【教学课件】第五章导数和微分.ppt

第五章第五章 导数和微分导数和微分1 导数的概念导数的概念2 求导法则求导法则3 参变量函数的导数参变量函数的导数4 高阶导数高阶导数5 微分微分 1、给出了导数的物理模型瞬时速度和几何模型切线斜率。2、给出了函数在一点的导数（可导）的定义和函数在一点的左、右导数的定义，以及函数在区间上可导的定义；给出了可导与连续的关系。3、给出了导数的几何意义切线的斜率。教学内容：教学内容：4、给出了应用导数的定义计算导数的例题。教学重点教学重点:导数的定义和计算要求要求:1、知道导数的构造性定义,理解导数在研究函数性态方面的作用.2、知道导数和连续的关系,即可导必连续,连续不一定可导.3、应用导数的定义计算函数在一点的导数.1 1 导数的概念导数的概念问题的提出问题的提出:在中学里我们学习过，物体作匀速直线运动，其速度等于位移除以时间。而物体的运动往往不可能总是匀速的，通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。如果我们已知物体的运动规律，如何计算它的瞬时速度?两个例子两个例子:1.1.瞬时速度瞬时速度则物体在时刻 t t 0 0 的瞬时速度定义为速度反映了路程对时间变化的快慢程度2.2.切线的斜率切线的斜率xQ曲线在其上一点即为曲线在点 P的切线的斜率.OPTy一一 导数的定义导数的定义定义定义1:即(1)解:由定义求得所以切线方程为 即证 因为 注注:利用导数的定义可证,常量函数在任何点的导数为零,即 定义定义2:类似地,可以定义左导数左导数 左右导数统称为单侧导数.单侧导数与导数的关系:注注:下列函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义.(1)函数在个别点的函数值单独定义的,其余点的函数(2)值用统一解析式定义的(函数在个别点连续).(2)求分段函数在分段点的导数.例例 解 由于 因此 可导可导连续连续。即可导是连续的充分条件。可以证明：连续是可导的必要条件。二二 导函数导函数 特别 例例证明(i)为正整数.(ii)(iii)定义定义:证证 (i)和(iii)的证明略.(ii)下面只证第一个等式,类似地可证第二个等式.由于三三 导数的几何意义导数的几何意义法线方程为:注注:例例 解解 由于 定义定义3定理定理(费马定理费马定理)注注:极值点与稳定点的关系:1.极值点不一定是稳定点,稳定点也不一定是极值点.2.可导函数的极值点一定是稳定点.达布达布(Darboux)定理定理(导函数的介值定理导函数的介值定理)证:(略)2 2 求导法则求导法则教学内容：教学内容：1.给出了函数的和、差、积、商的求导法则.2.给出了反函数的求导法则,并得到了指数函数,反三角函数 的求导公式.3.给出了复合函数的求导法则,并得到了幂函数的求导公式.教学重点教学重点:熟练掌握复合函数的求导法则.要求要求:1.掌握求导法则,尤其是复合函数的求导法则.2.能熟练应用求导法则及基本初等函数的求导公式计算 初等函数的导数.一一 导数的四则运算和复合函数的链式法则导数的四则运算和复合函数的链式法则问题的提出问题的提出:从上一节可以看到,应用导数的定义可以求函数的导数,但通常比较繁琐,有没有更为简单、方便有效的方法求函数特别是初等函数的导数?初等函数导数的计算方法初等函数导数的计算方法:1.利用求导的四则运算法则及复合函数的链式法则求导；2.利用反函数求导法则求导；3.对数求导法；4.利用导数的定义求导；例例解解由于例例求下列函数的导函数:解解二二 反函数的导数反函数的导数基本求导法则:例例证证(2)(3)的证明略去.三三 对数求导法对数求导法对数求导法的步骤对数求导法的步骤:1.两端取绝对值之后,再取自然对数.2.等式两端分别对自变量求导.例例先对函数取对数,得解解再对上式两边分别求对数,得整理后得到补充补充:分段函数的导数分段函数的导数例例设当解解当3 3 参变量函数的导数参变量函数的导数教学内容：教学内容：本节给出了由参量方程所确定的参变量函数的求导法则.教学重点教学重点:参量方程的求导法则.要求要求:能熟练求出参变量函数的导数.问题的提出问题的提出:前面两节我们学习了显函数的导数的求解方法,如何求由参量方程所确定的参变量函数的导数呢?例例试求由上半椭圆的参变量方程所确定的函数的导数.解解由公式(1)求得例例证证 由公式(2)有4 高阶导数高阶导数教学内容：教学内容：1、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数y=xn、三角函数、三角函数 y=sinx、y=cosx、指数函数、指数函数y=ex的的n阶导数公式。阶导数公式。2、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。3、给出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计算公式。、给出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计算公式。教学重点：教学重点：各类函数高阶导数的计算。各类函数高阶导数的计算。要求：要求：熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的应用。熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的应用。问题的提出：问题的提出：速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速度与位移是什么关系呢？度与位移是什么关系呢？一一 高阶导数的概念高阶导数的概念1、二阶导数的定义二阶导数的定义 定义定义1：若函数：若函数 的导函数的导函数 在点在点 可导，则称可导，则称 在点在点 的导数为的导数为 在点在点 的二阶导数，记作的二阶导数，记作 ，即，即 同时称同时称 在点在点 为为二阶可导。二阶可导。2、n 阶导数：阶导数：的的n-1阶导数的导数称为阶导数的导数称为 的的n 阶导数。阶导数。3、高阶导数：高阶导数：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。二二 高阶导数的计算高阶导数的计算1、n 个初等函数的高阶导数个初等函数的高阶导数例例1 求幂函数求幂函数 （n 为正整数）的各阶导数。为正整数）的各阶导数。解解 由幂函数的求导公式得由幂函数的求导公式得 由此可见，对于正整数幂函数由此可见，对于正整数幂函数xn，每求导一次，其幂次降低，每求导一次，其幂次降低1，第，第 n 阶导数为一常数，大于阶导数为一常数，大于 n 阶的导数都等于阶的导数都等于0。注：注：用类似的方法，可求得三用类似的方法，可求得三角函数角函数y=sin x,y=cos x及指及指数函数的各阶导数。数函数的各阶导数。2、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数、利用莱布尼茨公式求两个函数乘积的高阶导数莱布尼茨公式：莱布尼茨公式：例例4：设：设 ，求，求解解 令令 由例由例2和例和例3有有应用莱布尼茨公式（应用莱布尼茨公式（n=5）得）得3、分段函数的高阶导数、分段函数的高阶导数例例5 研究函数研究函数 的高阶导数。的高阶导数。解解 当当 时，时，当当 时，时，当当 时，由左右导数定义不难求得时，由左右导数定义不难求得 而当而当 时，时，不存在，整理后得不存在，整理后得 当当 时时4、由参量方程所确定的函数的高阶导数、由参量方程所确定的函数的高阶导数由参量方程由参量方程 所确定的函数所确定的函数 的一阶、二阶的一阶、二阶导数分别为导数分别为:（1）（2）例例6 试求由摆线参量方程试求由摆线参量方程 所确定的函数所确定的函数 的二阶导数。的二阶导数。解解 由公式（由公式（1）得）得 再由公式（再由公式（2）得）得 5 微分微分教学内容：教学内容：1、给出了函数在一点得微分（可微）的概念，并证明了可导与、给出了函数在一点得微分（可微）的概念，并证明了可导与 可微是等价的。可微是等价的。2、微分运算法则以及一阶微分形式的不变性。、微分运算法则以及一阶微分形式的不变性。3、高阶微分的定义与计算，并说明高阶微分不具有形式的不变、高阶微分的定义与计算，并说明高阶微分不具有形式的不变 性。性。4、微分在近似计算中的应用。、微分在近似计算中的应用。要求要求:1、掌握微分概念，理解微分的分析和几何意义。、掌握微分概念，理解微分的分析和几何意义。2、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联系。、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联系。问题的提出：问题的提出：恩格斯在反社林论中指出：恩格斯在反社林论中指出：“高等数学的主要基础之一高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。这。这里所说的里所说的“一定条件一定条件”指的是什么？换句话说，怎样的函数可用线指的是什么？换句话说，怎样的函数可用线性函数去逼近？性函数去逼近？由两部分组成：由两部分组成：（）（阴影部分）（阴影部分）（）它是关于它是关于 的高阶无穷小量的高阶无穷小量例：设一边长为例：设一边长为x的正方形，它的面积的正方形，它的面积 是是 的函数。若边的函数。若边长由长由 增加了增加了 ，相应地正方形面积地增量，相应地正方形面积地增量 因此，当给因此，当给 一个微小增量一个微小增量 时，由此引时，由此引起的正方形增量起的正方形增量 可近似地用可近似地用 的线性部分的线性部分 来代替，且来代替，且由此产生的误差是一个关于由此产生的误差是一个关于 的高阶无穷小量。的高阶无穷小量。一一 微分的概念微分的概念定义：定义：设函数设函数 定义在点定义在点 的某邻域的某邻域 内。当给内。当给 一个增量一个增量 时，相应地得到函数的增量为：时，相应地得到函数的增量为：如果存在常数如果存在常数A，使得，使得 能表示成能表示成则称函数则称函数 在点在点 可微，可微，并称（并称（1）式中的第一项）式中的第一项 为为 在在点点 的的微分，微分，记作记作 （1）或或注意：注意：函数的微分与增量之间仅相差一个关于函数的微分与增量之间仅相差一个关于 的高阶无穷的高阶无穷 小量。小量。若函数若函数 在点在点 可微，则在点可微，则在点 的小邻域内可的小邻域内可 用切线代替曲线。用切线代替曲线。二二 可导与可微的联系与区别可导与可微的联系与区别1、函数、函数 在点在点 可导与可微是等价的，且可导与可微是等价的，且2、函数、函数 在点在点 的导数的导数 与微分与微分 的区别。的区别。是一个函数，而微分是一个函数，而微分 是是 的线性函数，的线性函数，它的定义域是它的定义域是R,R,它是无穷小，即它是无穷小，即从几何意义上说，导数从几何意义上说，导数 是曲线是曲线 在点在点 的的 切线斜率，而微分切线斜率，而微分 是曲线是曲线 在点在点 的切线方程在点的切线方程在点 的纵坐标。的纵坐标。导数通常用于关于函数性质理论的研究，而微分通常用于近似导数通常用于关于函数性质理论的研究，而微分通常用于近似 计算和微分运算。计算和微分运算。三三 微分的运算法则微分的运算法则1、微分运算法则、微分运算法则2、一阶微分方程的不变性、一阶微分方程的不变性则则3、函数微分的计算方法、函数微分的计算方法（1）利用微分运算法则利用微分运算法则例例1 求求 的微分。的微分。解解（2）利用函数的导数求微分，即利用函数的导数求微分，即 例例 求求 的微分。的微分。解解 因为因为 所以所以（3）利用一阶微分形式的不变性）利用一阶微分形式的不变性例例2 求求 的微分。的微分。解解 由一阶微分形式不变性，可得由一阶微分形式不变性，可得四四 高阶微分高阶微分3、高阶微分：高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。1、二阶微分：二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作一阶微分的微分称为二阶微分。记作 且有且有（1）2、n阶微分：阶微分：n-1阶微分的微分称为阶微分的微分称为n阶微分，记作阶微分，记作 且有且有（2）例例3 设设 分别依公式（分别依公式（1）、）、（2）求）求解解 由由 得得 依公式（依公式（1）得）得 类似地，依公式（类似地，依公式（2）得）得 五五 微分在近似计算微分在近似计算1、函数的近似计算、函数的近似计算近似计算公式：近似计算公式：当当 很小时，很小时，例例5 设钟摆的周期是设钟摆的周期是1秒，在冬季摆长至多缩短秒，在冬季摆长至多缩短0.01cm，试，试 问此钟每天至多快几秒？问此钟每天至多快几秒？解解 由物理学知道，单摆周期由物理学知道，单摆周期T与摆长与摆长l的关系为的关系为其中其中g是重力加速度。已知钟摆周期为是重力加速度。已知钟摆周期为1秒，故此摆原长为秒，故此摆原长为当摆长最多缩短当摆长最多缩短0.01cm时，摆长的增量时，摆长的增量 它引起它引起单摆周期的增量单摆周期的增量（见下页）（见下页）这就是说这就是说,加快约加快约0.0002秒秒,因此每天大约加快因此每天大约加快例例4 求求 的近似值。的近似值。解解 由于由于 因此取因此取由上述式子得到由上述式子得到当当 很小时，很小时，注：注：利用该公式时，要找一邻近利用该公式时，要找一邻近 的点的点 ，使得，使得 和和 容易计算。容易计算。注：注：在原点附近常用的近似公式：在原点附近常用的近似公式：2、误差估计、误差估计绝对误差限公式：绝对误差限公式：（为误差限）为误差限）相对误差限公式：相对误差限公式：例例6 设测得一球体的直径为设测得一球体的直径为42cm，测量工具的精度为，测量工具的精度为0.05cm.试求以此直径计算球体体积时所引起的误差。试求以此直径计算球体体积时所引起的误差。解解 由直径由直径d计算球体体积的函数式为计算球体体积的函数式为取取 求得求得并由上述公式可求得体积的绝对误差限和相对误差限分别为并由上述公式可求得体积的绝对误差限和相对误差限分别为