场分布和振荡频率。但对于纵模来说,其光场分布之间的差异很小,一般只从频率的差异来区分不同的纵模。不同横模之间的光场分布差异较大,很容易从强度花样来区分。需要注意的是,不同的横模之间,也存在频率差异。TEM00 10 20 10 11第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗n光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用,另一方面也存在各种损耗。损耗的大小是评价谐振腔质量的一个重要指标,决定了激光振荡的阈值激光振荡的阈值和激光的激光的输出能量输出能量。本节将分析无源开腔的损耗,并讨论表征无源腔质量的品质因数Q值及线宽。一、损耗及其描述一、损耗及其描述(1)几何偏折损耗:光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏折出去，我们称这种损耗为几何偏折损耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺寸。第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗（2）衍射损耗 从波动光学观点来看,由于腔反射镜面几何尺寸是有限的,光波在腔内往返传播时必然因腔镜边缘的衍射效应而产生损耗。如果在腔内插入其他光学元件,还应当考虑其边缘或孔径的衍射引起的损耗。通常将这类损耗称为衍射损耗衍射损耗,可由求解腔的衍射积分方程得出,其大小与腔的菲涅耳数、腔的几何参数以及横模阶数等都有关系。第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗(3)腔镜反射不完全引起的损耗。这部分损耗包括镜中的吸收、散射以及镜的透射损耗。通常光腔至少有一个反射镜是部分透射的，有时透射率可能很高(例如，某些固体激光器的输出镜透射率可以50)，另一个反射镜即通常所称的“全反射”镜，其反射率也不可能做到100。(4)材料中的非激活吸收、散射，腔内插入物(如布儒斯特镜，调Q元件、调制器等)所引起的损耗，等等。第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗上述(1)、(2)两种损耗又常称为选择损耗选择损耗，不同模式的几何损耗与衍射损耗各不相同。(3)、(4)两种损耗称为非选择损耗非选择损耗，通常情况下它们对各个模式大体一样。不论损耗的起源如何,均可用“平均单程损耗因子”(简称单程损耗因子)来定量描述。该因子的定义为：如果初始光强为I0，在无源腔内往返一次后，光强衰减为I1则：第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗n 如果损耗是由多种因素引起的，每一种原因引起的损耗以相应的损耗因子i描述，则有n也可用单程渡越时光强的平均衰减百分数来定义单也可用单程渡越时光强的平均衰减百分数来定义单程损耗因子程损耗因子：n显然，当损耗很小时，这样定义的单程损耗因子显然，当损耗很小时，这样定义的单程损耗因子与前面与前面定义的指数损耗因子定义的指数损耗因子是一致的是一致的第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗常见损耗举例常见损耗举例:1）由镜反射不完全所引起的损耗）由镜反射不完全所引起的损耗以r1和r2分别表示腔的两个镜面的反射率(即功率反射系数)，则初始强度为Io的光，在腔内经两个镜面反射往返一周后，其强度I1应为按的定义，对由镜面反射不完全所引入的损耗因子1，应有因此当r1r2 1时第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗2）腔镜倾斜时的几何损耗）腔镜倾斜时的几何损耗当平面腔的两个镜面构成小的角度 时，光在两镜面间经有限次m往返后必将逸出腔外。式中D为平面腔的横向尺寸（直径）注意到往返时间为t02L/c,即可求得光子的平均寿命及相应的第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗n倾斜腔的损耗与，L，D均有关,sqrt()，且随L的增大及D的减小而增加例：D=1cm，L=1m计算，为了保证a,cosl，被积函数分母可取近似L，但在指数因子中不能用但在指数因子中不能用L 要根据不同腔形采取合理近似。要根据不同腔形采取合理近似。当光场在腔内经q次渡越后，在渡越后，在镜镜面面M2上的场uq+1(x，y)与镜面M1上的场uq(x，y)之间有类似的关系。第四节第四节 谐振腔的衍射积分理论谐振腔的衍射积分理论 二、自再现模所应满足的积分方程式二、自再现模所应满足的积分方程式光场经足够多次往返渡越后(相当q-)，则每次渡越时变化越来越小，最后镜面上的场分布将趋于稳定状态。继续传播时，镜面上的场分布应该自再现。这种特殊的稳定的场分布称为自再现场或腔自再现场或腔的自再现模的自再现模。对于对称腔情况，由“自再现要求自再现要求”，两镜面上的场分布，除了相差一个与位置坐标无关的复常数因子(因而表示为振幅衰减和相位滞后振幅衰减和相位滞后)外，是完全相同的，因此自再现模的数学表达式为第四节第四节 谐振腔的衍射积分理论谐振腔的衍射积分理论 并考虑对称腔有SiSiis用v(x,y)表示镜面上这一不受衍射影响的稳定场分布函数，则有 式中,K(x,y,x,y)称为积分方程的核称为谐振腔的衍射积分方程衍射积分方程或光腔的本征方程光腔的本征方程。满足方程的任意一个函数v(x，y)称为光腔的本征函数光腔的本征函数，相应的常数为本征值本征值，一个本征函数代表腔内一个自再现模(即横模)，表示在镜面上的一种场分布。一般而言，v(x,y)为复数，它的模|v(x,y)|描述镜面上的振振幅分布幅分布，而辐角argv(x,y)则描述镜面上场的相位分布相位分布。第四节第四节 谐振腔的衍射积分理论谐振腔的衍射积分理论 三、三、积分方程解的物理意义积分方程解的物理意义由于积分方程是二维的,故需要两个模参数来区分这些不同的横模。本征函数一般为复函数,其模描述开腔镜面上光场的振幅分布模描述开腔镜面上光场的振幅分布;辐角则描述镜面上光场的相位分布辐角则描述镜面上光场的相位分布。本征值也为复函数,其振幅和相位振幅和相位都具有直接的物理意义自再现模在腔内单程渡越所经受的平均相对功率损耗称为模的平均单程损耗,简称单程损耗。在对称开腔情况下,模的单程损耗模的单程损耗为第四节第四节 谐振腔的衍射积分理论谐振腔的衍射积分理论 n表明单程损耗随横模模式的不同而不同,并且|mn|愈大,模的单程损耗愈大。nmn 代表了自再现模在理想开腔中完成一次渡越时的总损耗,此损耗包括光束横向几何偏折损耗,同时也包括了衍射损耗。n以后将这类由谐振腔的几何结构所引起的能量损失(不包括诸如腔内介质的吸收、散射等类型的损失)统称为衍射损耗统称为衍射损耗。第四节第四节 谐振腔的衍射积分理论谐振腔的衍射积分理论 n自再现模在腔内经单程渡越的总相移定义为n为使自再现模在腔内形成稳定振荡,必须满足多光束相长干涉条件:n其在腔内往返一次的总相移为2的整数倍。因此,对称开腔自再现模的谐振条件为:n由此式可确定模的谐振频率。n 可见可见,mn 的模度量自再现模的单程损耗的模度量自再现模的单程损耗,其辐角其辐角度量自再现模的单程相度量自再现模的单程相 移移,从而也决定了模的谐振从而也决定了模的谐振频率。频率。第四节第四节 谐振腔的衍射积分理论谐振腔的衍射积分理论 n对称开腔:n自再现模积分方程的本征函数决定了镜面上不同横模光场的振幅和相位分布。n本征值决定了不同横模的单程损耗、单程相移以及谐振频率。n非对称开腔:n按光场在腔内往返一周才能自再现这一条件写出相应的积分方程。n此时,方程的本征函数解只能确定某一个镜面上的稳态场分布,n本征值的模表示自再现模在腔内往返一次的功率损耗,n辐角表示模往返一次的相移。第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模所满足的积分方程至今尚未得到精确的解析解:n本节首先给出矩形平行平面镜腔模式积分方程的具体形式,n然后介绍条形镜平行平面腔自再现模积分方程的数值迭代解法,n并根据计算结果分析条形镜平行平面腔自再现模的特征。第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模一、平行平面腔的模式积一、平行平面腔的模式积分方程分方程设矩形腔镜的边长为2a和2b,且a、b、L、之间满足如下关系:La,b将按(xx)/L,(y-y)/L的幂级数展开为：第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模当满足条件a2/L(L/a)2和b2/L(L/b)2近似有:上述方程对x和y坐标是对称的,可对其进行变量分离。令 vmn(x,y)=vm(x)vn(y)第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模n将求解一个二元函数积分方程的问题转化成求解两将求解一个二元函数积分方程的问题转化成求解两个单元函数的积分方程。个单元函数的积分方程。n其中其中,第一式为在第一式为在x方向宽度为方向宽度为2a,沿沿y方向无限延方向无限延伸的条形镜平面腔的模式积分方程伸的条形镜平面腔的模式积分方程n第二式为在第二式为在y方向宽度为方向宽度为2b,沿沿x方向无限延伸的条方向无限延伸的条形镜平面腔的模式积分方程。形镜平面腔的模式积分方程。n由于这两个方程的形式是完全一样的由于这两个方程的形式是完全一样的,因而只须求因而只须求解其中之一。解其中之一。第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模二、平行平面腔模的数值迭代解法二、平行平面腔模的数值迭代解法利用数值迭代法求解自再现模式积分方程首先由福克斯和厉鼎毅福克斯和厉鼎毅提出,用该方法求得了很多种类型谐振腔的数值解,给出了自再现模的各种特征,包括场的振幅和相位分布曲线,单程损耗和单程附加相移曲线等。因此也有人称此方法为福克斯福克斯-厉迭代法厉迭代法。一般先设 u1=1 然后计算u2 归一化 u2 计算 u3第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模迭代法的重要意义在于迭代法的重要意义在于，n用逐次近似计算直接求出了一系列自再现模，从而第一次证明了开腔模式的存在,已经严格证明了开腔模的存在性，但迭代法却更为直观。n迭代法能加深对模的形成过程的理解，因为它的数学运算过程与波在腔中往返传播而最终形成自再现模这一物理过程相对应，而且用迭代法求出的结果使我们具体地、形象地认识了模的各种特征。n迭代法虽然比较繁杂，但却具有普遍的适用性，它原则上可以用来计算任何几何形状的开腔中的自再现模，而且还可以计算诸如平行平而腔中腔镜的倾计算诸如平行平而腔中腔镜的倾斜、镜面的不平整性等对模的扰动斜、镜面的不平整性等对模的扰动.第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模特点是；特点是；n在镜面中心处振幅最大，从中心到边缘振幅逐渐降落，整个镜面上的场分布具有偶对称性。我们将具有这种特征的横模称为腔的最低阶偶对称模称为腔的最低阶偶对称模或基模基模。n矩形镜腔和圆形镜腔的基模通常以符号TEM00表示。其中,振幅分布曲线为偶对称形式,从镜面中心到镜边缘光场振幅逐渐减小。相位分布曲线不是直线,而是有起伏的曲线,说明镜面不是等相面等相面,在镜面边缘处相位产生滞后。TEM00不仅不再是均匀平面波均匀平面波，而且也已经不再是平面波平面波了第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模n对不同形式的初始激发波作类似计算可以得到条状对不同形式的初始激发波作类似计算可以得到条状腔高阶模的场分布腔高阶模的场分布。高阶模振幅分布曲线出现零点,也就是在镜面上出现节线,节线数与模阶数一致。对于相同菲涅耳数的腔,高阶模在镜边缘的相对场振幅比基模大,且随模阶数增高而增大随模阶数增高而增大,说明模阶数说明模阶数越高越高,在镜面上形成的光斑尺寸越大。高阶模的相在镜面上形成的光斑尺寸越大。高阶模的相位分布则在越过场节线时发生相位跃变位分布则在越过场节线时发生相位跃变。n求出自再现模后,便可计算单程损耗和单程相移。条形镜平面腔中基模与一阶模的单程损耗与菲涅耳数之间的关系曲线如图2.21所示。可见,对于同一对于同一横模横模,唯一地由唯一地由N值决定值决定,且随且随N的增大而减小。的增大而减小。对于同一对于同一N值值,随模阶次的增大而增大随模阶次的增大而增大,其中基模其中基模的的最低。最低。第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模计算结果表明m仅有几度到几十度，因此相对q可以忽略频率间隔：单程相移为KL为单程结合相移，为附加单程相移，对于同一横模由N唯一决定，且随N的增大而增大，基模最低条形腔的自再现谐振频率的计算公式第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模n满足条件R1R2=L的谐振腔称为对称共焦腔，这时腔的中心即为两个镜面的公共焦点。n博伊德博伊德和戈登戈登首先证明方形球面镜共焦腔模式积分方程具有严格的解析函数解,它们是一组特殊定义的长椭球函数长椭球函数,并且当腔的菲涅耳数足够大时,可近似表示为厄米多项式厄米多项式与高斯函数乘积高斯函数乘积的形式。n而对于圆形球面镜共焦腔,本征函数的解为超椭球解为超椭球函数函数,在腔的菲涅耳数足够大的条件下,可近似表示为拉盖尔多项式与高斯函数乘积的形式拉盖尔多项式与高斯函数乘积的形式。据此,共焦腔模的一系列基本特征都可以解析地表示出来。此外,共焦腔的模式理论还可用来研究一般稳定球面腔系统,因此在开腔模式理论中占有重要位置开腔模式理论中占有重要位置。第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模一、方形自再现模所满足的积分方程式及其精确解一、方形自再现模所满足的积分方程式及其精确解第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模n按博伊德和戈登博伊德和戈登的方法进行变数代换，取令，上式不存在交错项：第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模n在c为有限值时的本征函数为Som为角向长椭球函数。与vmn(xy)相应的本征值为第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模二二、自再现模的特征自再现模的特征1.镜面上场的振幅分布1）厄米特高斯近似 当xa，y时厄米特高斯函数时厄米特高斯函数第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模n并将X，Y换回镜面上的直角坐标x，y，最后得出2）基模）基模取NM0，即得出共焦腔基模(TEM00模)的场分布函数第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模基模为高斯分布,镜面中心光最大,向边缘平滑降落光斑的大小与反射镜的横向尺寸无关,与波长和腔长有关(是共焦腔的一个重要特性。当然,这一结论只有在模的振幅分布可以用厄米-高斯函数近似表述的情况下才是正确)高斯光束的能量主要集中在束腰内部第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模注意:常常用到边界定义在1/2强度最大值的半径(即半功率点处)的光斑尺寸w0s3）高阶横模）高阶横模最初几个高阶横模的振幅分布函数为:第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模特点:n横模在镜面上的振幅分布取决于厄米多项式与高斯函数的乘积。厄米多项式的零点决定了场的节线,厄米多项式的正负交替变化与高斯函数随x、y的增大而单调下降的特性,决定了场分布的外形轮廓nTEM mn 模沿x方向有m条节线,沿y方向有n条节线。这些节线的分布并不均匀,中心区域节线较密。高阶模的光斑半径须沿x、y方向分别进行计算,通常定义沿x、y方向光斑的有效半径分别为:可见,模阶次越高,有效模式半径越大。第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模2.相位分布相位分布 镜面上场的相位分布由自再现模的辐角决定。由于v mn(x,y)是实函数,argv mn(x,y)=0,因此,对任意阶次的横模来说,镜面上各点场的相位均相同,共焦腔反射镜本身构成场的一个等相位面。3.单单程程损损耗耗见见2.25 p70第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模 由于共焦腔的反射镜有会聚作用,且共焦腔模主要集中在镜面中心附近,因此,其损耗比平面腔模的损耗低好几个数量级。共焦腔各模式的损耗与腔的具体几何尺寸无关,单值地由N确定,且随着N的增加而迅速下降。基模的损耗可近似按下述公式计算:00=10.910-4.94N 由于高阶模的光斑随着阶次的增高而增大,能量分布也越偏离中心。因此,在同一菲涅耳数下,衍射损耗随模阶次的增高而迅速增大。利用共焦腔的这种横模鉴别能力可进行横模选择。第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模4.单程相移和谐振频率单程相移和谐振频率 共焦腔TEMmn模在腔内一次渡越的总相移为所以谐振频率:对于纵模第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模对于横模:与平面腔相比较:平面腔一般几到几十度上式表明,q、m 与n 属于同一数量级,不再可以忽略,这说明共焦腔横模序数对频率的影响要比平面腔大得多。第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模三、方形球镜共焦焦腔的行波场三、方形球镜共焦焦腔的行波场一旦知道镜面上的光场,即可利用菲涅耳-基尔霍夫衍射积分公式求出谐振腔内任一点的光场。(坐标原点选在腔的中心)第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模表示一个由镜面上的场所产生的、并沿着腔的轴线方向传播的行波场。当乘以输出镜的透过率后,可用来表示输出到谐振腔外的场。这种行波场称为厄米-高斯光束。1.振幅分布振幅分布其中,基模的振幅分布为特点:1)任意z处为高斯分布2)束腰分布满足w(z)2/w02-z2/f2=1,z=0为极小值3)Z=f时 w(f)=w0s与以前一致第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模2.模体积模体积定义定义:某一模式的体积是指该模式在腔内所扩展的空某一模式的体积是指该模式在腔内所扩展的空间范围。间范围。n模体积越大,说明对该模式的振荡有贡献的激活粒子就越多,从而可获得较大的输出功率。n由于基模的光斑大小随z变化,因此,对称共焦腔的基模模体积可按下式进行:高阶模:第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模3.等相位面分布等相位面分布共焦腔行波场的相位分布由式(2.120)中的(x,y,z)决定。与腔轴线相交于z0 点处的等相位面方程由 (x,y,z)=(0,0,z0)所以:第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模n上式表明,共焦腔行波场的等相位面是以z轴为旋转轴的旋转抛物面。n z00时,z-z00;nz00,表明等相面是凹面向着腔中心的球面。由R(f)=2f=L可知行波场的等相面与共焦腔反射镜面重合。n由R(0),R(),可知共焦腔中心位置以及距中心无限远处的等相位面都是平面。n由R(z0)=0,得z0=f,可见共焦腔反射镜面是曲率最大的等相位面。第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模4.远场发射角远场发射角共焦腔的基模光束按双曲线规律从腔中心向外扩展,不同位置处光束的发散角不同。通常,将远场发散角定义为基模高斯光束的发散角:相应高阶模的远场发散角为理论计算表明,共焦腔基模光束的发散角具有毫弧度的数量级,其方向性相当好。由于高阶模的发散角是随模阶次而增大,所以多模振荡时,光束的方向性要比单基模振荡差。第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模四、圆形球镜共焦焦腔四、圆形球镜共焦焦腔圆形球面镜共焦腔的处理方法与方形镜相似,只是由于反射镜的孔径为圆形,因此采用极坐标系统(r,)来讨论。其模式积分方程的精确解析解是超椭球函数系,可以证明,当N足够大时,圆形球面镜共焦腔的自再现模为拉盖尔多项式和高斯函数的乘积 式中,为拉盖尔多项式第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模2 其各高阶横模其各高阶横模TEMmn的场分布具有圆对称形式的场分布具有圆对称形式,m表示沿半径表示沿半径(r)方向的节线圆数目方向的节线圆数目,n表示沿辐角表示沿辐角()方向的节线数目方向的节线数目,各节线圆沿各节线圆沿r方向不是等距分方向不是等距分布的。布的。3.高阶模的光斑随着高阶模的光斑随着m,n的增加而增大的增加而增大,但在圆形镜但在圆形镜系统中光斑半径随系统中光斑半径随m的增大要比随的增大要比随n的增大来得更快。的增大来得更快。1.圆形球面镜共焦腔基模在镜面上的振幅分布仍然是圆形球面镜共焦腔基模在镜面上的振幅分布仍然是高斯型的高斯型的,与方形球面镜共焦腔情况类似。与方形球面镜共焦腔情况类似。第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模共焦腔TEMmn模在腔内一次渡越的总相移为所以谐振频率:对于纵模对于横模:与Vmn(r,)相应的本证值为：第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模n单程损耗:n即所有自再现模的损耗均为零。这一结果是在N的情况下得到的。可见，当N为有限(但不太小)时，拉盖尔-高斯近似虽然能满意地描述场分布及相移等特征，但却不能用来分析模的损耗。第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模n只有精确解才能给出共焦模的损耗与N及横模指标m和n的关系n福克斯和厉鼎毅用迭代法对圆形镜对称共焦腔模进行了数值求解。圆形镜共焦腔几个最低阶模的损耗如图所示。n与方形镜共焦腔模的损耗比较，当菲涅耳数相同时，它的损耗比方形镜腔类似横模的损耗要小几倍。第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模行波分析:因此，对圆形镜共焦腔行波场特性的分析可按与方形镜同样的方法进行。两者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角都完全相同。第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征n共焦腔模式理论不仅能定量地说明共焦腔振荡模本身的特征，更重要的是，它能被推广到一般稳定球面腔系统，这一推广是谐振腔理论中的一个重大进展。n任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价。而任任何一个稳定球面腔唯一地等价于一个共焦腔何一个稳定球面腔唯一地等价于一个共焦腔。这里所说的“等价”，就是指它们具有相同的行波场。n 这种等价性深刻地揭示出各种稳定腔(共焦腔也是其中的一种)之间的内在联系，可以利用共焦腔模式理论的研究结果来解析地表述一般稳定球面腔模的特征。第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征 上述等价性是以共焦腔模式的空间分布，特别是其等相位面的分布规律为依据的。根据式(2612)，与腔的轴线相交于任意一点的等相位面的曲率半径为一、一、等价共焦腔等价共焦腔1）任意一个共焦球面）任意一个共焦球面(或抛物面或抛物面)腔与无穷多个稳定球腔与无穷多个稳定球面腔等价。面腔等价。26节已经指明，如果我们在共焦场的任意两个等相位面上放置两块具有相应曲率半径的球面反射镜，则共焦场将不会受到扰动。但这样，我们就做成了一个新的谐振腔，它的行波场与原共焦腔的行波场相同于任一共焦腔模有无穷多个等相位面，因而我们可以用这种方法构成无穷多个等价球面腔。第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征n 现在证明，所有这些球面腔都是稳定腔。等相位面cl，c2为例，注意到关于球面腔曲率半径R的符号规定，对放置在cl，c2处的反射镜，应有不难证明：第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征2）任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某）任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某个共焦腔个共焦腔n意思是，如果某一个球面腔满足稳定性条件，必定可以找到一个而且也只能找到一个共焦腔，其行波场的某两个等相位面与给定球面腔的两个反射镜面相重合。第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征n由上式可知,当满足稳定性条件0g1 g 2 0,这样就证明了等价共焦腔的存在性。并且此等价共焦腔由式唯一地确定。由于稳定球面腔的行波场与其等价共焦腔的行波场相同,因此,稳定球面腔的模式特征可用等价共焦腔的模式特征来描述。第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征二二 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征1）镜面上的光斑半径）镜面上的光斑半径第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征2）模体积）模体积仿照共焦腔模体积的计算公式，一般稳定球面腔的基模模体积可以定义为代入wos一般稳定球面腔中 模的模体积与基模模体积之比为式中，式中，表示共焦腔中表示共焦腔中 模的模体模的模体积与基模模体积之比积与基模模体积之比第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征3）单程损耗）单程损耗即腔的菲涅耳数等于镜面面积与镜面上基模光斑面积即腔的菲涅耳数等于镜面面积与镜面上基模光斑面积之比。根据共焦腔模式理论之比。根据共焦腔模式理论,每一个横模的单程损每一个横模的单程损耗单值地由腔的菲涅耳数决定耗单值地由腔的菲涅耳数决定,也就是单值地由镜也就是单值地由镜面面积与镜面上基模光斑面积的比值决定。面面积与镜面上基模光斑面积的比值决定。波动光学原理表明衍射损耗的大小与孔径的形状和尺波动光学原理表明衍射损耗的大小与孔径的形状和尺寸寸,以及入射光的具体性质有关。由于一般稳定球以及入射光的具体性质有关。由于一般稳定球面腔与其等价共焦腔的行波场结构完全一样面腔与其等价共焦腔的行波场结构完全一样,并且并且反射镜与场的等相位面重合反射镜与场的等相位面重合,因此因此,可认为它们的可认为它们的衍射损耗遵循相同的规律。即当衍射损耗遵循相同的规律。即当第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征时,两个腔的单程损耗应该相等。式中,ai 和a0 分别为稳定球面腔及其等价共焦腔的反射镜线度;wis 和w0s分别为稳定球面腔及其等价共焦腔镜面上的基模光斑半径。将第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征n根据有效菲涅耳数查共焦腔与N的关系曲线,分别得到两个反射镜上的单程损耗1mn 和2mn,一般稳定球面腔的平均单程损耗为对方形孔径稳定球面腔，基模损耗还可以按式 00=10.910-4.94N 计算，只