【精品】2019高考数学二轮复习专题四解析几何第2讲直线与圆锥曲线的位置关系学案.pdf

1第 2 讲直线与圆锥曲线的位置关系高考定位直线与圆锥曲线的位置关系一直是命题的热点，尤其是有关弦的问题以及存在性问题，计算量偏大，属于难点，要加强这方面的专题训练.真 题 感 悟(2016浙江卷)如图，设椭圆x2a2y21(a1).(1)求直线ykx1 被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围.解(1)设直线ykx1 被椭圆截得的线段为AP，由ykx1，x2a2y21，得(1a2k2)x22a2kx 0.故x10，x22a2k1a2k2，因此|AP|1k2|x1x2|2a2|k|1a2k21k2.(2)假设圆与椭圆的公共点有4 个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k20，k1k2.由(1)知|AP|2a2|k1|1k211a2k21，|AQ|2a2|k2|1k221a2k22，故2a2|k1|1k211a2k212a2|k2|1k221a2k22，所以(k21k22)1 k21k22a2(2a2)k21k22 0.由于k1k2，k1，k20，得 1k21k22a2(2a2)k21k220，因此1k2111k221 1a2(a22).因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a2.因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3 个公共点的充要条件为1a2.由ecaa21a得，所求离心率的取值范围是0，22.考 点 整 合21.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若 0，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若 0，则直线与椭圆相离.(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2bxc0(或ay2byc0).若a0，则当 0 时，直线与双曲线相交；当0 时，直线与双曲线相切；当0时，直线与双曲线相离.若a 0，则直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点.(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线的方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2bxc 0(或ay2byc0).当a0时，用 判定，方法同上.当a 0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点.2.有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算.(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|1k2|x2x1|或|P1P2|11k2|y2y1|，其中求|x2x1|与|y2y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2x1|（x1x2）24x1x2，|y2y1|（y1y2）24y1y2.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式).3.弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算.热点一直线与圆锥曲线(以椭圆、抛物线为主)的相交弦问题 考法 1 有关圆锥曲线的弦长问题【例 11】(2018镇海中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2y2b2 1(ab1)过点P(2，1)，且离心率e32.3(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值.解(1)e2c2a2a2b2a234，a24b2.又4a21b21，a28，b22.故所求椭圆C的方程为x28y221.(2)设l的方程为y12xm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y12xm，x28y22 1，整理得x22mx2m2 40，判别式 16 4m20，即m24.又x1x2 2m，x1x22m24，则|AB|114（x1x2）2 4x1x25（4m2），点P到直线l的距离d|m|1142|m|5.因此SPAB12d|AB|122|m|55（4m2）m2（4m2）m24m222，当且仅当m22时取等号.故PAB面积的最大值为2.探究提高解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系、设而不求思想、弦长公式等简化计算；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.考法 2 有关圆锥曲线的中点弦问题【例 1 2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0).(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2 p，p)；求p的取值范围.4(1)解l：xy20，l与x轴的交点坐标为(2，0)，即抛物线的焦点为(2，0)，p22，p4.抛物线C的方程为y28x.(2)证明设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).则y212px1，y222px2，则x1y212p，x2y222p，kPQy1y2y212py222p2py1y2，又P，Q关于l对称，kPQ 1，即y1y2 2p，y1y22p，又PQ的中点一定在l上，x1x22y1y2222p.线段PQ的中点坐标为(2 p，p).解PQ的中点为(2 p，p)，y1y2 2p，x1x2y21y222p42p，即y1y2 2p，y21y228p4p2，y1y2 2p，y1y24p24p，即关于y的方程y22py4p2 4p0 有两个不等实根.0，即(2p)24(4p24p)0，解得 0p43，故所求p的范围为0，43.探究提高对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练 1】(2018浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2y241(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围.5(1)证明设P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程yy022414y2x02，即y22y0y8x0y20 0 的两个不同的实根.所以y1y22y0，因此，PM垂直于y轴.(2)解由(1)可知y1y22y0，y1y28x0y20，所以|PM|18(y21y22)x034y203x0，|y1y2|22（y204x0）.因此，PAB的面积S PAB12|PM|y1y2|324(y204x0)32.因为x20y2041(x00，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24 所截得的弦长为2，则C的离心率为()A.2 B.3 C.2 D.2339解析设双曲线的一条渐近线为ybax，化成一般式bxay0，圆心(2，0)到直线的距离为2212|2b|a2b2，b2 3a2.又由c2a2b2得c24a2，e24，e2.答案A 3.设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线ykx(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A.12B.1 C.32D.2 解析因为抛物线方程是y24x，所以F(1，0).又因为PFx轴，所以P(1，2)，把P点坐标代入曲线方程ykx(k0)，即k12，所以k2.答案D 4.(2018 天津卷)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.x24y2121 B.x212y241 C.x23y291 D.x29y231 解析由d1d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b3.因为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为2，所以ca2，所以a2b2a24，所以a2 9a24，解得a2 3，所以双曲线的方程为x23y291，故选 C.答案C 5.(2018 全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FMFN()A.5 B.6 C.7 D.8 解析法一过点(2，0)且斜率为23的直线的方程为y23(x2)，由y23（x2），y2 4x，得10 x25x 40，解得x1 或x4，所以x 1，y 2或x4，y4.不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以FM(0，2)，FN(3，4)，所以FMFN8.故选 D.法二过点(2，0)且斜率为23的直线的方程为y23(x2)，由y23（x2），y24x，得x2 5x40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1x25，x1x24.易知F(1，0)，所以FM(x11，y1)，FN(x21，y2)，所以FMFN(x11)(x2 1)y1y2x1x2(x1x2)14x1x2 45188.故选 D.答案D 二、填空题6.(2017 北京卷改编)若双曲线x2y2m1 的离心率为3，则实数m_，其渐近线方程为 _.解析由题意知1m1e23，则m2.渐近线方程为y2x.答案2 y2x7.(2018 金华一中质检)已知抛物线C：y2 8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若FP4FQ，则|QF|等于 _.解析设l交x轴于点M，过点Q作QQl交l于点Q，因为FP4FQ，所以|QQ|FM|PQ|PF|34，又焦点F到准线l的距离|FM|为 4，所以|QF|QQ|3.答案3 8.已知直线l过椭圆 8x2 9y272 的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M，N两点，则弦MN的长为 _，MN的垂直平分线方程为_.解析由 8x29y272 得x29y281，故椭圆的焦点为(1，0)，(1，0)，不妨设l的方程为y2(x1).由y2（x1），8x2 9y272，得 11x2 18x90.由根与系数的关系，得xMxN1811，xMxN911.由弦长公式得|MN|1k2|xMxN|51811249113 6001126011；又MN的中11点坐标为911，411，MN的垂直平分线方程为11x22y 10.答案601111x22y1 0 9.过点M(1，1)作斜率为12的直线与椭圆C：x2a2y2b21(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 _.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，（x1x2）（x1x2）a2（y1y2）（y1y2）b20，y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.y1y2x1x212，x1x22，y1y22，b2a212，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，ca22.答案2210.(2018 浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆x24y2m(m1)上两点A，B满足AP 2PB，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP2PB，得x1 2x2，1y12（y21），即x1 2x2，y132y2.因为点A，B在椭圆上，所以4x224（32y2）2m，x224y22m，得y214m34，所以x22m(3 2y2)214m252m9414(m5)244，所以当m5 时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案5 11.(2018 全国卷)已知点M(1，1)和抛物线C：y2 4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若AMB90，则k_.12解析法一由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0)，由yk（x1），y2 4x，消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22k24k2，x1x21.由yk（x1），y24x，消去x得y2 41ky1，即y24ky40，则y1y24k，y1y2 4，由AMB90，得MAMB(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将x1x22k24k2，x1x21 与y1y24k，y1y2 4 代入，得k2.法二设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y214x1，y224x2，所以y21y224(x1x2)，则ky1y2x1x24y1y2，取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x 1 的垂线，垂足分别为A，B，又AMB90，点M在准线x 1 上，所以|MM|12|AB|12(|AF|BF|)12(|AA|BB|).又M为AB的中点，所以MM平行于x轴，且y0 1，所以y1y22，所以k 2.答案2 12.(2018 上海模拟)已知点A(2，0)，B(2，0)，过点A作直线l与以A，B为焦点的椭圆交于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与圆x2y21 相切，则该椭圆的标准方程是_，过A点的椭圆的最短弦长为_.解析根据题意，知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，由题意设椭圆方程为x2a2y2a241(a2 4)，由直线l与圆x2y2 1相切，得|2k|1k2 1，解得k213.将代入，得(a23)x2a2x34a44a20，设点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2a2a23，又线段MN的中点到y轴的距离为45，所以|x1x2|85，即a2a2385，解得a28.所以该椭圆的标准方程为x28y241.过A点的椭圆最短弦垂直于x轴，其长为22.答案x28y241 22 13三、解答题13.(2018 衢州二中调研)已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，右焦点为F(1，0).(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OMON，求直线l的方程.解(1)依题意可得1a22，a2b21，解得a2，b1.椭圆E的标准方程为x22y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x1，不符合题意；当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为yk(x 1).联立得方程组x22y21，yk（x1），消去y整理得(1 2k2)x2 4k2x2(k21)0，x1x24k212k2，x1x22（k2 1）12k2.y1y2k2x1x2(x1x2)1 k212k2.OMON，OMON0.x1x2y1y2k2212k20，k2.故直线l的方程为y2(x1).14.(2018 全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.解(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0).设A(x1，y1)，B(x2，y2).由yk（x1），y24x得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x22k24k2.14所以|AB|AF|BF|(x1 1)(x21)4k24k2.由题设知4k24k28，解得k 1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0 x05，（x01）2（y0 x01）2216.解得x03，y02或x011，y0 6.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.15.已知抛物线E：y2 8x，圆M：(x2)2y24，点N为抛物线E上的动点，O为坐标原点，线段ON的中点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)点Q(x0，y0)(x05)是曲线C上的点，过点Q作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点，求QAB面积的最小值.解(1)设P(x，y)，因为点N(2x，2y)在抛物线E：y28x上，4y216x，曲线C的方程为y24x.(2)设切线方程为yy0k(xx0).令y0，得xx0y0k.圆心(2，0)到切线的距离d|2ky0kx0|k2 12，整理得(x204x0)k2(4y0 2x0y0)ky2040.设两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1k22x0y04y0 x204x0，k1k2y204x204x0.QAB面积S12x0y0k1x0y0k2|y0|12y20k1k2k1k22x20 x01.设tx014，)，则Sf(t)2t1t 2 在4，)上单调递增，且f(4)252，f(t)252，即QAB面积的最小值为252.