3.2基本不等式（解析版）.docx

§3.2基本不等式而 <a+b，主一维整础题型一：利用基本不等式求和的最小值41. y = x+(x»D的最小值为()XA. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【点拨】利用均值不等式求解即可.44I 44【详解】因为y = x + (Ml),所以尤+22、葭2=4,当且仅当户即1 = 2时等号成立. xx V xx4所以当 = 2时，函数y = x +有最小值4. x应选：C.222.正实数防匕满足2。+人=4,那么一+ 7的最小值是()q + 2 hA. - + V2B. 4C. -D.之 +也4242【答案】D【点拨】利用基本不等式可求最小值.故 2x+y = 8,其中 x>2,y>0,y = 8(&-1)时等号成立,详用星】设x = a + 2,y = ，那么 a = x_2, = y22 l(2 2M 、4x 2ylq + 2 byJ8 y x j由生+，立，y %当且仅当把=旦=>丁 =缶=>1=4(2-四), y x')此时x>2, y>。满足，故高+ ：的最小值为"(6 + 4月 = 5 + *, 应选：D.93.当x>0时，工+丁的最小值为()2%A. 3B. 1c. 2A/2 D. 3V2【答案】D【答案】3【点拨】由题设条件可得=£=1,贝展开即可利用均值不等式求最值【详解】因为、一+枷:3一一 11"+4/明以丁落一1 + 4 + 5 +b24b2a2/ 4/、, II7 00b cr /2）当且仅当一=%即4=2/=1时,等号成立.b cr故答案为：39. （1）x>l,求4x + l+一的最小值;九一1（2）Ovxvl,求x（4-3x）的最大值.4【答案】（1） 9； （2）【点拨】（1）由于x1>0,那么4x + l + 1 = 4（x-1） + 1+ 5,然后利用基本不等式求解即可, x-1X-1（2）由于Ovxvl,变形得x（4-3力=（3。（4-3力，然后利用基本不等式求解即可.【详解】（1）因为X>1,所以x1>0,所以4x + l +，= 4（x-1） +，+ 5 2 2,4（% 1），+5 = 9 , x 1x 1 Vx 11 3当且仅当4（x-1）=-即x = 3 口寸取等号， x 12所以4% + 1 + 1的最小值为9.x-111 （ 4y + 4-3yY 4（2）因为Ovxvl,所以x（4 3x） = L（3x）（4 3x）kL - =3312）32 当且仅当3x = 4 3x,即x = §时取等号，故1（4-3月的最大值为:10. （1）设。VXV2,求y = “（4-2%）的最大值;14（2）。>0, b>0,假设。+力=2,+ -的最小值.1+。 1+bg【答案】（1）V2 ;（2）【点拨】（1）将y = Jx（4 2x）转化为y = .j2x（4 2x）,用基本不等式求最大值即可;I 4i 4|， 11 V（2）将1二十一一变形为一 +- + - （。+ 1） +。+ 1）,整理后用基本不等式求最值.1 + Q 1+Z?1 +。 1 + Z? 411 +。 1+产'【详解】（1）因为0vxv2,所以4一2%>0,所以 y = Jx（4 2x）二与也%（42%）4号2x + ：-2x二及,当且仅当2x = 4-2x,即x = l时等号成立，所以J = Jx（4-2x）的最大值为近 ；（2）因为。>0, >0,所以。+ 1>0, Z? + l >0 .乂a + b = 2,所以q + l+ /?+l=4,"1=4（ + 1）当且仅当a + 1 - b + 1 ，即；时取等号，所以1L十ry的最小值为彳.,八,51+。 +b4塞三维练素养.假设实数九、> 满足f+ y2=i + xy,那么以下结论中，正确的选项是（）A. x+y<lB. x+y22c. x2 + y2 >1D. x2 + y2 <2【答案】D【点拨】利用基本不等式分别求出工+y与f +的取值范围即可判断./2【详解】解：对于A, B,由Y + J? =1 +盯可得，（%+» = 1 + 3盯W 1 + 3，+，当且仅当=>时取等号,I 2 7对于C, D,由/ + ；/=i +冲可得,a(x+)2<4, /.-2<x+y<2,故 A、B 错误,%2 + "_1 =孙<光当且仅当 = y时取等号,/. x2 + /<2,故 C 错,D 对, 应选：D.41.正实数。）满足- + = 1,那么。+ 2的最小值为（）a+h b+A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【点拨】令a + 2Z? = a+/? + l-l,用a+b+b + 1分别乘1a+b b+=1两边再用均值不等式求解即可.【详解】因为1a + b Z? + l=1,且。)为正实数匚匚、771/771、/4 I .a-h4(+ 1)所以 a + A + b + l = (q + "Z7 + 1)(+) = 4 + -+ 1a + b b + Z? + l a + b>54-2史女x险工=9,当且仅当"=迎土。即=人+ 2时等号成立. Z? +1 a + b + 1 a + h所以 a + 2/7 + 129,q + 2028.应选：B.1 .对于不等式”+#>2石，x + ->2 (xwO),J/+不停曲(、+),、beR),以下说法正确的选项是()A.正确，错误B.正确，错误C.错误，正确D.错误，正确【答案】C【点拨】根据平方后做差判断，取特例判断，利用基本不等式及不等式性质判断，即可求解.【详解】因为("+")2(2逐)2=10+后20 =回10<0,所以"+痛>2否错误；当取x = l时，显然x + ' = 2N2不成立，故x 22错误； XX因为一+32 N2ab(a,beR),所以2(/+/)2(+ 与2 ,所以,6+/ 2与 «a + b)2 =a + b与(a + b),故正确.应选：C.以下说法正确的有()V2+1A. y的最小值为2x4B.x>l,贝ljy = 2x +;一1的最小值为40 + 1C.假设正数x, y为实数，假设x + 2y = 3个，那么2x+y的最大值为3D.设羽 ) 为实数，假设9/ +)/+盯=1,那么3x+y的最大值为坦 7【答案】BD【点拨】对于A选项，当x<0时，y<0,故A选项错误；对于C选项，可以利用基本不等式求出2x+y的最小值为3,所以C选项错误；对于BD选项，可以根据条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.Y" 4" 1【详解】对于A选项，当x<0时，> =土二<0,故A选项错误， x对于B选项，当工>1时，x-l>0 ,44I4-r-那么 y = 2x +l = 2(x-l) + + 1.2J2(x-l)+ 1 = W+1 ,x 1x 1 Vx 1当且仅当 =夜+ 1时，等号成立，故B选项正确，尤 + 2v 21对于C选项，假设正数1、>满足 + 2y = 3xy,那么3 = + ,xy x y-1z_ xz2 11z_ 2x 2yx 1 z_ _ lx 2yx _2x + y = (2x + y)( h) = (5 h1).(5 + 2 1)= 3,3xy 3 y x 3 y y x当且仅当x = y = i时，等号成立，故c选项错误， 2对于 D 选项'1 = 9x2 + >2 +肛=(3x+y 一*3xy.(3x+y)2 9。二+ A = JL(3x+ » , 3312所以(3x+»”M当且仅当y = 3x时，等号成立，可得率釉中 零，x =叵,丁 =叵时取最大值，故3x+y的最大值为巫，D选项正确. 2177应选：BD.5.设。0, h>09。+人=1,那么以下不等式中一定成立的是()1 1 9 1A. I24B+ b N a b2C. f + ->3D. b->0 b a【答案】AB【点拨】利用“1”的代换求得！ + ?的最小值判断选项A；利用均值定理求得/+的最小值判断选项b； a b利用均值定理求得£ + 2的最小值判断选项c；求得人-1的范围判断选项D.b a【详解】对于 A,因为a>0, b>0, a + b = l,所以L + , = L + L(a + b) = l + 2 + g + 122 + 2j2x3=4, a b a b)a b a b当且仅当2 =即 = b =!时取等号，所以，+ 1之4成立，故A正确；a b2a h对于B,因为0, b>0, Q+b = l,所以=1,当且仅当4 =匕=!时取等号，所以I 2 J 42cr b2-2ab = -2ab>-tL,故 B 正确；对于C,因为>0, b>0, a+b = l,"N2亚=2,当且仅当。=人工时等号成立，故C错误; ba b a2对于D,因为q>0, b>。, a+b = L 所以人一1 = 一<0,故D错误.应选：AB.iY + 2.有以下4个关于不等式的结论：假设x<0,那么x + -2；假设xeR,那么/之2；假设xR,那么xW+ix + 22；假设0, xx + 22；假设0, x那么(1 + )1 + 544.其中正确的序号是【答案】【点拨】根据基本不等式结论对各结论逐一判断.时取等号，正确;当且仅当x = ()时取等号，正【详解】假设x<0,那么x+=irl x2 +2 f +1 +1那么了尸=/ 2VX +1 Jx +1当且仅当x = l或x = -l时取确;由X +，有意义可得XWO,所以X,同号，所以 XX等号，正确；假设。>0,那么(1 + ) +工=2 + + 42 + 2、11=4,当且仅当a = l时取等号,正确. V a)a V a故答案为：.x，y为正实数，那么£+47的最小值为.x I y【答案】6y 16【点拨】将原式变形为捻石，结合基本不等式即可求得最值.is y 16【详解】由题得5+*=+小，X设2 = (0),那么/«) =+普=/ + 2 +普222，+ 2).至2 = 8 2 = 6.X2+12+1 V 2+t当且仅当/ = 2时取等.所以$的最小值为6人 4人I 故答案为：68.假设正数。，b,满足4 +给=1.求必的最大值;41(2)求?十；的最小值.。+ 1 b【答案】(1)：； (2)3 + 28O【点拨】(1)对。+给=1直接利用基本不等式，即可得出油的最大值；411 ( 42 )(2)将。+ 1看作一个整体，由- + 7 = - - + (。+ 1 + 2份，展开后，再利用基本不等式，即可得出 + 1 b 2( q + 1 2b J答案.【详解】(1)因为a + 茄，所以122,当且仅当时等号成立，所以当"4,人;时，5明"=" N4o411 < 4 2Hl8 Q + l r c 六(2) + = + (4 + 1 + 2/?) = 6 + 23 + 2,2 ,Q + l b 2(a + l lb)2(a + 1b )当且仅当空=竽时等号成立，。+ 1 b(41、r,当q = 3 2&，b = 0_时， 7 + 7=3 + 2.2.1 + 1人人in.a, b, c均为正实数，求证：(l)a + b + cN 4ab + 4bc -yfac ;(2)da1 +/ + y/b2 + c2 + y/c2 -ha2 2 5/2 (a + b + c) .【点拨】(1)将左边变形为:(a + ) + S + c) + (a + c),然后利用基本不等式可证得结论，(2)利用/ + / 2ab可证得J/ +从2贵,同理可得历了之贲，护+后口贵,3个式相加可证得 结论.【详解】(1)证明：= (6Z +Z?) + (Z?+ c) + (z + c)|> lyfab + 2y/bc + 2yac = 4ab + yfbc + ac ,当且仅当Q = = C时取"=”.故 a + b + cNyfbc + 4ac .(2)证明：因为/+/?2之26力，当且仅当。=b时取"=",所以 2(q2+/)2q2+2qZ? + /?2=(q + Z?)2,所以/ +匕2 N ("+"),所以a/«2 + b2 >，同理“2+02之贵,当且仅当人=。时取取“="，当且仅当=。时取"=".当且仅当=。时取"=".+，得力2 +/ +2 +/ +&2 +/ 2 2d + 2；+2c = o(a + b + c), v2当且仅当，=人=。时等号成立.9 .某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.据市场调查，假设价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品 每件定价最多为多少？(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并 提高价格到X元，公司拟投入600)万元作为技改费用，投入5()万元作为固定宣传费用，试问：该商 品明年的销售量。至少到达多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时 每件商品的定价.【答案】40元改革后销售量至少到达10万件，才满足条件，此时定价为30元/件【点拨】(1)设每件定价为/元，那么8-。2(-25)1225x8,解之即得所求；(2)依题意可歹Ux2 25x8 + 1(Y600) + 50 (x>25),别离参数可得。2年+尤> 25有解，应用均值不等式求不含参数这一边的最值即得所求【详解】(1)设每件定价为/元， 那么8-0.2("25)12 25x8,整理得r-65/ + 1000融=>25 r?40,.要满足条件，每件定价最多为40元；(2)由题得当x>25 时：axN25x8 +(x2600) + 5。有解,即：。2"° +,羽%>25有解. x 6当且仅当x = 30>25时取等号，即改革后销售量至少到达10万件，才满足条件，此时定价为30元/件9【点拨】依据均值定理去求x +的最小值即可.2x【详解】由x +0亘=3近（当且仅当x夜时等号成立.）2x V 2x2g可得当光>。时，X+丁的最小值为3五2x应选：D4 .x>l,那么x + 1的最小值是（） x-1A. 3B. 8C. 12D. 20【答案】A【点拨】利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为1>1,所以x + ' = x l + - + 122j（x 1）'+ 1 = 3,当且仅当x l=，时取等号，即当x = 2时取等号, x-1x-1 V x-lx-1应选：A.x>o,y>。，且xy = i,那么1+y的最小值为（）A. IB. 2C. 3D. 4【答案】B【点拨】由基本不等式即可求得答案.【详解】因为乂y>。，所以x+y22而=2,当且仅当x=y = l时取应选：B.题型二：利用基本不等式求积的最大值.假设>0,>0且。+ /? = 4,那么的最大值为（）A. 4B. 2C. 4D,- 24【答案】A【点拨】直接利用基本不等式计算可得；/7【详解】解：因为。>0,8>。且。+ 6 = 4,所以出，土吆 =4,当且仅当。二人=2时取等号；（2 ）应选：A.实数居y满足/ + 丁=2,那么孙的最大值为（）A. -B.gC. ID. 242【答案】C【点拨】根据重要不等式炉+ / 2 2町即可求最值，注意等号成立条件.【详解】由Y + y2=2N2xy,可得盯±1,当且仅当x= y = 1或x= ），= -1时等号成立. 应选：C.3.。+6 = 12,那么"的最大值是（）A. 48B. 36C. 24D. 12【答案】B【点拨】利用基本不等式求得最大值.（4 + 人丫 （2丫【详解】ab< "' =36,当且仅当。=b=6时等号成立.< 2 J I 2 ,应选：B4 .根>0, n>0,且加+ -26=0,那么加的最大值是（）A. IB. V5C. 3D. 5【答案】D【点拨】结合基本不等式求得加的最大值.【详解】依题意2 + = 26，/ 2所以（岁=5,当且仅当m=省时等号成立.应选：D.直角三角形的两条直角边的和等于4,那么直角三角形面积的最大值是（）A. 4B. 272 C. 2D.叵【答案】C【点拨】由基本不等式可求得结果.【详解】设直角三角形两直角边长分别为。/，那么 + = 4,2所以，直角三角形的面积S=必巴吆=-x4 = 2 （当且仅当。=匕=2时取等号）.22 I 2 J 2故直角三角形面积的最大值是2.应选：C.题型三：基本不等式“1”的妙用求最值.设自变量X对应的因变量为y,在满足对任意的心不等式）都成立的所有常数M中，将”的最小值12叫做y的上确界.假设。为正实数，且"I,那么一五二的上确界为（991A.-B.-C.-D.-4224【答案】A【点拨】利用基本不等式即可求解.【详解】解析因为m匕为正实数，且。+人=1,1 ?所以五+1=2 +仔+当二+2、三互=222a h J 22a b 2| ?当且仅当。=2m即4=£，时等号成立,因此有一，-因此有一，-2 9、 h 2129即一五一2的上确界为一.应选：A1 191 .实数，那么+ 的最小值为（ a bA. 100B. 300C. 800D. 400【答案】D【点拨】应用“'的代换，将目标式转化为362 +=+宁，再利用基本不等式求最小值即可，注意等号成 a b立的条件.【详解】由,>0,+ 19 = 1, 119119、/! qj x19b 19ci X/-） 。 I19b 19a /八八 小 彳口 上 1 口坐：口 品告一+ = （ + 一）（a +19b） = 362 + + > 362 + 2 = 400， =且乂 = a = /?时等节成乂.a b a ba b a b119* 的最小值为400.a b应选：D8 2.x>0, y>0,且一+ = 1,那么x+y的最小值是（）% yA. 10B. 15C. 18D. 23【答案】C【点拨】利用“1的代换”的方法，结合基本不等式求得正确结论.【详解】尤+y = (x+y) - + - = + + 10>2>/6 + 10 = 18,(y 刃 工 y(当且仅当包=生，即x = 12, y = 6时，等号成立). x y应选：c3 .4>0, b>0, 3a + b = 2ab,那么q+方的最小值为()A. 2B. 3C. 2 + 72 D. 2 + 6【答案】D31【详解】根据题意，3 +人=2仍=>77 +丁 = 1, 2b 2a.6Z + /? = fA + ±6Z + /?)= 2 + + >2 + 2J = 2 + 73 ,当且仅当6 =百。且3Q+b = 2Qb时等号成立,12b 2a)2b 2a V 2b 2a，a+b的最小值为2 + 6 ,应选：D.3 15.假设正数x,y满足一+ = 5,那么3x + 4）的最小值是（ % ya 24 c 28 厂,A. B. C. 5D. 655【答案】C【点拨】利用基本不等式力”的代换求3x + 4y的最小值，注意等号成立条件.【详解】3x + 4y = 5（3x + 4y）（9 + L） = ：（13 +亘+亘）2。（13 + 2、3在）=5,当且仅当x = 2y时等号成立, 5x y 5 x y 5 x y，3x + 4y的最小值是5.应选：C题型四：基本不等式的应用1 .如图，矩形花园A8CD的边A5靠在墙尸。上，另外三边是由篱笆围成的.假设该矩形花园的面积为4平方米，墙P。足够长，那么围成该花园所需要篱笆的（）A.最大长度为8米B.最大长度为40米C.最小长度为8米D.最小长度为40米【答案】D【点拨】根据条件建立关于篱笆长度的关系式，然后结合基本不等式即可求解.【详解】设5C = q米，CD = b米,那么而=4,所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为2 + = 24 + ±.2）24出=4五， a a4当且仅当2 = ,即=后时取等号. a应选：D.2 .某产品的总本钱C （单位：元）与年产量。（单位：件）之间的关系为。=热。2+3ooo.设该产品年 产量为。时的平均本钱为“Q）（单位：元/件），那么/（Q）的最小值是（）A. 30B. 60C. 900D. 180【答案】B【点拨】利用基本不等式进行最值进行解题.【详解】解：某产品的总本钱C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为。=而。2+3000 当且仅当需=等，即Q = 100时，等号成立.，/（。）的最小值是60.应选：B3,假设一lvx<2,那么 x +工的（）x-2A.最小值为。B.最大值为4C.最小值为4D.最大值为。【答案】D【点拨】结合拼凑法和基本不等式即可求解【详解】因为-lvx<2,所以x-2<0,（1 > I r那么x + =2- 2 X + <2-2J（2-x）=0,x 212. x Jy2 x当且仅当2-x = 4，即x = l时取等号，此时取得最大值0,2-x应选：D.4.。0,用基本不等式求9 +，的最小值时，有9422、口工,那么取得最小值时的值为（）aa aA. B-C. D 3 963【答案】C【点拨】利用基本不等式取等号的条件进行求解.【详解】因为Q0, 所以 9a H 2 2、9q ，a a当且仅当9。=，,即。=:时，等号成立，即取得最小值. a3应选：C5.。>0, b>0,。+人=4,那么以下各式中正确的选项是（）A. H B. H -.IC. yfab.2D. .1a b 4abab【答案】B【点拨】利用基本不等式逐个分析判断即可【详解】解：因为，>解b>09 a+b=4,；（2 + 2） = l1 （a + b + -+41 a b J当且仅当。=人=2时取等号，5正确，A错误;由基本不等式可知",，匕 =4,当且仅当，=0=2时取等号, I 2 ）故C错误；.；, O错误.ab 4应选：B.三国时期赵爽在勾股方圆图注中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图，我们教材中利 用该图作为几何解释的是（）A.如果 Q >,/?> C,那么B.如果那么C.如果Q>"c>0,那么 ac>Z?cD.对任意实数。和A 有q2+2 2M,当且仅当。=时，等号成立【答案】D【点拨】直角三角形的两直角边长分别为。力，斜边长为。，那么*=/+，利用大正方形的面积与四个直 角三角形面积和的不等关系得结论.【详解】直角三角形的两直角边长分别为。力，斜边长为。，那么/=/+从，在正方形的面积为四个直角三角形的面积和为2",因此有即"十？"，当且仅当，= 时，中间没有小正方形，等号成立.应选：D.4.。>1,那么 + 一；的最小值是（） a-iA. 5B. 6C. 36D. 272【答案】A44【点拨】由于。>1,所以1>0,那么。+ 7 = （。-D + - + 1,然后利用基本不等式可求出其最小值 a-ia-【详解】由于。>1,所以a1>044 I所以Q + =-1 + + 1>2（6/-1）+ 1 = 5,CL 1CI 1y（6Z 1）4当且仅当1=-即a = 3时取等号. a-l应选：A.3.人且必= 18,那么 l的最小值是（）a-bA. 11B. 9C. 8D. 6【答案】A【点拨】根据基本不等式即可由积为定值求和的最小值.2【详解】/+/_=（叫'+2% =（"叫+ 工因为所以a力0,故a-ba-ba-b（a-bU-l>2s（a-bY（-l=l,当且仅当a 一必当=>4 = 3 + 3外*=36_3时，等号成立.a-b a-b）a-b应选：A4 14.假设。>0、b>Q,且一+ 丁 = 1,那么必的最小值为（）.a bA. 16B. 4C. D.一 164【答案】A【点拨】根据基本不等式计算求解.【详解】因为。>0、b>0,所以3 +,22、员工=4、口，即所以疝24,即H216,当仅当 a h a h V ah ab4 1=:，即a = 8,方=2时，等号成立.a b应选：A.45.x>0,那么2 3尤的最大值是x【答案】2-473【点拨】直接利用基本不等式求最大值.4(4 1 I 4 l【详解】vx> 0,那么 2 3x = 2- 3x + <2-2J3x-=2-4a/3 , x v x) V x当且仅当标=9即x =时取等号.X3故答案为：2 46.6 .假设x>l,那么x l的最小值为.x-【答案】2【点拨】运用基本不等式可得答案.【详解】因为xl,所以九一1>0,因为% H1 =(X 1) HN 2 ,X 1X 1当且仅当x-l=/7时，即 = 2等号成立，x-1所以X + 1的最小值为2.x-1故答案为：2.7 .假设正数匕满足a + 2Z? = Z?,那么2 + b的最小值为.【答案】91 2【点拨】依题意可得7 + = 1,再利用乘力”法及基本不等式计算可得. b a【详解】解：因为正数。，b满足a + 2b =而,1 2所以;+ * = 1, b aimi 07(、 j2 u 2b 2a、匚 12b 2a 八那么 2a + /? = (2a + b I = 5 H12 5 + 2J , 二 9，Vtz b)a b y a b当且仅当殳=学且!+ 2 =晨即。=人=3时取等号， abba所以2a + Z?的最小值为9.故答案为：9.8.，匕都是非零实数，假设片+4/=3,那么，+，的最小值为一