3-1不等式的基本性质（原卷版）.docx

3.1不等式的基本性质【知识点梳理】知识点一、符号法那么与比拟大小实数的符号：任意xeR,那么x>0 （x为正数）、尤=0或x<0 （ x为负数）三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：= a +；两个同号实数相乘，积是正数符号语言：a > 0,/? >0>ah>0 ；两个异号实数相乘，积是负数符号语言：a>0,b<Q=>ab<0任何实数的平方为非负数，0的平方为。符号语言：xe X2 > 0 , x = 0o%2=（）.比拟两个实数大小的法那么：对任意两个实数。、b a-b>0oa>b；。一人 <0。vb ； a-b = 0oQ = b.对于任意实数。、b , a> b , a = b , qvZ?三种关系有且只有一种成立.知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比拟两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证 明不等式与解不等式的主要依据.最小值为（）A. IB. 3C. 5D. 7二、选择题：此题共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得。分.9.（2022 重庆巴蜀中学高三阶段练习）以下命题正确的选项是（）c c1 1A.假设,那么假设Q<b且ab>0,那么> a ba bC.假设 avbvO,那么"abv。？。.假设。>>0,cvd<0,那么 occbd10. （2022 浙江温州市第八高级中学高二期中）实数羽y满足l<x<6, 2<y<3,那么（）A. 3<x+y<98,-1 <x-y<3 xC. 2<xy<18D. -<-<22 y（2022 广西高一阶段练习）假设a, h为非零实数，那么以下不等式中恒成立的是（）.A.止以"艮七雪立互24- 2C.竺"3d. 上屋22a-b a b11. （2022 浙江台州市书生中学高二开学考试）x+y + z = 0, x>j>z,那么以下不等式一定成立的 是（）A. xy>xzB. xy>yzc. x2 + z2>y2D. y|>z|z三、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.12. （2022 辽宁高二阶段练习）l<a<3且2<b<4,那么2a匕的取值范围.13. （2022 广西壮族自治区北流市高级中学高二阶段练习（文）假设尸=疝彳+ &,。= 历万+疝4心0）.贝”，。的大小关系 （用“<”， Y"， " ="连接两者的大小关系）（2022 全国高三专题练习）能够说明“设。，b,。是任意实数.假设/>2>02,那么 + 是假 命题的一组整数。，b,。的值依次为.14. （2022 全国高一课时练习）设那么/+22 2a + 2）中等号成立的充要条件是.四、解答题：此题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步聚.15. （10 分）（2022 上海市大同中学高一期中）设x、V是不全为零的实数，试比拟2/ + 丁2与/+9的大小，并说明理由.16. （12 分）1+ c = 3ci 4。+ 6（2022 全国高一课时练习）设实数、b、c满足 72 ） ）试确定、氏。的大小关系，并说。一/? = /-4。+ 4明理由.17. （12 分）（2022 广东广雅中学高一阶段练习）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与 地板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大，采光效果越好.设某所公寓的窗户面积为an?,地板面 积为m?,（1）假设这所公寓窗户面积与地板面积的总和为330m2,那么这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？（2）假设同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为m?,那么公寓的采光效果是变好了还是变坏 了？请说明理由.18. （12 分）（2022 福建福州三中高一阶段练习）证明以下不等式（1 ）假设 bc-ad>0, bd>0,求证："+”< , 十”b d（2）4>0,。>0,求证：幺+幺2 + b a（12 分）11（2022 湖北武汉市钢城第四中学高一阶段练习）：实数%求证：不等式+ >%+ X1“2成立的充分条件是不 <%.19. （12 分）（2022 辽宁建平县实验中学高一阶段练习）（1）比拟尤3与x+i的大小；（2）且a + /? + c = 0,求证： a-c b-c求£的取值范围.a知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两局部基本性质有：(1)对称性：a>bob<a(2)传递性：a>h, b> c = a> c(3)可力口性：a>boa + c>b + cc > 0 n ac > be(4)可乘性：a>b, < c = Q=> ac = bec<0> ac< be运算性质有：(1)可力口法贝 ij： a>b,c> d = a + c>b + d.(2)可乘法贝 ij： a> b>O,c> d >0> a- c> h- d >0知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点三、比拟两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式。、b,可以作差。-匕后比拟Q-b与。的关系，进一步比拟与的大小. aZ?>0 0 a>b；。一bvOoavb； a-b = 0oa = b .作商法：任意两个值为正的代数式、b,可以作商。人后比拟3与1的关系，进一步比拟与b的大小. b® > 1 0 Q > 匕； b(D < 1 = ab ； b（3） = 1 <> a = b . b中间量法：假设a>且b>c,那么，c （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.【题型归纳目录】题型一：用不等式（组）表示不等关系题型二：作差法比拟两数（式）的大小题型三：利用不等式的性质判断命题真假题型四：利用不等式的性质证明不等式题型五：利用不等式的性质比拟大小题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一：用不等式（组）表示不等关系例L （2022 湖南怀化五中高二期中）用不等式表示，某厂最低月生活费不低于300元（）.A a<3OOB. 。2300C. a>3QOD. <300例2. （2022 全国高一专题练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产.其 中外购的单价是每个L 2元，假设自己生产，那么每月需投资固定本钱2000元，并且每生产一个口罩还需要 材料费和劳务费共0. 8元.设该医院每月所需口罩（wN*）个，那么自己生产口罩比外购口罩较合算的充要 条件是（）A n>8OOB. n > 5000 C. n<800D. ;?<5000例3.（2022 湖北华中科技大学附属中学高一阶段练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直 角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字+/） K ab+/） K ab母的不等式表示出来（）（c厂 +） < qZ? C. + 匕？）2 4。£）.2例4. （2022 上海上外附中高一期中）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的一个铁钉受击3次4后全部进入木板，且第一次受击后进入木板局部的铁钉长度是钉长的请从这个实例中提炼出一个不等式组：.例5.（2022 全国高一课时练习）某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产 品的工人数不超过200人；每个工人年工作时间约计2100/z；预计此产品明年销售量至少80000袋；每袋需 用4；每袋需用原料20打；年底库存原料6003明年可补充1200人试根据这些数据预测明年的产量x （写 出不等式（组）即可）为.【方法技巧与总结】将不等关系表示成不等式（组）的思路（1）读懂题意，找准不等式所联系的量.（2）用适当的不等号连接.（3）多个不等关系用不等式组表示.题型二：作差法比拟两数（式）的大小例6.（2022 江西九江县第一中学高二期中（理）假设a>0,0v>vl,那么氏的的大小关系为（）A . a > ab> ab2B. a <ab< ab1C. ab> a> ab2D. ab > ab1 > a例7.（2022 江苏高一）x = a3-b, y = a2b-a,那么乂丁的大小关系为（）A. x>YB, x<yc. x=yD.无法确定例8.（2022 河南河南高二期末（文）假设，>b0,。为实数，那么以下不等关系不一定成立的是（）.47 fl IA - ac2 > be2 B. < a bC. a2 > bD. a + c>b + c例9.（2022唉国高一专题练习）以下四个代数式4nm，祖?+4/ ,W +川，例+岛假设根> >（）, 那么代数式的值最大的是.（填序号）.例10. （2022 江苏高一）（1）比拟31x + 1与2d+x 1的大小；a h（2）c>q>Z7>0,求证：>-c-a c-b【方法技巧与总结】作差法比拟大小的步骤题型三：利用不等式的性质判断命题真假例H. （2022 上海崇明二模）如果。<0,匕>0,那么以下不等式中正确的选项是（）A. a2<b2B.C. Q > b D.< 1 1 a b例12. （2022 上海交大附中模拟预测）c>0,那么以下不等式中恒成立的是（）A. ac<bcB. crc<h2cC. a2 +c<h2 +cD. ac1 < be2例13.（2022 山西师范大学实验中学高二阶段练习）假设。力,cR,且。>，那么以下不等式中一定成立的是（）C2,2A. a + b>b cB. ac>bcC. >0D. （a-b）c > 0a-b例14. （2022 江苏南京模拟预测）设。、匕均为非零实数且。<人，那么以下结论中正确的选项是（）4 > B. a2 < b2 C. D. a" < by a ber b【方法技巧与总结】运用不等式的性质判断真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质.（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原那么：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.题型四：利用不等式的性质证明不等式例15.（2022 全国高一课时练习）（1）ab>0 ,求证：< ； a ba h（2）。>匕0, 0<c<d ,求证：一一, c d例16.（2022 河南濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文）（1） a = d + y3, b = y + Xy 其中x, y均为正实数，比拟m 8的大小；（2） 证明： 已矢口且Q + b + c = 0, 求证： a-c b-c例17. （2022 湖南高一课时练习）利用不等式的性质证明以下不等式：（1）假设a < b , c<0 ,那么（q Z?）c>。；（2）假设 av。， -1 </?<0 ,贝人.例18. （2022 全国高一专题练习）（1）假设bea也0, bd>3 求证： b da h（2） c>a>b>Q, 求证： >c-a c-bc d例19.（2022 全国高一专题练习）三个不等式：时>0；一：；bc>ad.假设以其中两个作 a b为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程.n /7 + 717例20. （2022 江苏高一专题练习）（1）设人>>0, m>0,证明：-<-；b b + mx y z（2） 设 x>0, y > 0, z > 0 证明：1<11< 2 .x+y y+z z+x例 2L （2022 全国高一专题练习）假设 >b>0, c<d<0, h>c（1）求证：b + c>0；i、.b + ca + d（2）求证：1人2；（tz - c）（b-a）b + ca + d（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足7一了<所求式假设能，请直接写出该 （一 c、）（h-ciy代数式；假设不能，请说明理由.【方法技巧与总结】对利用不等式的性质证明不等式的说明（1 ）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a, b有Q /?>0 = >力；a-b = 0a = b； a-b<0a<b.这是比拟两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.（2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.（3）比拟法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比拟和实数运算性质的直接应用.题型五：利用不等式的性质比拟大小例22.（2022 新疆莎车县第一中学高二期中（文）设b =近-日 c = V6-V2 ,那么。，b, c的大小关系.例23.（2022 江西赣州高二期中（理）"1,且x =y = &-d，那么x, y的大小关系是.例 24. （2022 浙江三模） a,b,c,d£R,且 q vb<c,cwd,（Q d）S d）（c d） + c = d ,那么（）A. d <aB. a<d <hC. b<d < cD. d >c例25.（2022 河南夏邑第一高级中学高二期中（文）假设。是实数，p = Jq2+io + , 0 =五2+6 +力2+4,那么P，。的大小关系是OA. Q>PB.C. P>QD.由。的取值确定例26.（多项选择题）（2022 湖南长郡中学高二期中）假设a<bv0, c>0,那么以下不等式中一定成立的是（）A. a + c<b + cB. ac <beC. ac < bcD. a- > b- - a h例27.（多项选择题）（2022 山西运城高二阶段练习）<，<（）,那么以下选项正确的选项是（）A. a2 >b2B. a-b<abC. |a|<|b|D ab > b2例28. （2022 江苏高一课时练习）（1）烂1,比拟3/与37工+1的大小.（2）a, b, c是两两不等的实数，p=a2-b2+c2, q=ab+bc+ca,试比拟与q的大小.例29. （2022 江苏高一课时练习）-Ivxvyv。，比拟,，%2,产的大小关系.【方法技巧与总结】注意点：记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导, 更不能随意构造性质与法那么题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例30. （2022 福建厦门市国祺中学高一期中）假设lva + v3, 2Vv4,，= 2a + 3，那么，的取值范 围为.例3L （2022 江苏苏州大学附属中学高一阶段练习）假设实数x, >满足-142x+y<l且l<3x+y<l, 那么9x+y的取值范围是.9 c例32.（2022哈国高一期中） >0,且c<5，那么的取值范围是 b例33.（2022 河北大名县第一中学高一阶段练习）假设实数月满足-1<。+ 24<3,那么。+ 3月 的取值范围为.例34.（2022 河南西平县高级中学高一阶段练习）实数乂分别满足，l<x<5, 2<y<7.（1）分别求2x + 3y与4x-5y的取值范围；x（2）假设x<y，试分别求xy及一的取值范围.y例35. （2022 江苏高一专题练习）-l<a-b<3,求3a 2的取值范围.例36.（2022 江苏高一专题练习）实数。涉满足一3Kq + /?K2, -i<a-b<4.（1）求实数。力的取值范围；（2）求3。-2）的取值范围.例37. （2022 全国高一专题练习）（1）假设12vqv60, 15<Z?<36,求2ab ,q的取值范围；b（2）X, >满足一J<x y<J, 0<x+y <1,求3尢y的取值范围.例38.（2022 安徽阜阳市耀云中学高二期中）一l<2a + bv2且3<8<4,求5 + 的取值范围.V2V4例39.（2022 全国高一课时练习）设实数X, y满足1W2（2, 2< <3,求的取值范围. yy【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.如20vx+y v30/5<xy <18,要求2x + 3y的范围，不能分别求出,y的范围，再求2x + 3y的范围，应把的“ x+y ” “ xy ”视为整体，即2x + 3y = *（x+y）-（x-y）,所以需分别求出 *（x+y）,-（x-y）的范围，两范围相加可得2x + 3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式,一旦变化出其他的范围问题，那么不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与的量间 的数量关系，然后去求.注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如 果在解题过程中屡次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.【同步练习】一、选择题：此题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. （2022 四川成都外国语学校高一阶段练习（理）如果实数涉满足。<8<0,那么（）.A. a-b>0B. > C. ac<hcD. a1 <b2 a b（2022 浙江衢州高一阶段练习）随着社会的开展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具.小王在某 段时间共加92号汽油两次，两次加油单价不同.现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油200元， 第二种方式是每次加油30升.我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，那么更经济 的加油方式为（）A.第一种反第二种C两种一样D不确定（2022 宁夏银川二中高二期中（文）Qb>0, >（6/ + /7）（a3+/73） = 2,那么以下不等式一定成立的 是（）A. a2+b2<y/2B. a2+h2>y/2C. a-b<41 D. a + h> V2<a + b<3（2022 四川省泸县第二中学模拟预测（文）。力£R且满足 一那么4a + 2b的取值范围是（）A. 0,12B. 4,10 C 2,10 D. 2,82. （2022 黑龙江鹤岗一中高二阶段练习）以下命题中，正确的选项是（）A.假设 a>b , cd ,那么 Q + 假设 a>b ,那么C.假设 a>b>0 , c>d>0 ,那么假设 a>b ,那么 c d（2022 河南高二期中（文）m b, ceR, a>b,且必wO,那么以下不等式中一定成立的是（）A. a n b. ah > h12C. ac2 >hc2 D. o, >b37.（2022 江西赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文）匿bwR, a>b>0,那么以下不等式中一 定成立的是()a a- 六 11A. >B.> b b- a-h h a 4 + 1 -1 , 1C. >D. a > b b /7 +1b af% 3y+ z < 18. (2022 浙江金华高三阶段练习)假设非负实数x、V、z满足约束条件,那么S = x + 3y + z的x- y-3z>5