人教A版新教材必修第一册《1.1第2课时集合的表示》教案（定稿）.docx

第2课时集合的表示【学习目标】1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法.2.会用集合的两种表示方法表示一 些简单的集合.【导语】同学们，上节课我们学习了集合的概念，还有一些特殊的集合，比方非负整数集、正整数集 等，我们发现可以用自然语言描述一个集合，而语言正是我们之间相互联系的一种方式，同 样的祝福又有着不同的表示方式，例如，我们中文说“祝你生日快乐”，英文为“Happy Birthday toyoir等等，那么对于一个集合，会有哪些不同的表示方法呢？让我们一同进入今 天的探究之旅.一、用列举法表示集合问题1用4表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能 把集合4中的所有元素逐一列举出来吗？提示这是用自然语言法表示的集合；我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有 男生的学号一一写出.【知识梳理】列举法像这样把集合的所有元素出来,并用花括号” ”括起来表示集合的 方法叫做列举法.元素间用“，”隔开.集合中的元素是确定的，元素不重复，且无顺序.对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“ ”括起来即可.(4)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间 的规律显示清楚，然后加省略号，比方正整数集可表示为1,2,345.(5)这里集合的“ ”已包含所有的意思，比方整数),即代表整数集Z,而不能用(全体整数,即不能出现“全体”“所有”等字眼.例1 (教材第3页例1改编)用列举法表示以下集合：(I)小于10的所有正整数组成的集合；(2)方程+工=0的所有实数根组成的集合；(3)直线y=2x+ 1与y轴的交点所组成的集合.解(1)设小于10的所有正整数组成的集合为人，那么A=( 123,4,567,8,9.(2)设方程/+x=0的所有实数根组成的集合为B,那么B= -1,0.(3)将x=0代入y=2x+L得y=l,即交点是(0,1),故交点组成的集合是(0,1).9916.己知集合A=1x£N 万卜B=记Z&GN x£N卜试问集合A与6有几个相同 的元素？并写出由这些相同元素组成的集合.一9解 对于集合4, B,因为x£N, TTLN，所以当x=时，777=1；10x9当尸7时，后尸；9当E时,用所以 4=1,7,9, 5= 1,3,9.所以集合A与8有2个相同的元素，集合A, 8的相同元素组成的集合为1,9.反思感悟 用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素：(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来.提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的 形式，元素与元素之间用“，”隔开.如(2,3), (5, -1).跟踪训练I用列举法表示以下给定的集合：不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C；(4)一次函数y=x+3与y= -2x+6的图象的交点组成的集合D.解(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,所以4= 0,246,8,10.(2)小于8的质数有2,357,所以 5= 2,3,55).(3)方程2fx3=0的实数根为一1,点所以C=-1, |.fy=r+3,x=l,由 o , 得 / y=-2x-6,b'=4.所以一次函数y=x+3与)，=2x+6的交点为(1,4),所以。=(1,4).二、用描述法表示集合问题2你能用列举法表示不等式工一7<3的解集吗？提示 不等式.1一7<3的解是K10,因为满足MIO的实数有无数个，所以7<3的解集无 法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10,把解 集表示为x£R|x<10).问题3仿照上面的例子以及阅读课本，你能表示偶数集吗？提示x£Z|x=22, kZ.【知识梳理】一般地，设4是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表 示为这种表示集合的方法称为描述法.(1)写清该集合中元素的代表符号，如口宜>1不能写成卜>11.(2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等.(3)不能出现未被说明的字母，如x£Z|x=2?中川未被说明，故此集合中的元素是不确定的. 所有描述的内容都要写在花括号内，如“xWZ|x=2m, ?£NJ不符合要求，应将 “机£N+” 写进 “ " 中，即x£Z|x=2?，机£N-.(5)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，假设xER是明确的，那么x£R可省略不写, 如集合。=x£ R|x20也可表示为。=小<20.多层描述时，应当准确使用“且” “或”等表示元素之间关系的词语，如“|xv1,或%>1.(7) “ ”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为.小是 实数，但如果写成.很是所有实数、x|x是全体实数、.中是实数集)都是错误的，因为 “ ”本身既表示集合的意思，也表示了 “所有”“全体”的意思，此处是初学者容易犯 的错误，要注意领会.例2用描述法表示以下集合：不等式2x-3l的解组成的集合A；(2)C= 2,4,6,8,10)；(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.解(1)不等式2%3<1的解组成的集合为A,那么集合4中的元素是数，设代表元素为心那么 x 满足 2丫一3vl,那么 A=M2l3v1,即茜=小<2.(2)设偶数为x,那么工=2，£Z.但元素是2,4,6, 8,10,所以 x=2，W5,所以。=#=2，W5, £N*.平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0, .v>0,故第二象限 内的点的集合为力=(x, y)x<0, y>0.反思感悟(1)用描述法表示集合时应弄清荒集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型， 一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素.(2)假设描述局部出现代表元素以外的字母，那么要对新字母说明其含义或指出其取值范围.跟踪训练2 (教材第4页例2改编)试分别用描述法和列举法表示以下集合：方程炉一5=0的所有实数根组成的集合A；(2)由小于8的所有自然数组成的集合B.解(1)描述法表示为A = x£R*-5=(),列举法表示为A=小，一小.(2)描述法表示为x£N|x<8(形式不唯一)，列举法表示为0,1,2,3,456,7.三、方程与集合例3集合人=川加+1¥+1 =0, a£R,假设人中只有一个元素，求的值.解 当。=0时，原方程变为2x+l=0,此时尸一最 符合题意； 当aWO时，方程以2+2x+l=0为一元二次方程，当4=44。=0,即。=1时，原方程的解为x= 1,符合题意. 故当A中只有一个元素时，a的值为。或1.延伸探究I.在本例条件下，假设A中至多有一个元素，求的取值范围.解A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素.当A中只有一个元素时，由例题可知，。=0或。=1.当A中没有元素时，/=4-4<0,且aHO,即。>1.故当4中至多有一个元素时，a的取值范围为a|a=O或.2.在本例条件下，是否存在实数出使集合A与集合1相等？假设存在，求出。的值：假设不 存在，说明理由.解 ,：A=> 1EA, a+2+l=0,即 q=-3.又当。=一3 时，由一SF+Zx+lnO,得 A；或 A 1 ,即方程加+2x+l=0有两个根一(和1,此时1,与4=1矛盾.故不存在实数“，使人=".反思感悟根据的集合求参数的关注点(1)假设集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合 A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题. (2%=0这种情况极易被忽视，对于方程“&+21+1=0”有两种情况：一是=0,即它是 一元一次方程：二是“W0,即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式/来 解决问题.跟踪训练3集合4 = 。+3,5+1)2,。2+2。+2),假设求实数a的值.解 假设。+3=1,那么。=-2,此时A=1,2,不符合集合中元素的互异性，舍去.假设(+1)2=1,那么 4 = 0 或 4= -2.当4=0时，A=3,1,2,满足题意；当。=2时，由知不符合条件，故舍去.假设序+2+2=1,那么 a= -1,此时A = 2,0,l),满足题意.综上所述，实数。的值为一1或0.课堂小结口.知识清单：列举法.(2)描述法.(3)集合与方程、不等式的关系.1 .方法归纳：分类讨论.2 .常见误区：列举法与描述法的乱用；涉及的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程 还是二次方程.随堂演练.集合x£N*|x2Wl的另一种表示法是()A. 0,1,2,3B. 1,2,3C. 0,123,4D. 1,2,3.4答案B解析 因为 x-2Wl, x£N*,所以 x£N+，从而 x=l,2,3.1 .时集合“，/ £引用描述法来表示，其中正确的一个是()A. x £Z,且<5B.' x x=-> £Z,且W5C.x x=, £N，且<5 D.x|x=且W5 -答案D解析 A, B中工可以表示负数，C中没有元素点.以下说法中正确的选项是()0与0表示同一个集合；由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1 ；方程(xl)2(x2)=0的所有解组成的集合可表示为1,2；集合34<5可.以用列举法表示.A.只有和B.只有和C.只有D.只有和答案B解析 中“0”不能表示集合，而“0”可以表示集合，故错误；根据集合中元素的无 序性可知正确；根据集合中元素的互异性可知正确；不能用列举法表示，原因是集合 中有无数个元素，不能一一列举.3 .用列举法表示集合。=(x, 川=一/+8,y£N为.答案(0,8), (1,7), (2,4)(解析 由得集合。为点集，结合元素的条件可知答案只有三组，列举可得答案.课时对点练：基础巩固.集合“=口卜£!,那么( )A. 0£MB. tuEMc3®md.侔m答案A解析 由集合A/=x|x£N知，0£M,故A正确；演M,故B错误；故C错误；1 故D错误.1 .集合4 = 1,2, 8=正=。+4bA,那么集合8中的元素个数为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案C解析集合A=1,2, B=Hi=a+,B=2,3,4,工集合B中的元素个数为3.3 .把集合小©TK)用列举法表示为()A. x= I, x=5B. Rx= -1 或 x=5C. /一4工一5=0D. -1,5答案D解析 根据题意，解/一标-5=0可得彳=-1或5,用列举法表示为-1,5.4 .假设l£x+2, A2,那么实数x的值为()A. -1B. 1C. I 或一1D. I 或 3答案B解析 由 l£x+2, x2,可得/=1 或 x+2=l,当，F=1 时，x=±l.当工=1 时，x+2=3, 满足要求；当x= -1时，-1+2=1,不满足元素的互异性，舍去.当x+2= I时，/=一 I, 舍去.*x 1.5.以下集合中表示同一集合的是()A. M=(3,2), N=(2,3)B. M=2,3, N=3,2C. M=(x,)，)|x+y=l, N=,M+y=lD. M=2,3, N=(2,3)答案B解析 选项A中的集合M是由点(3,2)组成的点集，集合N是由点(2,3)组成的点集，故集合 M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数)，=1一4图象上的所有点组.成的 集合，集合N是由一次函数)，=1一.丫图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即7=)，卜+丁= 1 = R,故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故 集合M与N不是同一个集合；对于选项B,由集合中元素的无序性，可知M, N表示同一个 集合.6.(多项选择)集合人=工£1>1仅<6,那么以下关系式成立的是()A. 0£AB. 1.5MC. 一侔AD. 6WA答案ABC解析 VA = xGN|a<6 = 0,1,2,3,4,5, A64,故 D 不成立，其余都成立.7 .集合小=2?一3, ?£N“，用列举法表示为.答案 1,1,3,5解析 集合中的元素满足工=2加一3, i£N，那么机可取值为123,4, 那么满足条件的x值为-1,1,35那么集合用列举法表示为 1,1,3,5.8 .假设集合4 = X£口|小+ 4犬+4 = 0只有一个元素，那么实数太的值为.答案。或I解析 集合A中只有一个元素，即方程心2+©+4=0只有一个根.当攵=0时，方程为一元 一次方程，只有一个根；当时，方程为一元二次方程，假设只有一个根，那么/=16164 =0,即k=l.所以实数2的值为0或1.9 .用适当的方法表示以下集合：(1)方程MF+M+l)=0的解集；(2)在自然数集内，小于I 000的奇数构成的集合；不等式工一2>6的解构成的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合； 2x+y=3,(5)方程组；,的解集.x-2y=4解(1)0, -1.(2)木=2+1,且 xv 000, £N.小8.(4) 1,2,345,6.2x+y=3,解集用描述法表示为(x, y)' A解集用列举法表示为(2, -1).10.以下三个集合：4=妙=1+1 ； 8=比，=/+1；泌=+1).(1)它们是不是相同的集合？它们各自的含义分别是什么？解(1)它们是互不相同的集合.(2)集合4 =的代表元素是x,且x£R；集合8= 比，=+ 1的代表元素是y,满足条件y=F+ 1的y的取值范围是1.集合C=(x, 丁)|)，=/+I的代表元素是(文，)，)，是抛物线)，=f+1上的点.n综合运用II.由大于一3且小于II的偶数所组成的集合是()A. a1_3<x<l I, x£Zx|-3<v<llB. .r|3<x<l 1» x=2k.v|-3<x<ll, x=2k, kGZ)答案D解析 由题意可知，满足题设条件的只有选项D.fx+y=5, 12.将集合，(x, y) 一| I2xy= 1用列举法表示，正确的选项是()A. 2,3C. x=2, y=3 答案BA. 2,3C. x=2, y=3 答案BB. (2,3)D. (2,3)解析解方程组解析解方程组x+y=5, 2xy= 1x=2,'=3,I |x+y=5,所以集合)，) I ,；=(2,3).I 2x-y= i13.A=a2,2a2+5m 12且一3£A,那么由。的值构成的集合是（A. -1-1）c. -i答案D解析 ,-3£A, A=a-2,2a2-5a, 12,a-2=-3,%2+5H 3,-2/+5aW123解得a=一52，,+5=-3, 或 Ja-2W-3, «一2工12,.假设一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，那么称该数集为可倒数集，那么集合A = -1,1,2（填“是”或“不是”）可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集答案不是“，2,苜（答案不唯一）解析由于2的倒数/不在集合A中，故集合4不是可倒数集.假设一个元素64那么!£A. 假设集合中有三个元素，故必有一个元素a",即 =±1,故可取的集合有1, 2,斗， -1. 3,斗等.W拓广探究.对于任意两个正整数?，定义某种运算“X”如下：当,，都为正偶数或正奇数时， 机=/+；当m, n中一个为正偶数,另一个为正奇数时，机=加，那么在此定义下， 集合M=（a,份|派6=16中的元素个数是（ ）A. 18 B. 17 C. 16 D. 15答案B解析 因为 1 + 15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11 = 16,6+10=16,7+9=16,8 + 8 = 16,9 + 7= 16,10 + 6= 16,11+5= 16,12+ 4= 16,13 + 3= 16,14 + 2= 16,15+1 = 16, IX 16 = 16,16X1 = 16,集合M中的元素是有序数对（a, b）,所以集合M中的元素共有17个.