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椭球面元素归算至高斯平面高斯投影第1页，共92页，编辑于2022年，星期一一、长度比一、长度比5.1 5.1 高斯投影概述高斯投影概述或者或者长度比不仅随点的位置，而且随线段的方向而发生变化。长度比不仅随点的位置，而且随线段的方向而发生变化。第2页，共92页，编辑于2022年，星期一n高斯投影是高斯投影是等角横轴切椭圆柱投影。等角横轴切椭圆柱投影。n高斯投影是一种等角投影。它是由德国数学家高斯高斯投影是一种等角投影。它是由德国数学家高斯(Gauss(Gauss，1777 1777 1855)1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格提出，后经德国大地测量学家克吕格(Kruger(Kruger，185718571923)1923)加以补充完善，故又称加以补充完善，故又称“高斯高斯克吕格投影克吕格投影”，简称，简称“高斯投影高斯投影”。二、高斯投影的基本概念二、高斯投影的基本概念第3页，共92页，编辑于2022年，星期一NSc中中中中央央央央子子子子午午午午线线线线赤道赤道高斯投影平面高斯投影平面赤道赤道中中央央子子午午线线 高斯投影高斯投影采用分带投影。将椭球面按一定经差分带，分采用分带投影。将椭球面按一定经差分带，分别进行投影。别进行投影。1、高斯投影的原理、高斯投影的原理第4页，共92页，编辑于2022年，星期一(1)(1)中央子午线投影后为直线，且长度不变。中央子午线投影后为直线，且长度不变。(2)(2)除中央子午线外，其余子午线的投影均为凹除中央子午线外，其余子午线的投影均为凹向中央子午线的曲线，并以中央子午线为对向中央子午线的曲线，并以中央子午线为对称轴。投影后有长度变形。称轴。投影后有长度变形。(3)(3)赤道线投影后为直线，有长度变形赤道线投影后为直线，有长度变形(4)(4)除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。的曲线，并以赤道为对称轴。(5)(5)经线与纬线投影后仍然保持正交。经线与纬线投影后仍然保持正交。(6)(6)所有长度变形的线段，其长度变形比均大于所有长度变形的线段，其长度变形比均大于l l。(7)(7)离中央子午线愈远，长度变形愈大。离中央子午线愈远，长度变形愈大。赤道赤道中央子午线中央子午线平行圈平行圈子午线子午线O Ox xy y2、高斯投影的特点、高斯投影的特点第5页，共92页，编辑于2022年，星期一 我国规定按经差我国规定按经差66和和33进进行投影分带。行投影分带。6 6带自首子午线开始，按带自首子午线开始，按66的经差自西向东分成的经差自西向东分成6060个带。个带。3 3带自带自1.5 1.5 开始，按开始，按33的的经差自西向东分成经差自西向东分成120120个带。个带。高斯投影带划分高斯投影带划分3、投影带的划分、投影带的划分第6页，共92页，编辑于2022年，星期一 66带与带与33带中央子午线之间的关系如图带中央子午线之间的关系如图:33带的中央子午线与带的中央子午线与66带中央子午线及分带子午线重带中央子午线及分带子午线重合，减少了换带计算。合，减少了换带计算。工程测量采用工程测量采用3 3 带带特殊工程可采用特殊工程可采用1.5 1.5 带或任意带带或任意带第7页，共92页，编辑于2022年，星期一 按照按照66带划分的规定，第带划分的规定，第1 1带中央子午线的经度为带中央子午线的经度为33，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：L L。=6N=6N3 3（N N为为66带的带号）带的带号）例：例：2020带中央子午线的经度为：带中央子午线的经度为：L L。6 206 2033117 117 按照按照33带划分的规定，第带划分的规定，第1 1带中央子午线的经度为带中央子午线的经度为33，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：L L。=3n =3n （n n为为33带的带号）带的带号）例：例：120120带中央子午线的经度为带中央子午线的经度为 L L。3 1203 120360 360 第8页，共92页，编辑于2022年，星期一 若已知某点的经度为若已知某点的经度为L L，则该点的，则该点的66带的带号带的带号N N由下由下式计算：式计算：若已知某点的经度为若已知某点的经度为L L，则该点所在，则该点所在33带的带号带的带号按下式计算：按下式计算：（四舍五入）（四舍五入）第9页，共92页，编辑于2022年，星期一x x轴轴 中央子午线的投影中央子午线的投影y y轴轴 赤道的投影赤道的投影原点原点O O 两轴的交点两轴的交点OxyP（X，Y）高斯自然高斯自然坐标坐标注：注：X X轴向北为正，轴向北为正，y y轴向东为正。轴向东为正。赤道赤道中央子午线中央子午线4、高斯平面直角坐标系的建立、高斯平面直角坐标系的建立第10页，共92页，编辑于2022年，星期一由于我国的位于北半球，由于我国的位于北半球，东西横跨东西横跨1212个个66带，各带带，各带又独自构成直角坐标系。又独自构成直角坐标系。故：故：X X值均为正，值均为正，而而Y Y值则有正有负。值则有正有负。u为了免出现负的横坐标，在横坐标上加上为了免出现负的横坐标，在横坐标上加上500 000m500 000m。此外还在坐标前面再冠以。此外还在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。带号。这种坐标称为国家统一坐标。例如：例如：有一点有一点Y=19 123 456.789mY=19 123 456.789m，该点位在，该点位在1919带内，其相对于中央子午线的坐带内，其相对于中央子午线的坐标标y=376 543.211m。u为了把各带联成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一为了把各带联成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一66带向东加宽带向东加宽3030，向西加宽，向西加宽1515或或7.5.7.5.这样在带边缘，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有两套公里格网。这样在带边缘，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有两套公里格网。保证了控制点间的互相应用，地图的顺利拼接和使用。保证了控制点间的互相应用，地图的顺利拼接和使用。第11页，共92页，编辑于2022年，星期一例：例：有一国家控制点的坐标有一国家控制点的坐标:x=3102467.280m,y=19367622 x=3102467.280m,y=19367622380m380m，（1 1）该点位于）该点位于6 6 带的第几带？带的第几带？（2 2）该带中央子午线经度是多少？）该带中央子午线经度是多少？（3 3）该点在中央子午线的哪一侧？该点距中央子午线和）该点在中央子午线的哪一侧？该点距中央子午线和赤道的距离为多少？赤道的距离为多少？（1）第）第19带带（2）L。=619-19-3=111（3）y367622.380-500000-132377.620m，在西侧），在西侧）（距中央子午线（距中央子午线132377.620m，距赤道，距赤道3102467.280m）第12页，共92页，编辑于2022年，星期一三、椭球面三角系化算到高斯平面三、椭球面三角系化算到高斯平面椭球面内（椭球面内（中央子午线中央子午线ON，赤道，赤道OE）三角网三角网PKTMQ：起始点起始点P大地坐标（大地坐标（B,l），），l=L-L0，L、L0分别为分别为P和轴子午线的大地经度；和轴子午线的大地经度；起始边起始边PK=S；起始边的大地方位角起始边的大地方位角APK；PC为垂直于中央子午线的大地线，为垂直于中央子午线的大地线，C点大地坐标（点大地坐标（B0,l=0）；）；PP1为过为过P点平行圈，点平行圈，P1点的大地坐标（点的大地坐标（B,l=0）；）；X为赤道至纬度为赤道至纬度B的平行圈子午弧长。的平行圈子午弧长。第13页，共92页，编辑于2022年，星期一三、椭球面三角系化算到高斯平面三、椭球面三角系化算到高斯平面高斯投影面上高斯投影面上：中央子午线和赤道分别为直线中央子午线和赤道分别为直线ON 及及OE ，其他子午线和平行圈均变为曲线。其他子午线和平行圈均变为曲线。PN是是PN的投影，的投影，P P 1是是PP1的投影；的投影；P的直角坐标为（的直角坐标为（x,y）；）；因是等角投影，大地方位角因是等角投影，大地方位角APK投影后没有变化。投影后没有变化。三角形投影后变为边长三角形投影后变为边长si的的曲线曲线三角形三角形(长度大于椭球面上的边长长度大于椭球面上的边长)，且，且曲线都凹向纵坐标轴曲线都凹向纵坐标轴;第14页，共92页，编辑于2022年，星期一1、椭球面三角系化算到高斯投影、椭球面三角系化算到高斯投影面问题分析面问题分析（1）投影后需用连接各点间的弦线来代替曲线。为此，必须在每个方）投影后需用连接各点间的弦线来代替曲线。为此，必须在每个方向上引进曲改直的水平方向改正；向上引进曲改直的水平方向改正；（2）根据始点）根据始点P的大地坐标的大地坐标B,L计算其平面坐标的坐标正算公式；计算其平面坐标的坐标正算公式；（3）反算公式；）反算公式；第15页，共92页，编辑于2022年，星期一1、椭球面三角系化算到高斯投影面、椭球面三角系化算到高斯投影面问题分析问题分析（4）确定平面三角形各边坐标方位角）确定平面三角形各边坐标方位角a。（5）确定平面三角形各边长。）确定平面三角形各边长。第16页，共92页，编辑于2022年，星期一(1)高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 将起始点的大地坐标将起始点的大地坐标B，L归算为高斯平面直角坐标归算为高斯平面直角坐标x，y；根据（；根据（x,y）反算（反算（B,L）。）。(2)通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大地椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上方位角归算到高斯平面上相应边的相应边的坐标方位角坐标方位角。(3)通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上归算到高斯平面上的由相应的由相应直线组成的三角形内角直线组成的三角形内角。(4)通过计算距离改正，将通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度的直线长度。(5)控制网跨越两投影带时，需要进行控制网跨越两投影带时，需要进行平面坐标的邻带换算平面坐标的邻带换算。2、将椭球面三角系化算到高斯投影面、将椭球面三角系化算到高斯投影面的主要内容的主要内容n将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改正、距离改正和子午将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改正、距离改正和子午线收敛角等项计算工作。线收敛角等项计算工作。第17页，共92页，编辑于2022年，星期一第一类称高斯投影正算公式，亦即由（第一类称高斯投影正算公式，亦即由（B,L）求（）求（x、y）;第二类称高斯投影反算公式，亦即由（第二类称高斯投影反算公式，亦即由（x、y）求（）求（B,L）。）。5.2 5.2 高斯投影坐标正反算高斯投影坐标正反算一、高斯投影坐标正算公式一、高斯投影坐标正算公式高斯投影必须满足以下三个条件：高斯投影必须满足以下三个条件：中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后长度不变；中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。投影具有正形性质，即正形投影条件。第18页，共92页，编辑于2022年，星期一(1)在在经经差小于差小于3.5时时，精度，精度为为0.1m第19页，共92页，编辑于2022年，星期一(2)扩展到精度展到精度0.001m的公式：的公式：自赤道量起的到所求点的子午线弧长自赤道量起的到所求点的子午线弧长所求点的大地经度与该所求点的大地经度与该点所在带的中央子午线点所在带的中央子午线的大地经度之差的大地经度之差第20页，共92页，编辑于2022年，星期一二、高斯投影坐标反算公式二、高斯投影坐标反算公式投影方程投影方程x坐标轴投影后为中央子午线坐标轴投影后为中央子午线,是投影的对称轴；是投影的对称轴；x坐标轴投影后长度不变；坐标轴投影后长度不变；投影具有正形性质。即高斯面上的角度投影到椭球面上投影具有正形性质。即高斯面上的角度投影到椭球面上后角度没有变形，仍然相等。后角度没有变形，仍然相等。投影函数投影函数1 1、2 2应应满足以下三个条件：满足以下三个条件：首先根据首先根据x计算纵坐标在椭球面上的垂足纬度计算纵坐标在椭球面上的垂足纬度Bf，接着按，接着按Bf计计算算(Bf-B)及经差及经差l,最后得到最后得到反算公式的推导方法的基本思想：反算公式的推导方法的基本思想：1.1.高斯投影坐标反算基本思想高斯投影坐标反算基本思想第21页，共92页，编辑于2022年，星期一2.2.精度为精度为0.00010.0001的高斯投影坐标反算公式的高斯投影坐标反算公式垂足纬度。垂足纬度。其值由子午线其值由子午线弧长计算公式反弧长计算公式反算求得算求得第22页，共92页，编辑于2022年，星期一1.1.正算实用公式正算实用公式5.3 5.3 高斯投影坐标计算的实用公式高斯投影坐标计算的实用公式第23页，共92页，编辑于2022年，星期一第24页，共92页，编辑于2022年，星期一2.2.反算实用公式反算实用公式第25页，共92页，编辑于2022年，星期一第26页，共92页，编辑于2022年，星期一5.4 5.4 方向改化公式方向改化公式u方向改正数方向改正数就是指大地线的就是指大地线的投影曲线和连接大地线两点投影曲线和连接大地线两点的弦之夹角。的弦之夹角。第27页，共92页，编辑于2022年，星期一设地球椭球为一圆球；设地球椭球为一圆球；OD为轴子午线；为轴子午线；AB为一条大地线为一条大地线(是球面上一条是球面上一条大圆弧大圆弧)，投影为曲线，投影为曲线ab；AD、B E是与轴子午线正交点大圆是与轴子午线正交点大圆弧，投影分别为垂直于弧，投影分别为垂直于x轴的直线轴的直线ad和和be。一、方向改化近似公式的推导一、方向改化近似公式的推导第28页，共92页，编辑于2022年，星期一方向改化概略数值方向改化概略数值误差小于误差小于0.1，可适用于三、四，可适用于三、四等三角测量的计算等三角测量的计算由表可见，对于各等三角测量计算，方向改正都不能忽略。由表可见，对于各等三角测量计算，方向改正都不能忽略。第29页，共92页，编辑于2022年，星期一1)用勒让德尔定理解算球面三角形用勒让德尔定理解算球面三角形 1 1、准备知识、准备知识二、方向改化较精密公式的推导二、方向改化较精密公式的推导 勒让德尔定理：勒让德尔定理：如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则平面如果平面三角形和球面三角形对应边相等，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超。角等于对应球面角减去三分之一球面角超。第30页，共92页，编辑于2022年，星期一P为平面三角形的面积。为平面三角形的面积。可直接用球面角代替平面角计算球面角超，虽然带有误差，但研究可直接用球面角代替平面角计算球面角超，虽然带有误差，但研究表明：当边长不大于表明：当边长不大于90km时，这种误差小于时，这种误差小于0.0005，可忽略。，可忽略。2)球面角超的计算球面角超的计算第31页，共92页，编辑于2022年，星期一设地球椭球为一圆球；设地球椭球为一圆球；AB为轴子午线为轴子午线;小圆弧小圆弧P1Q与轴子午线平行，垂直于与轴子午线平行，垂直于BQ、AP1，投影为，投影为PQ；大圆弧大圆弧P1CQ的投影为曲线的投影为曲线P1 C Q。2 2、方向改化较精密公式的推导、方向改化较精密公式的推导第32页，共92页，编辑于2022年，星期一勒让德尔定理勒让德尔定理第33页，共92页，编辑于2022年，星期一代入代入我国二等三角网平均边长为我国二等三角网平均边长为13KM13KM，当，当y ym m250km250km时，上时，上式精确至式精确至0.010.01，故通常用，故通常用于于二等二等三角测量计算。三角测量计算。整理，以Rm代替R第34页，共92页，编辑于2022年，星期一该式精确至该式精确至0.0010.001，适用于一等三角测量计算。，适用于一等三角测量计算。第35页，共92页，编辑于2022年，星期一5.5 5.5 距离改化公式距离改化公式由由S化至化至D所加的所加的S改正称为改正称为距离改正距离改正.1)研究平面曲线长度研究平面曲线长度s与其弦线长度与其弦线长度D的关系的关系;2)研究用大地坐标研究用大地坐标B、L和平面坐标和平面坐标x、y计算长度比计算长度比m的公式的公式;3)导出距离改化的计算公式。导出距离改化的计算公式。m1S：大地线长；：大地线长；s：大地线：大地线S在高斯平面的投影；在高斯平面的投影；D：直线长；：直线长；思路：第36页，共92页，编辑于2022年，星期一1 1、平面曲线长度、平面曲线长度s s与其弦线长度与其弦线长度D D的关系的关系 v是一个小角，最大不会超过方向改化值是一个小角，最大不会超过方向改化值，因此可，因此可把把cosv展开为级数：展开为级数：式中用式中用v的最大值的最大值代替代替 v第37页，共92页，编辑于2022年，星期一 目前，最高的距离测量精度约为目前，最高的距离测量精度约为10-8，弧线与直线的长度差异，弧线与直线的长度差异完全可以忽略完全可以忽略.完全可以认为：完全可以认为：大地线的平面投影曲线长度大地线的平面投影曲线长度s等于其弦线长度等于其弦线长度D。第38页，共92页，编辑于2022年，星期一2 2、长度比和长度变形、长度比和长度变形 长度比长度比m是指椭球面上某一点的微分元素是指椭球面上某一点的微分元素dS，与其投影面，与其投影面上的相应的微分元素上的相应的微分元素ds之比，即：之比，即：为为长度变形长度变形。1）用大地坐标表示的长度比公式）用大地坐标表示的长度比公式第39页，共92页，编辑于2022年，星期一2）用平面坐标表示的长度比公式）用平面坐标表示的长度比公式Rm大地线始末两端点的平均纬度计算的椭球平均曲率半径。(长度比的近似式)长度比是y坐标的偶函数，且只与y坐标有关。第40页，共92页，编辑于2022年，星期一 m随点的位置随点的位置(B,L)或或(x,y)而异，但在一点上与方向无关；而异，但在一点上与方向无关；当当y=0(或或l=0)时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点的时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点的m都等于都等于1，即中央子午线投影后长度不变；，即中央子午线投影后长度不变；当当y0或或 l0 时，由于时，由于m是是y(或或l)的偶函数，且各项都为的偶函数，且各项都为“+”号，号，故故m恒恒大于大于1，即除中央子午线外其它投影后都变长了；，即除中央子午线外其它投影后都变长了；长度变形长度变形(m-1)与与y2或或l2成正比例地增大，愈离远中央子午线长度变成正比例地增大，愈离远中央子午线长度变形愈大。形愈大。在同一纬线上在同一纬线上(B=常数常数)长度变形长度变形(m-1)随随l的增大而增大的增大而增大.在同一经线上在同一经线上(l=常数常数)长度变形长度变形(m-1)随随B的减少而增大，在赤道处的减少而增大，在赤道处(B=0)为最大。为最大。3）高斯投影及长度变形规律分析）高斯投影及长度变形规律分析第41页，共92页，编辑于2022年，星期一3 3、距离改化公式、距离改化公式当当S70km,ym350km(6带边缘带边缘)计算精度达计算精度达0.001m，对于一等，对于一等边长的归算完全可满足要求。边长的归算完全可满足要求。条三角边边长较短，长度比变化微小，可认为是一个常数。条三角边边长较短，长度比变化微小，可认为是一个常数。因而对于一条三角边边长而言：因而对于一条三角边边长而言：大地线上各微分弧段的长度比是不同的。但一大地线上各微分弧段的长度比是不同的。但一ym取大地线投影后始末两点横坐标平均值精密公式：精密公式：可用于二等边长的归算可用于二等边长的归算第42页，共92页，编辑于2022年，星期一4 4、距离改化的实用计算公式、距离改化的实用计算公式一等三角网的距离改正的实用公式：一等三角网的距离改正的实用公式：二等三角网的距离改正的实用公式：二等三角网的距离改正的实用公式：三等三角网以下的距离改正的实用公式：三等三角网以下的距离改正的实用公式：第43页，共92页，编辑于2022年，星期一将长度比公式将长度比公式代入上式，得：代入上式，得：则，距离改化则，距离改化 S可表示为：可表示为：若边的两端点离中央子午线都不超过若边的两端点离中央子午线都不超过45公里，则可简化为：公里，则可简化为：补充一点补充一点第44页，共92页，编辑于2022年，星期一5.65.6高斯投影的邻带换算高斯投影的邻带换算1）位于两个相邻带边缘地区并跨越两个投影带的控制，为了能在同一带内进行平差计算，计算前，必须先进行起始坐标统一化换算。1 1、换带的原因、换带的原因 一个带的平面坐标换算到相邻带的平面坐标，简称为一个带的平面坐标换算到相邻带的平面坐标，简称为“邻带换算邻带换算”。第45页，共92页，编辑于2022年，星期一2)在分界子午线附近测图时，往往需要用到另一带的三角点作为控制，因此必须将这些点的坐标换算到同一带中；为实现两相邻带地形图的拼接和使用，在于45(或37.5)重叠地区的平面控制点需要具有相邻带的坐标值。3)当大比例尺(1:0 000或更大)测图时,特别是在工程测量中，要求采用3带、1.5带或任意带，而国家控制点通常只有6带坐标,这时就产生了6带同3带(或1.5“带、任意带)之间的相互坐标换算问题。第46页，共92页，编辑于2022年，星期一邻带方里网：邻带方里网：如图所示：如图所示：第47页，共92页，编辑于2022年，星期一规定：在一定范围内将邻带的坐标延伸到本带的图幅中。规定：在一定范围内将邻带的坐标延伸到本带的图幅中。第48页，共92页，编辑于2022年，星期一第49页，共92页，编辑于2022年，星期一2 2、应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算、应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算平面坐标平面坐标大地坐标大地坐标平面坐标平面坐标实质：实质：把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标:利用高斯投影的正反算公式，可以进行不同投影带坐标的换带计利用高斯投影的正反算公式，可以进行不同投影带坐标的换带计算。算。这种方法,理论上最简明严密，精度最高，通用性最强。不仅适用于6-6带，3-3带以及6-3带互相之间的邻带坐标换算，且适用于任意带之间的坐标换算。虽计算量稍大，但由于计算机的普及和本法的通用性及计算的高精度，它自然便成为坐标邻带换算中最基本的方法。第50页，共92页，编辑于2022年，星期一反算公式反算公式正算公式正算公式第51页，共92页，编辑于2022年，星期一 4.由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐标 x，y。算步骤：算步骤：1.根据高斯投影坐标 x,y，反算得纬度B和经度差l；2.由中央子午线的经度L0,求得经度 L=L0+l；3.根据换带后新的中央子午线经度L0，计算相应的经差;第52页，共92页，编辑于2022年，星期一算例算例在中央子午线在中央子午线 的的带中，有某一点的平面直角坐标带中，有某一点的平面直角坐标 ，现要求计算该点在中央子午线，现要求计算该点在中央子午线 的的第第带的平面直角坐标。带的平面直角坐标。计算步骤：计算步骤：根据根据 ,利用高斯反算公计算换算利用高斯反算公计算换算,，得到，得到:，。采用已求得的采用已求得的,，顾及第，顾及第带的中央子午线带的中央子午线 ，求得，利用高斯正算公式计算第求得，利用高斯正算公式计算第带的直角坐带的直角坐标标 ,。为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算第53页，共92页，编辑于2022年，星期一5.75.7横轴墨卡托投影的概念横轴墨卡托投影的概念 墨卡托投影为墨卡托投影为正轴等角切圆正轴等角切圆柱投影柱投影，是由墨卡托于，是由墨卡托于1569年年专门为航海目的设计的专门为航海目的设计的。设计思想设计思想是令一个与地轴方向是令一个与地轴方向一致的圆柱切于或割于地球，将球一致的圆柱切于或割于地球，将球面上的经纬网按等角条件投影于圆面上的经纬网按等角条件投影于圆柱表面上，然后将圆柱面沿一条母柱表面上，然后将圆柱面沿一条母线剪开展成平面，即得墨卡托投影线剪开展成平面，即得墨卡托投影。一、一、墨卡托墨卡托(Mercator)(Mercator)投影投影第54页，共92页，编辑于2022年，星期一墨卡托投影的经纬线是互为墨卡托投影的经纬线是互为垂直的平行直线，经线间隔相等，垂直的平行直线，经线间隔相等，纬线间隔由由赤道向两极逐渐扩纬线间隔由由赤道向两极逐渐扩大。大。图上任取一点，由该点向各方图上任取一点，由该点向各方向长度比皆相等，即角度变形为向长度比皆相等，即角度变形为零。零。在正轴等角切圆柱投影中，在正轴等角切圆柱投影中，赤道为没有变形的线，随纬赤道为没有变形的线，随纬度增高面积变形增大。度增高面积变形增大。第55页，共92页，编辑于2022年，星期一墨卡托投影：正轴等角切圆柱投影编制世界时区图第56页，共92页，编辑于2022年，星期一lUTMUTM投影投影全称为全称为“通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影”(Universal Transverse(Universal Transverse Mercator Projection)Mercator Projection)投影属于横轴等角割椭圆柱投影。投影属于横轴等角割椭圆柱投影。l椭圆柱割地球于南纬椭圆柱割地球于南纬80度、北纬度、北纬84度两条等高圈。度两条等高圈。l它的投影条件是取第它的投影条件是取第3 3个条件个条件“中央经线投影长度比不等于中央经线投影长度比不等于1 1而是等而是等于于0.9996”0.9996”，投影后两条割线上没有变形。，投影后两条割线上没有变形。lUTM投影分带方法与高斯投影分带方法与高斯-克吕格投影相似，是自西经克吕格投影相似，是自西经180起每隔起每隔经差经差6度自西向东分带，将地球划分为度自西向东分带，将地球划分为60个投影带。个投影带。l它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个简单它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系，因而有的文献上也称它为的比例关系，因而有的文献上也称它为m m0 00.99960.9996的高斯投影。的高斯投影。lUTM投影是为了全球战争需要创建的，美国于投影是为了全球战争需要创建的，美国于1948年完成这种通用年完成这种通用投影系统的计算。投影系统的计算。二、通用横轴墨卡托投影概念二、通用横轴墨卡托投影概念 第57页，共92页，编辑于2022年，星期一NS第58页，共92页，编辑于2022年，星期一 UTMUTM投影的中央经线长度比为投影的中央经线长度比为0.999 60.999 6，这是为了使得，这是为了使得，处的最大变形值小于处的最大变形值小于0.0010.001而选择的数值。两而选择的数值。两条割线条割线(在赤道上，它们位于离中央子午线大约在赤道上，它们位于离中央子午线大约(约约)处处)上没有长度变形；离开这两条割线愈远变上没有长度变形；离开这两条割线愈远变形愈大；在两条割线以内长度变形为负值；在两条割线之外长形愈大；在两条割线以内长度变形为负值；在两条割线之外长度变形为正值。度变形为正值。UTMUTM投影的分带是将全球划分为投影的分带是将全球划分为6060个投影带，带号个投影带，带号1 1，2 2，3 3，6060连续编号，每带经差为连续编号，每带经差为，从经度，从经度180180和和1717之间为起始带之间为起始带(1(1带带)，连续向东编号。，连续向东编号。1.UTM1.UTM投影变形的特点：投影变形的特点：2.UTM2.UTM投影带的划分：投影带的划分：3.3.直角坐标系的实用公式：直角坐标系的实用公式：第59页，共92页，编辑于2022年，星期一基本公式如下：可由高斯可由高斯-克吕格投影簇通用公式导出，也可依高斯投影而克吕格投影簇通用公式导出，也可依高斯投影而得。得。4.UTM4.UTM投影的直角坐标投影的直角坐标(x,y),(x,y),长度比长度比,子午线收敛角子午线收敛角第60页，共92页，编辑于2022年，星期一横轴墨卡托投影第61页，共92页，编辑于2022年，星期一(1)UTM是对高斯投影的改进，改进的目的是为了减少投影变形。是对高斯投影的改进，改进的目的是为了减少投影变形。(2)UTM投影的投影变形比高斯的要小，最大在投影的投影变形比高斯的要小，最大在0.001。但其投影变形规律比。但其投影变形规律比高斯要复杂一点，因为它用的是割圆柱，所以，它的高斯要复杂一点，因为它用的是割圆柱，所以，它的m1的地方是在割的地方是在割线上，实际上是一个圆，处在正负线上，实际上是一个圆，处在正负140的位置，距离中央经线大约的位置，距离中央经线大约180km。(3)UTM投影在中央经线上，投影变形系数投影在中央经线上，投影变形系数m0.9996，而高斯投影的中，而高斯投影的中央经线投影的变形系数央经线投影的变形系数m1。(4)UTM为了减少投影变形也采用分带，它采用为了减少投影变形也采用分带，它采用6分带。但起始的分带。但起始的1带是带是（e174e180），所以，），所以，UTM的的6分带的带号比高斯的大分带的带号比高斯的大30。(5)高斯投影与高斯投影与UTM投影可近似计算。计算公式是：投影可近似计算。计算公式是：XUTM=0.9996*X高斯高斯YUTM=0.9996*Y高斯高斯这个公式的误差在这个公式的误差在1米范围内，完全可以接受。米范围内，完全可以接受。5.UTM5.UTM与高斯投影的异同与高斯投影的异同第62页，共92页，编辑于2022年，星期一 我国大地测量法式和有关测量规范规定：我国大地测量法式和有关测量规范规定：国家大地测量控制网依高斯投影方法按国家大地测量控制网依高斯投影方法按6”带或带或3“带进行分带带进行分带和计算，并把观测成果归算到参考椭球体面上。和计算，并把观测成果归算到参考椭球体面上。（1）符合高斯投影的分带原则和计算方法，与国际惯例相一）符合高斯投影的分带原则和计算方法，与国际惯例相一致，而且也便于大地测量成果的统一、使用和互算。致，而且也便于大地测量成果的统一、使用和互算。（2）无论对按）无论对按6带测制带测制1:2.5 万或更小比例尺国家基本图，还是对万或更小比例尺国家基本图，还是对按按3带测制带测制1:1万比例尺图，都能满足测图的精度要求。万比例尺图，都能满足测图的精度要求。国家大地测量控制网投影带与投影面选择的合理性国家大地测量控制网投影带与投影面选择的合理性5.85.8工程测量投影面与投影带的选择大概念工程测量投影面与投影带的选择大概念第63页，共92页，编辑于2022年，星期一一个城市只应建立一个与国家坐标系统相联系的、相对一个城市只应建立一个与国家坐标系统相联系的、相对独立和统一的城市坐标系统，并经上级行政主管部门审查独立和统一的城市坐标系统，并经上级行政主管部门审查批准后方可使用。批准后方可使用。城市平面控制测量坐标系统的选择应以投影长度变形值不大于城市平面控制测量坐标系统的选择应以投影长度变形值不大于2.5cm/km2.5cm/km为原则，并根据城市地理位置和平均高程而定。为原则，并根据城市地理位置和平均高程而定。城市测量规范规定：城市测量规范规定：如何选择城市平面控制网坐标系统？如何选择城市平面控制网坐标系统？工程测量，既有测绘大比例尺图的任务，又有满足各种工程建工程测量，既有测绘大比例尺图的任务，又有满足各种工程建设和市政建设施工放样工作的要求。如何根据这些目的和要求合设和市政建设施工放样工作的要求。如何根据这些目的和要求合适地选择投影面和投影带，经济合理地确立工程平面控制网的坐适地选择投影面和投影带，经济合理地确立工程平面控制网的坐标系，在工程测量是一个重要的课题。标系，在工程测量是一个重要的课题。第64页，共92页，编辑于2022年，星期一1.1.引起投影变形的因素引起投影变形的因素一、工程测量中投影面和投影带选择的基本出发点一、工程测量中投影面和投影带选择的基本出发点1）实量边长归算到参考椭球体面上的变形影响）实量边长归算到参考椭球体面上的变形影响 S1Hm:归算边高出参考椭球面的平均高程;R:归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径。第65页，共92页，编辑于2022年，星期一可见：可见：s1值是负值，表明将地面实量长度归算到参考椭球面上，值是负值，表明将地面实量长度归算到参考椭球面上，总是缩短的；总是缩短的；ls1l值与值与Hm成正比，随成正比，随Hm增大而增大。增大而增大。取R=6370km，计算的每公里长度投影变形值第66页，共92页，编辑于2022年，星期一（2）将参考椭球面上边长归算到高斯投影面上的变形影响）将参考椭球面上边长归算到高斯投影面上的变形影响S为参考椭求面上的长度(经过高程改正过的边长)；ym为归算边两端点横坐标平均值；Rm为参考椭球面平面平均曲率半径。第67页，共92页，编辑于2022年，星期一由公式可以看出：由公式可以看出：的值总为正，即椭球面上长度归算的值总为正，即椭球面上长度归算至高斯面上，总是增大的。至高斯面上，总是增大的。值与值与 成正比而增大，成正比而增大，离中央子午线愈远变形愈大。离中央子午线愈远变形愈大。第68页，共92页，编辑于2022年，星期一n为便于施工放样的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长为便于施工放样的顺利进行，要求由控制点坐标直接反算的边长与实地量得的边长，在长度上应该相等，即由上述两项归算投影与实地量得的边长，在长度上应该相等，即由上述两项归算投影改正而带来的变形或改正数，不得大于施工放样的精度要求。改正而带来的变形或改正数，不得大于施工放样的精度要求。n一般地，施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为一般地，施工放样的方格网和建筑轴线的测量精度为1/50001/50001/200001/20000。因此，由归算引起的控制网长度变形应小。因此，由归算引起的控制网长度变形应小于施工放样允许误差的于施工放样允许误差的1/21/2，即相对误差为，即相对误差为1/100001/100001/400001/40000，也就是说，每公里的长度改正数，不应该大于，也就是说，每公里的长度改正数，不应该大于10102.5cm2.5cm。2.2.有关工程测量平面控制网的精度要求的概念有关工程测量平面控制网的精度要求的概念第69页，共92页，编辑于2022年，星期一3.3.工程测量投影面和投影带选择的基本出发点工程测量投影面和投影带选择的基本出发点(1)(1)当长度变形值不大于当长度变形值不大于2.5cm/km2.5cm/km时时,应采用国家统一应采用国家统一33带高斯平带高斯平面直角坐标系，将观测结果归算至参考椭球面上。面直角坐标系，将观测结果归算至参考椭球面上。(2)(2)当长度变形值大于当长度变形值大于2.5cm/km 2.5cm/km 时，可采用任意带的独立高斯平面直角坐时，可采用任意带的独立高斯平面直角坐标系，归算测量结果的参考面可自己选定。标系，归算测量结果的参考面可自己选定。(a)(a)抵偿投影面的高斯正形投影抵偿投影面的高斯正形投影:通过改变通过改变H Hm m从而选择合适的高程参考面；从而选择合适的高程参考面；(b)(b)任意带高斯正形投影任意带高斯正形投影:改变改变y ym m从而对中央子午线作适当移动，以从而对中央子午线作适当移动，以抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形；抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形；(c)(c)具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影:通过既改变通过既改变H Hm m(选择高程选择高程参考面参考面