【精品】2019高考数学二轮复习专题五函数与导数不等式微点深化导函数的隐零点问题学案.pdf

1微点深化导函数的隐零点问题在利用导数法研究函数性质时，对函数求导后，若f(x)0 是超越形式，我们无法利用目前所学知识求出导函数零点，但零点是存在的，我们称之为隐零点热点一分离函数(变量)解决隐零点问题【例 1】(2018嘉兴测试)已知函数f(x)axxln x(aR)(1)若函数f(x)在区间 e，)上为增函数，求a的取值范围；(2)当a1 且kZ 时，不等式k(x1)f(x)在x(1，)上恒成立，求k的最大值解(1)函数f(x)在区间 e，)上为增函数，f(x)aln x10 在区间 e，)上恒成立，a(ln x1)max 2.a 2.a的取值范围是 2，)(2)当a1 时，f(x)xxln x，kZ 时，不等式k(x1)f(x)在x(1，)上恒成立，k1)则h(x)11xx1x0，h(x)在(1，)上单调递增，h(3)1 ln 30，存在x0(3，4)，使h(x0)0，即当 1xx0时，h(x)0，即g(x)x0时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增令h(x0)x0 ln x020，即 ln x0 x02，g(x)ming(x0)x0（1ln x0）x01x0（1x02）x01x0(3，4)k0 时，f(x)2aaln 2a.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2xax(x0)由f(x)0 得 2xe2xa.令g(x)2xe2x，g(x)(4x2)e2x0(x0)，从而g(x)在(0，)上单调递增，所以g(x)g(0)0.当a0 时，方程g(x)a有一个根，即f(x)存在唯一零点；当a0 时，方程g(x)a没有根，即f(x)没有零点(2)证明由(1)可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以f(x)minf(x0)由 2e2x0ax00 得 e2x0a2x0，又x0a2e2x0，得 ln x0lna2e2x0ln a22x0，所以f(x0)e2x0aln x0a2x0aln a22x0a2x0 2ax0aln 2a2a2x02ax0aln 2a2aaln 2a.故当a0 时，f(x)2aaln 2a.探究提高第(2)问要证明f(x)2aaln 2a，只需要 f(x)min2aaln 2a，f(x)min在f(x)的零点取到 但f(x)0 是超越方程，无法求出来其解上述解法中没有直接求解x0，而是在形式上假设这样处理的好处在于通过对x0满足的等式e2x0a2x0，ln x0ln a22x0的合理代换使用，快速将超越式e2x0aln x0化简为普通的代数式a2x02ax0aln 2a，然后使用均值不等式求出最小值，同时消掉了x0.在求解的过程中，不要急于消掉x0，而应该着眼于将超越式化简为普通的代数式，借助f(x0)0 作整体代换，从而使问题获解【题组训练】1(2018浙江名校联盟联考)已知函数f(x)axbxln x，其中a，bR.(1)若函数f(x)在点(e，f(e)处的切线方程为yxe，求a，b的值；(2)当b1时，f(x)1 对任意x12，2 恒成立，证明：ae 12e.(1)解由题得f(x)ax2b(ln x1)，3f(e)ae22b1，且f(e)aeeb2e.从而解得ae2，b1.(2)证明由f(x)1 对任意x12，2 恒成立，得axbxln x1，等价于axbx2ln x，令g(x)xbx2ln x，x12，2，则g(x)1b(2xln xx)，令(x)1b(2xln xx)，则(x)b(2ln x3)，易知(x)0，g(1)1b(2ln 11)1be12be 12eb2ee12e.2(2018北京海淀区调研)已知函数f(x)exaln x(其中 e2.718 28，是自然对数的底数)(1)当a0 时，求函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程；(2)求证：当a11e时，f(x)e1.(1)解a0 时，f(x)exln x，f(x)ex1x(x0)，f(1)e，f(1)e1，函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程为：ye(e1)(x1)，即(e 1)xy10.4(2)证明f(x)ex a1x(x0)，设g(x)f(x)，则g(x)exa1x20，g(x)是增函数，ex aea，由 ea1xxea，当xea时，f(x)0；若 0 xxaea1，由 ea 11xxea1，当 0 xmin1，ea1时，f(x)0，故f(x)0 仅有一解，记为x0，则当 0 xx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)递增；f(x)minf(x0)ex0aln x0，而f(x0)ex0a1x0 x0a1x0a ln x0 x0，记h(x)ln xx，则f(x0)1x0 ln x0h1x0，a11ea1eh(x0)h1e，而h(x)显然是增函数，0 x0e，h1x0h(e)e 1.综上，当a11e时，f(x)e1.