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第七章正交分解第七章正交分解本讲稿第一页，共二十四页目录非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析傅立叶变换傅立叶变换7-4 信号的分解信号的分解7-1周期信号的傅立叶级数分析周期信号的傅立叶级数分析7-2周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析7-3典型信号的傅立叶变换典型信号的傅立叶变换7-5 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换7-62本讲稿第二页，共二十四页目录目录连续系统的频域分析连续系统的频域分析7-9傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质7-7功率功率谱谱与能量与能量谱谱7-8无失真传输系统无失真传输系统7-10理想低通滤波器的响应理想低通滤波器的响应7-113 7-7本讲稿第三页，共二十四页目录目录4信号的时域抽样与抽样定理信号的时域抽样与抽样定理7-12调制与解调调制与解调7-13频分复用与时分复用频分复用与时分复用7-14本讲稿第四页，共二十四页 用时间作为变量描述信号我们称为信号的时域表示用时间作为变量描述信号我们称为信号的时域表示，显示信，显示信号随时间变换的快慢、出现先后、存在时间的长短以及信号号随时间变换的快慢、出现先后、存在时间的长短以及信号是否按一定的时间间隔重复出现等。是否按一定的时间间隔重复出现等。用频率作为变量描述信号称为频域描述用频率作为变量描述信号称为频域描述，揭示了信号各个频率，揭示了信号各个频率分量的大小，信号的能量主要集中在哪个频率范分量的大小，信号的能量主要集中在哪个频率范 围等特性。围等特性。信号的时域表示和频域表示是从信号的两个不同方面对信号进行信号的时域表示和频域表示是从信号的两个不同方面对信号进行描述描述，在正交函数的基础上对时域信号的进行分解。最常用的分解在正交函数的基础上对时域信号的进行分解。最常用的分解就是傅立叶分解，也称为信号的傅立叶分析。就是傅立叶分解，也称为信号的傅立叶分析。5引言引言本讲稿第五页，共二十四页7-1 信号的分解信号的分解 为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同的分量。一直流分量与交流分量一直流分量与交流分量6本讲稿第六页，共二十四页二偶分量与奇分量二偶分量与奇分量7三脉冲分量之和三脉冲分量之和在时域系统中任何信号都可以表示为移位冲激信号在时域系统中任何信号都可以表示为移位冲激信号的线性、加权组合，即的线性、加权组合，即本讲稿第七页，共二十四页四正交函数分量四正交函数分量 如果用如果用正交函数集正交函数集来表示一个信号，那么，组成信号的各分来表示一个信号，那么，组成信号的各分量就是相互正交的。量就是相互正交的。把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与系统理论中把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与系统理论中占有重要地位，这将是本科程讨论的主要课题占有重要地位，这将是本科程讨论的主要课题8对信号进行分解处理的信号对信号进行分解处理的信号(函数函数)称为基底函数称为基底函数.本讲稿第八页，共二十四页矢量的正交分解矢量的正交分解9误差矢量误差矢量 系数系数两矢量正交两矢量正交怎样分解，能得到最小的误差分量？怎样分解，能得到最小的误差分量？方式不是唯一的：方式不是唯一的：本讲稿第九页，共二十四页7-1-1 信号的正交分解信号的正交分解10空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量，一个三维空间矢量 ，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：二维信号的正交分解二维信号的正交分解 三维信号的正交分解三维信号的正交分解本讲稿第十页，共二十四页7-1-1 信号的正交分解信号的正交分解11设设 ,为两个任意信号为两个任意信号,如图所示如图所示 若设若设,则误差函数则误差函数在此定义在此定义 为两个信号的相关系数为两个信号的相关系数.两个任意信号间的关系两个任意信号间的关系:信号的波形信号的波形本讲稿第十一页，共二十四页7-1-1 信号的正交分解信号的正交分解在对信号的分解过程中，需要遵循信号能量误差最小的原则，在对信号的分解过程中，需要遵循信号能量误差最小的原则，也就是说也就是说 f e(t)的均方值的均方值 应该最小。令应该最小。令 为误差函数的为误差函数的均均 方值方值,则则12从而求得相关系数从而求得相关系数C12的大小的大小:本讲稿第十二页，共二十四页【例题【例题7-1】设矩形脉冲】设矩形脉冲 有如下定义有如下定义13解答：解答：本讲稿第十三页，共二十四页14所以所以本讲稿第十四页，共二十四页7-1-1 信号的正交分解信号的正交分解15若若 C12为零为零，由上式分母不能为零，成立的条件是：，由上式分母不能为零，成立的条件是：此时，f1(t)、f2(t)称为互为正交正交的函数，表示 f 1(t)函数 中不含有 f2(t)的信息或者分量，同理，f2(t)函数 中不含有f1(t)的 的信息或者分量。两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。本讲稿第十五页，共二十四页7-1-1 信号的正交分解信号的正交分解 总结总结 两周期信号在同一周期内两周期信号在同一周期内(同区间内同区间内)正交的条件是正交的条件是 c12=0即：即：凡是满足上面两式的函数称为正交函数凡是满足上面两式的函数称为正交函数 对一般信号在给定区间正交，而在其它区间不一定满对一般信号在给定区间正交，而在其它区间不一定满足正交。足正交。16本讲稿第十六页，共二十四页【例题【例题7-2】试用正弦函数】试用正弦函数 在区间在区间 内来近似表示余内来近似表示余弦函数弦函数17由于由于所以所以解：解：本讲稿第十七页，共二十四页 称为相互正交的基底函数，上式适用于任何正交函数集。正交函数集正交函数集信号的分解是在正交基底函数下进行分解，信号的分解是在正交基底函数下进行分解，那么任意信号那么任意信号f(t)就可以就可以分解为分解为n 维正交函数之和：维正交函数之和：18 原函数原函数近似函数近似函数 表示信号表示信号f(t)与基底函数间的相关系数与基底函数间的相关系数,本讲稿第十八页，共二十四页正交函数集规定正交函数集规定：在正交函数集中：两两相互正交，满足以下条件19 是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。一个都可以，非正交函数就无此特性。本讲稿第十九页，共二十四页复变函数中仍然可以讨论两个函数之间的正交性复变函数中仍然可以讨论两个函数之间的正交性20两复变函数在区间两复变函数在区间 内相互正交的条件是内相互正交的条件是本讲稿第二十页，共二十四页7-1-2 完备正交函数集完备正交函数集能使信号能使信号 f(t)进行正交分解的基底函数，并且分解后均方差为零的进行正交分解的基底函数，并且分解后均方差为零的一组正交基底函数称为一组正交基底函数称为完备的正交函数集完备的正交函数集。一个信号可用完备的正交函数集表示，正交函数集有许多，一个信号可用完备的正交函数集表示，正交函数集有许多，如：如：正弦函数集正弦函数集指数函数集指数函数集walsh函数集函数集21 本讲稿第二十一页，共二十四页22是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t 在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,.由积分可知由积分可知本讲稿第二十二页，共二十四页【例题【例题7-3】23是一个正交函数集本讲稿第二十三页，共二十四页正交函数集有许多重要的用途，例如进行频谱分析、信道编正交函数集有许多重要的用途，例如进行频谱分析、信道编码等。码等。当我们选用三角函数、复指数函数作为基本信号来对信号与当我们选用三角函数、复指数函数作为基本信号来对信号与系统进行分解系统进行分解,这就是傅立叶频域分析法这就是傅立叶频域分析法.24本讲稿第二十四页，共二十四页
