【精品】2019高考数学二轮复习专题五函数与导数不等式第2讲不等式问题学案.pdf

1第 2 讲不等式问题高考定位1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大真 题 感 悟 1(2016浙江卷)已知实数a，b，c()A若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c2 100 B若|a2bc|a2bc|1，则a2b2c2 100 C若|abc2|abc2|1，则a2b2c2 100 D若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c2 100 解析由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项对选项 A，当ab10，c 110 时，可排除此选项；对选项 B，当a10，b 100，c0 时，可排除此选项；对选项 C，当a10，b 10，c0 时，可排除此选项故选 D.答案D 2(2018北京卷)能说明“若ab，则1ab，但是1a1b，故答案可以为1，1.(答案不唯一，满足a0，b0，8b0，所以 2a18b22a18b22a3b22614，当且仅当2a18b，即a 3，b1 时取等号答案144(2018浙江卷)若x，y满足约束条件xy0，2xy6，xy2，则zx3y的最小值是 _，2最大值是 _解析由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)，(1，1)，(4，2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)由线性规划的知识可知，目标函数zx3y在点(2，2)处取得最大值，在点(4，2)处取得最小值，则最小值zmin46 2，最大值zmax2 68.答案2 8 5(2017浙江卷)已知aR，函数f(x)|x4xa|a在区间 1，4 上的最大值是5，则a的取值范围是_解析当x1，4 时，x4x4，5，下面对a分三种情况讨论：当a5 时，f(x)ax4xa2ax4x，函数的最大值为2a45，解得a92(舍去)；当a4 时，f(x)x4xaax4x5，此时满足题意；当 4a5 时，f(x)maxmax|4 a|a，|5 a|a，则|4 a|a|5 a|a，|4 a|a5或|4 a|a|5 a|a，|5 a|a 5，解得a92或 4a92.综上，a的取值范围是，92.答案，92考 点 整 合1简单分式不等式的解法(1)f（x）g（x）0(f(x)g(x)0(0)；(2)f（x）g（x）f(x)g(x)0(0)且g(x)0.2(1)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：对二次项系数与0的大小进行讨论；在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0 的大小进行讨论；当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论；讨论根与定义域的关系(2)四个常用结论ax2bxc0(a0)恒成立的条件是a0，0.3ax2bxc0(a0)恒成立的条件是a0，0.af(x)恒成立af(x)max.af(x)恒成立af(x)min.3利用基本不等式求最值已知x，y R，则(1)若xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值S24xyxy22S24；(2)若xyP(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2P(xy2xy2P)4二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；求出目标函数的最大值或者最小值5|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想6不等式的证明不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、数学归纳法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧.热点一利用基本不等式求最值 考法 1 基本不等式的简单应用【例 1 1】(1)若直线xayb1(a0，b0)过点(1，2)，则 2ab的最小值为 _(2)已知函数f(x)2x12x，若对于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6 恒成立，则实数m的最大值为 _解析(1)直线xayb1(a0，b0)过点(1，2)，1a2b1(a0，且b0)，则 2ab(2ab)1a2b4ba4ab4 2ba4ab8，当且仅当ba4ab，即a2，b 4时上式等号成立4因此 2ab的最小值为8.(2)由条件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.f(2x)mf(x)6对于xR恒成立，且f(x)0，m（f（x）24f（x）对于xR恒成立又（f（x）2 4f（x）f(x)4f（x）2f（x）4f（x）4，且（f（0）24f（0）4，m4，故实数m的最大值为4.答案(1)8(2)4 探究提高1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得2特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错 考法 2 带有约束条件的基本不等式问题【例 1 2】(1)已知两个正数x，y满足x 4y5xy，则xy取最小值时，x，y的值分别为()A5，5 B10，52C10，5 D10，10(2)(2018 学军中学模拟)设x，y为实数，若 4x2y2xy1，则 2xy的最大值是 _解析(1)x0，y0，x4y5xy2 4xy5，即xy4xy50，可求xy25，当且仅当x4y时取等号，即x10，y52.(2)4x2y2xy1，(2xy)23xy1，即(2xy)2322xy1，(2xy)2322xy221，解之得(2xy)285，即 2xy2105.等号当且仅当2xy0，即x1010，y105时成立答案(1)B(2)21055探究提高在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，或对约束条件中的一部分利用基本不等式，构造不等式进行求解【训练 1】(1)若a，bR，ab0，则a44b41ab的最小值为 _(2)已知正项等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得aman4a1，则1m4n的最小值为 _解析(1)a，bR，ab0，a44b41ab4a2b21ab4ab1ab24ab1ab 4，当且仅当a2 2b2，4ab1ab，即a222，b224时取得等号(2)设等比数列 an 的公比为q，a7a62a5，a5q2a5q2a5，q2q20，解得q2 或q 1(舍去)amana12m 1a12n14a1，平方得 2m n21624，mn6，1m4n161m4n(mn)165nm4mn16(5 4)32，当且仅当nm4mn，即n2m，亦即m2，n4 时取等号答案(1)4(2)32热点二含参不等式恒成立问题 考法 1 分离参数法解决恒成立问题【例 2 1】(1)关于x的不等式x4x1a22a0 对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围为 _(2)已知x 0，y0，xy3xy，且不等式(xy)2a(xy)10 恒成立，则实数a的取值范围是 _解析(1)设f(x)x4x，因为x0，所以f(x)x4x2x4x4.又关于x的不等式6x4x1a22a0 对x(0，)恒成立，所以a22a14，解得 1a 3，所以实数a的取值范围为(1，3)(2)要使(xy)2a(xy)10 恒成立，则有(xy)21a(xy)，即a(xy)1xy恒成立由xy3xy，得xy3xyxy22，即(xy)24(xy)120，解得xy6或xy 2(舍去)设txy，则t6，(xy)1xyt1t.设f(t)t1t，则在t6时，f(t)单调递增，所以f(t)t1t的最小值为 616376，所以a376，即实数a的取值范围是，376.答案(1)(1，3)(2)，376探究提高对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围化归为求函数的最值问题，af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)min.考法 2 函数法解决恒成立问题【例 22】(1)已知f(x)x22ax 2，当x 1，)时，f(x)a恒成立，则a的取值范围为 _(2)已知二次函数f(x)ax2x 1 对x0，2 恒有f(x)0.则实数a的取值范围为_解析(1)法一f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa，当a(，1)时，结合图象知，f(x)在 1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a 3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即 2a3a，解得 3a 1；当a 1，)时，f(x)minf(a)2a2，由 2a2a，解得 2a1.1a1.综上所述，所求a的取值范围为 3a1.法二设g(x)f(x)a，则g(x)x22ax 2a0 在 1，)上恒成立，即 4a24(2 a)0 或 0，a 1，g（1）0，解得 3a1.(2)法一函数法7若a0，则对称轴x12a0，故f(x)在0，2 上为增函数，且f(0)1，因此在x0，2 上恒有f(x)0 成立若a0，则应有f(2)0，即 4a3 0，a34.34a0.综上所述，a的取值范围是a34且a0.法二分离参数法当x0 时，f(x)10 成立当x0 时，ax2x1 0 变为a1x21x，令g(x)1x21x1x12.当1x12时，g(x)，34.a1x21x，a34.又a0，a的取值范围是a34且a0.答案(1)3，1(2)34，0 (0，)探究提高参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题【训练2】(1)若不等式x2ax10 对于一切a 2，2 恒成立，则x的取值范围是_(2)已知不等式2x 115|a2a|对于x2，6 恒成立，则a的取值范围是 _解析(1)因为a2，2，可把原式看作关于a的函数，即g(a)xax210，由题意可知g（2）x22x10，g（2）x22x10，解之得xR.(2)设y2x1，y2（x 1）20，故y2x1在x2，6 上单调递减，即ymin26125，8故不等式2x 115|a2a|对于x2，6 恒成立等价于15|a2a|25恒成立，化简得a2a20，a2a20，解得 1a2，故a的取值范围是 1，2 答案(1)R(2)1，2 热点三线性规划问题【例 3】(1)(2017 浙江卷)若x，y满足约束条件x0，xy30，x2y0，则zx2y的取值范围是()A0，6 B0，4 C6，)D4，)(2)(2018 金华一中模拟)已知a0，x，y满足约束条件x1，xy3，ya（x3），若z2xy的最小值为1，则a()A.14B.12C1 D2 解析(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示由x2y0，xy30，解得A(2，1)线性目标函数zx2y在点A处取得最小值4，无最大值(2)由 约 束 条 件 画 出 可 行 域(如 图 所 示 的 ABC及 其 内 部)，由x 1，ya（x3），得A(1，2a)，当直线 2xyz0 过点A时，z2xy取得最小值，所以 121 2a，解得a12.答案(1)D(2)B 探究提高对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以9要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可【训练 3】(1)(2018 北京卷)若x，y满足x1y2x，则 2yx的最小值是 _(2)(2018 全国卷)若x，y满足约束条件x2y20，xy10，y0，则z 3x 2y的最大值为_解析(1)法一x1y2x表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z2yx，易知z2yx在点A(1，2)处取得最小值，最小值为3.法二由题意知xy 1，2xy0，则 2yx 3(xy)(2xy)3，所以2yx的最小值为3.(2)作出可行域为如图所示的ABC所表示的阴影区域，作出直线 3x2y0，并平移该直线，当直线过点A(2，0)时，目标函数z3x 2y取得最大值，且zmax3220 6.答案(1)3(2)6 热点四绝对值不等式的综合应用【例 4】(2016浙江卷)已知a3，函数F(x)min2|x1|，x22ax4a2，其中 minp，qp，pq，q，pq.(1)求使得等式F(x)x2 2ax4a2 成立的x的取值范围；(2)求F(x)的最小值m(a)；求F(x)在区间 0，6 上的最大值M(a)解(1)由于a3，故当x1 时，(x22ax4a2)2|x1|x22(a1)(2 x)0，当x1 时，(x22ax4a2)2|x 1|10(x2)(x2a)所以使得等式F(x)x22ax4a2 成立的x的取值范围是 2，2a(2)设函数f(x)2|x1|，g(x)x22ax4a2，则f(x)minf(1)0，g(x)ming(a)a2 4a2，所以，由F(x)的定义知m(a)minf（1），g（a），即m(a)0，3a 22，a24a2，a22.当 0 x2 时，F(x)f(x)m axf（0），f（2）2F(2)当 2x6时，F(x)g(x)maxg（2），g（6）max2，348amaxF（2），F（6）.所以M(a)348a，3a4，2，a4.探究提高1.处理函数问题，数形结合和分类讨论是最常见的思想方法，准确地画出图象可以回避许多冗长的计算，从而直指问题的核心最值函数是浙江省高考的特色2高考对函数的考查主要集中在两个方面，在知识方面一般考查求函数的最值，研究函数的零点、单调性等问题；在思想方法上一般考查分类讨论思想和数形结合思想【训练 4】(2017浙江五校联考)已知函数f(x)x2axb(a，bR)，记M(a，b)是|f(x)|在区间 1，1 上的最大值(1)证明：当|a|2时，M(a，b)2；(2)当a，b满足M(a，b)2 时，求|a|b|的最大值(1)证明由f(x)xa22ba24，得对称轴为直线xa2.由|a|2，得|a2|1，故f(x)在 1，1 上单调，所以M(a，b)max|f(1)|，|f(1)|当a2 时，由f(1)f(1)2a4，得 maxf(1)，f(1)2，即M(a，b)2.当a 2时，由f(1)f(1)2a4，得 maxf(1)，f(1)2，即M(a，b)2.综上，当|a|2 时，M(a，b)2.(2)解由M(a，b)2 得|1 ab|f(1)|2，|1 ab|f(1)|2，11故|ab|3，|ab|3.由|a|b|ab|，ab 0，|ab|，ab0，得|a|b|3.当a2，b 1 时，|a|b|3，且|x22x 1|在 1，1 上的最大值为2，即M(2，1)2.所以|a|b|的最大值为3.1多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法2基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用3解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决4解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等)在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、选择题1(20 18天津卷)设xR，则“x1212”是“x31”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由x1212，得 0 x1，所以 0 x31；由x31，得x1，不能推出0 x1.所以“x1212”是“x30，则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1，0)D(，0)解析当x0 时，函数f(x)2x是减函数，则f(x)f(0)1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x1)f(2x)，则需x10，2x0，2xx1或x 1 0，2x0，所以x0，则满足f(x)f x121 的x的取值范围是 _解析当x0 时，f(x)f x12(x1)x121，15原不等式化为2x321，解得14x0；当 01，该式恒成立；当x12时，f(x)f x122x2x12，又x12时，2x2x12212 20 121 恒成立综上可知，不等式的解集为14，.答案14，11(2018全国卷)若变量x，y满足约束条件2xy30，x 2y40，x20，则zx13y的最大值是_解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又目标函数zx13y，结合图象易知y 3x3z过直线x2 与直线x2y40 的交点A(2，3)时，zx13y取得最大值，即zmax2133 3.答案3 12(2017北京卷改编)已知x0，y0，且xy1，则x2y2的最小值为 _，最大值为 _解析法一x0，y0 且xy1，2xyxy1，当且仅当xy12时取等号，从而0 xy14，16因此x2y2(xy)22xy12xy，所以12x2y21.法二可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围AB上的点到原点距离的范围为22，1，则x2y2的取值范围为12，1.答案12113已知函数f(x)|x1|x2|，则：(1)不等式f(x)1 的解集为 _；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，则m的取值范围为 _解析(1)f(x)3，x2.当x2 时，f(x)1 恒成立故f(x)1 的解集为 1，)(2)由f(x)x2xm得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|x|3225454，故m的取值范围为，54.答案(1)1，)(2)，54三、解答题14已知函数f(x)2xx26.(1)若f(x)k的解集为 x|x 3，或x 2，求k的值；(2)对任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范围解(1)f(x)kkx22x6k0.由已知 x|x 3，或x 2是其解集，得kx22x 6k0 的两根是 3，2.由根与系数的关系可知(2)(3)2k，即k25.17(2)因为x0，f(x)2xx262x6x22666，当且仅当x6时取等号 由已知f(x)t对任意x0 恒成立，故t66，即t的取值范围是66，.15已知函数f(x)x2bxc(b，cR)，对任意的xR，恒有f(x)f(x)(1)证明：当x0 时，f(x)(xc)2；(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)f(b)M(c2b2)恒成立，求M的最小值(1)证明易知f(x)2xb.由题设，对任意的xR，2xbx2bxc，即x2(b2)xcb0恒成立，所以(b2)2 4(cb)0，从而cb241，于是c1，且c2 b241|b|，因此 2cbc(cb)0.故当x0时，有(xc)2f(x)(2cb)xc(c1)0，即当x0时，f(x)(xc)2.(2)解由(1)知c|b|.当c|b|时，有Mf（c）f（b）c2b2c2b2bcb2c2b2c2bbc.令tbc，则 1t1，c2bbc 211t.而函数g(t)211t(1t 1)的值域是，32，因此，当c|b|时，M的取值范围为32，.当c|b|时，由(1)知b2，c2.此时f(c)f(b)8 或 0，c2b20，从而f(c)f(b)32(c2b2)恒成立综上所述，M的最小值为32.