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第三章第三章 数字滤波器的数字滤波器的基本结构基本结构1本讲稿第一页，共五十三页3-1 3-1 数字滤波器结构的表示方法数字滤波器结构的表示方法一、数字滤波器的概念一、数字滤波器的概念n n数字滤波器：当输入、输出是离散信号数字滤波器：当输入、输出是离散信号,滤滤波器的冲激响应是单位抽样响应波器的冲激响应是单位抽样响应 时，这时，这样的滤波器称作样的滤波器称作数字滤波器数字滤波器。对其进行傅氏变换得对其进行傅氏变换得:2本讲稿第二页，共五十三页 如下图示：如下图示：c c0c c00为矩形窗时的情形为矩形窗时的情形图3-1 数字滤波器频响示意图3本讲稿第三页，共五十三页数字滤波器的实现方法：数字滤波器的实现方法：a.a.利用通用计算机编程，即软件实现；利用通用计算机编程，即软件实现；b.b.数字信号处理器（数字信号处理器（DSPDSP）即专用硬件实现。）即专用硬件实现。二、数字滤波器的系统函数与差分方程二、数字滤波器的系统函数与差分方程 1 1、系统函数、系统函数 一个数字滤波器的系统函数一般可表示一个数字滤波器的系统函数一般可表示为有理函数形式：为有理函数形式：4本讲稿第四页，共五十三页该式为该式为IIRIIR滤波器形式，若滤波器形式，若 都为都为0 0时就是一时就是一个个FIRFIR滤波器。滤波器。2 2、差分方程、差分方程 对于该系统，也可用差分方程来表示：对于该系统，也可用差分方程来表示：H(z)X(z)Y(z)5本讲稿第五页，共五十三页 描述常系数差分方程的三种基本运算：描述常系数差分方程的三种基本运算：加加法、单位延迟、乘常数。法、单位延迟、乘常数。三、数字滤波器结构的表示法三、数字滤波器结构的表示法1、方框图法、方框图法 单位延时单位延时:(n)z-1乘常数乘常数:a相加相加:6本讲稿第六页，共五十三页例如：例如：x(n)b0 y(n)图3-2 一阶数字滤波器的结构方框图7本讲稿第七页，共五十三页2 2、信号流图法、信号流图法 信号流图是由连接节点的有向支路构成的一信号流图是由连接节点的有向支路构成的一种网络，和每个节点相联系的是一个变量或节种网络，和每个节点相联系的是一个变量或节点值。箭头的方向代表信号流动的方向。包括点值。箭头的方向代表信号流动的方向。包括三种基本的运算：三种基本的运算：单位延时：单位延时：乘常数：乘常数：相加：相加：8本讲稿第八页，共五十三页例如：例如：1235467a1y(n-1)图5-3 数字滤波器的信号流图表示9本讲稿第九页，共五十三页3-2 3-2 IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构一、一、IIRIIR滤波器的特点滤波器的特点1 1、单位冲激响应、单位冲激响应 是无限长的。是无限长的。2 2、系统函数、系统函数 在有限在有限Z平面（平面（）上有极点存在。上有极点存在。3 3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入、结构上是递归型的，即存在着输出到输入 的反馈。的反馈。10本讲稿第十页，共五十三页二、基本结构二、基本结构1 1、直接、直接I I型型 直接由直接由IIRIIR滤波器的差分方程所得的网络结滤波器的差分方程所得的网络结构。由构。由IIRIIR数字滤波器的时域方程数字滤波器的时域方程其系统函数为其系统函数为11本讲稿第十一页，共五十三页式中，式中，可知，可知，实现了系统的零点；实现了系统的零点；实现了系统的极点。实现了系统的极点。其结构图如其结构图如3-43-4示。示。12本讲稿第十二页，共五十三页特点：特点：n n第一个网络实现第一个网络实现零点零点，即实现，即实现x(n)x(n)加权延时加权延时:直直接接I I型型图3-4 IIR数字滤波器的直接I型结构13本讲稿第十三页，共五十三页第二个网络实现第二个网络实现极点极点，即实现，即实现y(n)y(n)加权延时加权延时:2 2、直接、直接IIII型（正准型）型（正准型）对于对于直接直接I I型：型：即交换子系统即交换子系统 和和 顺序可得直接顺序可得直接IIII型型结构，如图结构，如图3-53-5示。示。14本讲稿第十四页，共五十三页 将图将图(a)(a)中间两部分的延迟单元合并得到图中间两部分的延迟单元合并得到图(b)(b)。图3-5 IIR数字滤波器的直接II型结构图（a）图（b）直直接接II型型15本讲稿第十五页，共五十三页图图(a)中中对上两式进行对上两式进行Z Z变换变换16本讲稿第十六页，共五十三页因此因此 它和直接它和直接II型具有相同的系统函数。型具有相同的系统函数。II型所型所用延迟单元减少用延迟单元减少M M个，可节省存储器。个，可节省存储器。17本讲稿第十七页，共五十三页共同的缺点：共同的缺点：n n系数系数a ak k、b bk k对滤波器性能的控制不直接，对对滤波器性能的控制不直接，对极、零点的控制难，一个极、零点的控制难，一个a ak k、b bk k的改变会影系的改变会影系统的零点或极点分布。统的零点或极点分布。n n对字长变化敏感（对对字长变化敏感（对a ak k、b bk k的准确度要求严的准确度要求严格）。格）。n n不稳定，阶数高时，上述影响更大。不稳定，阶数高时，上述影响更大。18本讲稿第十八页，共五十三页3 3、级联型（串联）、级联型（串联）先将一个先将一个N N阶系统函数的分子、分母都表达阶系统函数的分子、分母都表达为因子形式：为因子形式：19本讲稿第十九页，共五十三页其中，其中，p pk k为实零点，为实零点，c ck k为实极点；为实极点；q qk k，q qk k*表表示复共轭零点，示复共轭零点，d dk k ，d dk k*表示复共轭极点，表示复共轭极点，M=MM=M1 1+2M+2M2 2，N=NN=N1 1+2N+2N2 2 再将一阶共轭因子展开，构成实系数二阶因子，再将一阶共轭因子展开，构成实系数二阶因子，单实根因子看作二阶因子的一个特例，则得单实根因子看作二阶因子的一个特例，则得20本讲稿第二十页，共五十三页进一步完全分解成实系数的二阶因子：进一步完全分解成实系数的二阶因子：用若干一阶、二阶子网络用若干一阶、二阶子网络 级联构成级联结级联构成级联结构滤波器，二阶子网络称为二阶基本节（可用直接构滤波器，二阶子网络称为二阶基本节（可用直接II型实现）。型实现）。其中，其中，L表示二阶节数表示二阶节数(若若M=N)。N N为偶数时，为偶数时，L=N/2；N N为奇数时为奇数时L=21本讲稿第二十一页，共五十三页当（当（M=N=2M=N=2）时）时 AB图3-6 级联结构滤波器22本讲稿第二十二页，共五十三页它表示一个基本二阶节，有它表示一个基本二阶节，有AB当（当（M=N=4M=N=4）时）时图3-7 级联结构的二阶基本节23本讲稿第二十三页，共五十三页该式表示两个二阶节级联。该式表示两个二阶节级联。当当（M=N=6）时，则有三个时，则有三个二阶节级联，即二阶节级联，即AZ-1图3-8 六阶IIR滤波器的级联结构24本讲稿第二十四页，共五十三页特点：特点：n n简化实现，用一个二阶节，通过变换系数简化实现，用一个二阶节，通过变换系数就可实现整个系统；就可实现整个系统；n n极、零点可单独控制、调整极、零点可单独控制、调整。n n各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优化组合以减小运算误差化组合以减小运算误差；n n可流水线操作可流水线操作，所用的存储器的个数最少所用的存储器的个数最少。缺点：缺点：二阶节电平难控制，电平大易导致溢二阶节电平难控制，电平大易导致溢出，电平小则使信噪比减小。出，电平小则使信噪比减小。25本讲稿第二十五页，共五十三页 将系统函数展开成部分分式之和，可用并将系统函数展开成部分分式之和，可用并联方式构成滤波器：联方式构成滤波器：4 4、并联型、并联型共轭；当共轭；当MNMN时，不包含时，不包含 项；项；M=NM=N时，时，其中，其中，均为实数，均为实数，和和 复复该项为该项为G G0 0，则，则 表示为表示为26本讲稿第二十六页，共五十三页上式表明，可用上式表明，可用 个一阶网络、个一阶网络、个二阶网络以个二阶网络以及一个常数及一个常数 并联组成滤波器并联组成滤波器 。图3-9 并联结构（M=N）27本讲稿第二十七页，共五十三页 当当N N为奇数时，必定包含一个一阶节，即为奇数时，必定包含一个一阶节，即当当M=NM=N时，将一阶实极点和共轭极点化成实系数二阶时，将一阶实极点和共轭极点化成实系数二阶多项式，多项式，H(Z)H(Z)可表为可表为28本讲稿第二十八页，共五十三页例：例：M=N=3M=N=3时，为奇数，故时，为奇数，故所以所以29本讲稿第二十九页，共五十三页其结构图如下：其结构图如下：X(Z)Y(z)图3-10 三阶IIR滤波器并联结构30本讲稿第三十页，共五十三页并联型的特点：并联型的特点：系统实现简单；系统实现简单；极点位置可单独调整；极点位置可单独调整；运算速度快（可并行进行）；运算速度快（可并行进行）；各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，对字长要求低。对字长要求低。缺点：缺点：不能直接调整零点。不能直接调整零点。31本讲稿第三十一页，共五十三页三、转置结构三、转置结构如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入和输出交换，其系统函数仍不改变。输入和输出交换，其系统函数仍不改变。（原网络）（原网络）32本讲稿第三十二页，共五十三页转置后的网络转置后的网络33本讲稿第三十三页，共五十三页四、几种结构的比较四、几种结构的比较n n直接直接I型和直接型和直接II型型 简单直观，但简单直观，但直接直接II型比直接型比直接I型节省延时型节省延时单元。单元。直接型的主要缺点对滤波器的性能控制不直接型的主要缺点对滤波器的性能控制不直接，容易出现不稳定或产生较大误差。直接，容易出现不稳定或产生较大误差。n n级联结构级联结构 可单独调整个别零极点对来改善滤波器的可单独调整个别零极点对来改善滤波器的性能，能有效的减少有限字长效应。性能，能有效的减少有限字长效应。n n并联结构并联结构 只能独立的调整各极点的位置，不能单独只能独立的调整各极点的位置，不能单独34本讲稿第三十四页，共五十三页调整零点的位置，但并联结构的误差比级联结调整零点的位置，但并联结构的误差比级联结构的运算误差小，运算速度快。构的运算误差小，运算速度快。例例3-53-5 已知系统的传输函数为已知系统的传输函数为画出直接画出直接II型，级联型和并联型结构流图。型，级联型和并联型结构流图。解：将原式写成解：将原式写成z z-1-1的有理分式，可得的有理分式，可得35本讲稿第三十五页，共五十三页与滤波器的系统函数标准形式比较可得与滤波器的系统函数标准形式比较可得36本讲稿第三十六页，共五十三页则得到级联结构的流图将上式写成级联的形式得将上式写成级联的形式得37本讲稿第三十七页，共五十三页则得到并联结构的流图则得到并联结构的流图再将再将H(z)H(z)部分分式分解得部分分式分解得38本讲稿第三十八页，共五十三页5-3 FIR5-3 FIR滤波器的基本结构滤波器的基本结构一、一、FIRFIR滤波器的特点滤波器的特点1 1、单位冲激响应、单位冲激响应h(n)h(n)在有限个在有限个n n值处不为零。值处不为零。2 2、3 3、非递归结构。、非递归结构。FIR FIR滤波器的输出响应可由卷积公式求得滤波器的输出响应可由卷积公式求得 处收敛，极点全部在处收敛，极点全部在Z=0Z=0处。处。39本讲稿第三十九页，共五十三页则对应的传输函数为则对应的传输函数为h(n)h(n)为一个为一个N N点序列，点序列，Z=0Z=0处为（处为（N-N-1 1）阶极点，）阶极点，有（有（N-1N-1）阶零点。）阶零点。40本讲稿第四十页，共五十三页h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)用转置定理可得另一种结构用转置定理可得另一种结构二、基本结构二、基本结构1 1、横截型（卷积型、直接型）、横截型（卷积型、直接型）图3-11 FIR 滤波器的横截型结构41本讲稿第四十一页，共五十三页2 2、级联型（串联型）、级联型（串联型）N/2N/2 表示取表示取N/2N/2的整数部分，如的整数部分，如N=3N=3，N/21h(N-1)h(N-2)h(N-3)h(2)h(1)h(0)将系统函数分解为二阶实系数因子的形式：将系统函数分解为二阶实系数因子的形式：图3-12 图3-11的转置型结构42本讲稿第四十二页，共五十三页l lN N为偶数时，为偶数时，N-1N-1为奇数，这时因为有奇数个根，所为奇数，这时因为有奇数个根，所以以 中有一个为零。中有一个为零。当当N N为奇数时的结构如下：为奇数时的结构如下：43本讲稿第四十三页，共五十三页一般情况：一般情况：特点：每节结构可控制一对零点。所需系数多特点：每节结构可控制一对零点。所需系数多，乘法次数，乘法次数 也多。也多。图3-13 FIR 滤波器的级联型结构44本讲稿第四十四页，共五十三页3 3、线性相位型、线性相位型FIRFIR滤波器的对称结构滤波器的对称结构 若若FIRFIR滤波器的单位脉冲响应满足条件滤波器的单位脉冲响应满足条件偶对称条件偶对称条件奇对称条件奇对称条件则则FIRFIR数字滤波器具有线性相位特性。数字滤波器具有线性相位特性。45本讲稿第四十五页，共五十三页线性相位滤波器的流图结构线性相位滤波器的流图结构 N N为偶数：为偶数：当当 满足满足偶对称偶对称条件时，则卷积条件时，则卷积求和可改写为求和可改写为46本讲稿第四十六页，共五十三页其中，其中，“”表示偶对称，表示偶对称，“”表示奇对称；表示奇对称；n n0 01 12 2 3 34 45 56 67 78 89 9n n0 01 12 2 3 34 45 56 67 78 89 9偶数偶对称偶数奇对称47本讲稿第四十七页，共五十三页 当当 满足满足奇对称奇对称条件，卷积求和可改写为条件，卷积求和可改写为由式由式(a)(b)(a)(b)画出下图示结构图画出下图示结构图:偶对称时取“+1”奇对称时取“-1”图3-14 N为偶数时FIR线性相位滤波器的结构48本讲稿第四十八页，共五十三页当当 满足奇对称条件时，由于满足奇对称条件时，由于则卷积求和可改写为则卷积求和可改写为 若若N N为奇数时为奇数时，当，当 满足满足偶对称偶对称条件时，则条件时，则卷积求和可改写为卷积求和可改写为49本讲稿第四十九页，共五十三页网络结构如图网络结构如图6-56-5示。示。n n0 01 12 2 3 34 45 5 6 67 78 89 91010n012 345678 910奇数偶对称奇数奇对称50本讲稿第五十页，共五十三页根据式根据式(c)(d)(c)(d)可画出其流图结构如下图可画出其流图结构如下图且且N N为奇数奇对称时，为奇数奇对称时，,即即 支路断开。支路断开。图3-15 N为奇数时FIR线性相位滤波器的结构51本讲稿第五十一页，共五十三页特点：特点：线相相位型结构的乘法次数减为线相相位型结构的乘法次数减为 （N N偶数）偶数）（N N奇数）奇数）(横截型结构乘法次数横截型结构乘法次数:N N次次)52本讲稿第五十二页，共五十三页小小 结结 本章主要讨论了三个方面的问题本章主要讨论了三个方面的问题 数字滤波器的进逼概念及作用、表示方法数字滤波器的进逼概念及作用、表示方法 IIR IIR数字滤波器的基本结构和特点数字滤波器的基本结构和特点 直接直接I I型和直接型和直接IIII型的转换方法型的转换方法 级联型和并联型的特点级联型和并联型的特点 FIR FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点 线性相位滤波器特性，线性相位滤波器特性，横截型和级联型结构图特点横截型和级联型结构图特点 作业：136页 3.2(b)(d)3.3 3.5 3.6 3.9 3.1453本讲稿第五十三页，共五十三页