高阶导数和函数的微分.ppt

基本求导公式导数的四则运算法则复合函数的求导法 复 习f(x)=f (u)(x)=f (x)(x)前面我们学习了函数的各种求导法。显然y=x2 的导数是y=2x，而y=2x这个函数仍然可导，(2x)=2.定义定义2.2 对于函数对于函数y=f(x)，若其导数，若其导数y=f (x)可导，可导，则称则称y=f (x)的导数的导数f (x)为函数为函数y=f(x)的二阶导数，的二阶导数，记作：记作：y 或或f (x)或或或或y(2)。即：即：y=(y)，f (x)=f (x)。同样地，若函数y=f(x)可导，且其导数y=f(x)仍然可导，即f(x)存在，则称f(x)为函数y=f(x)的二阶导数二阶导数。2.4 2.4 高阶导数高阶导数 类似地，若函数类似地，若函数y=f(x)的二阶导数的二阶导数y 仍可导，仍可导，则称则称y 的导数为的导数为y=f(x)的三阶导数，的三阶导数，记作：记作：y(3)，即，即y(3)=(y)。依此类推，若函数依此类推，若函数y=f(x)的的n 1阶导数阶导数y(n 1)可导，则称可导，则称y(n 1)的导数为的导数为y=f(x)的的n阶导数，阶导数，记作：记作：y(n)，即，即y(n)=y(n 1)。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。例1 设y=ln(22x)，求y解 先求一阶导数y=ln(2 2x)再求二阶导数y=(y)例2 设y(6)=x2sinx，求y(8)解=2sinx+2xcosx+2xcosx+x2(sinx)=2sinx+4xcosx x2sinx例3 求下列函数的n阶导数：（1）y=sinx;（2）y=xn.(1)解解:一般地,类似可证:（2）y=(xn)=nx n1y=(nxn1)=n(n1)xn2y=n(n1)xn2=n(n1)(n2)xn3于是，可知y(n)=n(n1)(n2)1=n！练习：练习：1.求下列函数的二求下列函数的二阶导阶导数数（1）y=ex lnx（2）y=x2 e-2x （3）y=2.求求 y=e 2x，(n N)的的n阶导阶导数数2.5 2.5 函数的微分函数的微分一、微分概念一、微分概念引例引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A,则面积的增量为关于x 的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在 的微分当 x 在取得增量时,变到边长由其定义定义 设函数y=f(x)在点x可导,自变量在点x的改变量为x，则乘积函数f (x)x称为函数y=f(x)在点x的微分微分，记为dy.即dy=f (x)x这时，也称函数y=f(x)在点x可微可微。对函数y=x，由于 y =(x)=1，因而dy=dx=1 x=x 于是，函数y=f(x)的微分，一般记为dy=f (x)dx即函数在点函数在点x的微分等于函数在点的微分等于函数在点x的导数与自变量微分的导数与自变量微分的乘积的乘积。改写为导数又称为微商。练习练习：函数y=f(x)可微的充分必要条件是 函数y=f(x)可导。函数y=f(x)在点x0的微分记为 dy|x=x0即dy|x=x0=f (x0)dx例1 若y=f(x)=x2，求x=1,x=0.01时函数的改变量y与微分dy.解由上述条件，x=1,x=0.01，因此y=f(1+x)f(1)=(1+x)212=0.0201当x=1,x=0.01时，f(1)=(x2)|x=1=2x|x=1=2，于是dy=f(1)x=20.01=0.02设y=x2+x，求在x=1,x=0.1，x=0.01时函数改变量y与微分dy.定理定理二、微分计算二、微分计算dy=f (x)dx例例2 求下列函数的微分：求下列函数的微分：解 （1）由于所以（2）由于所以（3）由于所以练习练习:求下列函数的微分：求下列函数的微分：小结3.3.函数微分的求法函数微分的求法1.1.求导法则及其应用求导法则及其应用2.2.高阶导数高阶导数理解高阶导数的概念，掌握二阶导数的理解高阶导数的概念，掌握二阶导数的求法求法dy=f(x)dxdy|x=x0=f(x0)x作业P51 A组 1 2(1)P53 A组 2 (3)(5)(6)3(书上)B组 2