西安交大复变函数课件2解析函数-习题课.ppt

1一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：1.解析函数的概念；解析函数的概念；2.函数解析性的判别函数解析性的判别1.解析函数的概念；解析函数的概念；2.初等函数中的多值函数及主值的概念初等函数中的多值函数及主值的概念2二、内容提要二、内容提要复复变函数变函数导数导数微分微分解析函数解析函数初等解初等解析函数析函数指指 数数 函函 数数三三 角角 函函 数数对对 数数 函函 数数 幂幂 函函 数数 性质性质解析函数解析函数的判定方法的判定方法可可导导与与微微分分的的关关系系可可导导与与解解析析的的判判定定定定理理双双 曲曲 函函 数数31 1）导数的定义）导数的定义1.复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分42)2)可导与连续可导与连续 函数函数 f(z)在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续,但函数但函数 f(z)在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.3)3)求导公式与法则求导公式与法则564)4)复变函数的微分复变函数的微分7可导与微分的关系可导与微分的关系81)1)定义定义 2.解析函数解析函数9(c)所有多项式在复平面内处处解析所有多项式在复平面内处处解析.2)性质性质103)可导与可导与解析的判定解析的判定11124)4)解析函数的判定方法解析函数的判定方法133.3.初等解析函数初等解析函数1)1)指数函数指数函数14 2)2)三角函数三角函数15(4)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数数16其它复变三角函数的定义其它复变三角函数的定义17 3)3)双曲函数双曲函数184 4）对数函数）对数函数因此因此19205)5)幂函数幂函数21三、典型例题三、典型例题证证2223例例2 2 函数函数 在何处在何处可导，何处解析可导，何处解析.解解故故 仅在直线仅在直线 上可导上可导.故故 在复平面上处处不解析在复平面上处处不解析.24例例3 3 设设 为解析函数，求为解析函数，求 的值的值.解解 设设故故由于由于 解析，所以解析，所以即即故故25例例4 4 讨论函数讨论函数 在原点的可导性在原点的可导性.故故 在原点不可导在原点不可导.解解当当 沿正虚轴沿正虚轴 趋于趋于0时，有时，有26 设设 为为 平面上任意一定点平面上任意一定点,当点当点 沿直线沿直线 趋于趋于 时时,有有解解例例5 5 研究研究 的可导性的可导性.27当点当点 沿直线沿直线 趋于趋于 时时,有有例例5 5 研究研究 的可导性的可导性.28例例6 6 解方程解方程解解29例例7 7 求出求出 的值的值.解解30解解例例8 8 试求试求 函数值及其主值函数值及其主值:令令 得主值得主值:31例例9 9 证明证明证证32实部与实部实部与实部对应相等对应相等,虚部与虚部对应相等虚部与虚部对应相等,命题得证命题得证.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.33