【教学课件】第二章随机向量.ppt

第二章 随机向量v2.1 多元分布v2.2 数字特征v2.3 欧氏距离和马氏距离v*2.4 随机向量的变换v*2.5 特征函数12.1 多元分布v一、多元概率分布函数v*二、两个常用的离散型多元分布v三、多元概率密度函数v四、边缘分布v五、条件分布v六、独立性2一、多元概率分布函数v一个向量，若它的分量都是随机变量，则称之为随机向量。v随机变量x的分布函数：v随机向量 的分布函数：3三、多元概率密度函数v一元的情形：v多元的情形：v多元密度f(x1,xp)的性质：4四、边缘分布v设x是p维随机向量，由它的q(0。v(2)设A为常数矩阵，b为常数向量，则当p=1时，退化为v例 的分量之间存在线性关系（以概率1）。15v例2.2.3 设x=(x1,x2,x3)的数学期望和协差阵分别为令y1=2x1x2+4x3,y2=x2x3,y3=x1+3x22x3,试求y=(y1,y2,y3)的数学期望和协方差矩阵。v(3)设A和B为常数矩阵，则v(4)设 为常数矩阵，则16推论 证明 （先证推论，再证性质(4)）17v(5)设k1,k2,kn是n个常数，x1,x2,xn是n个相互独立的p维随机向量，则 18三、相关矩阵v随机变量x和y的相关系数定义为v 的相关阵定义为19v若(x,y)=0，则表明x和y不相关。v x=y时的相关阵(x,x)称为x的相关阵，记作R=(ij)，这里ij=(xi,xj),ii=1。即 vR=(ij)和=(ij)之间有关系式：R=D1D1 其中 ；R和的相应元素之间的关系式为 20前述关系式即为21标准化变换v最常用的标准化变换是令 22v可见，相关阵R也是一个非负定阵。232.3 欧氏距离和马氏距离v一、欧氏距离v二、马氏距离24一、欧氏距离v 之间的欧氏距离为v平方欧氏距离为 25不适合直接使用欧氏距离的例子v下面是各国家和地区男子径赛记录的数据（1984年）：国家和地区100米（秒）200米（秒）400米（秒）800米（分）1500米（分）5000米（分）10000米（分）马拉松（分）阿根廷10.3920.8146.841.813.714.0429.36137.72澳大利亚10.3120.0644.841.743.5713.2827.66128.3奥地利10.4420.8146.821.793.613.2627.72135.9比利时10.3420.6845.041.733.613.2227.45129.95百慕大10.2820.5845.911.83.7514.6830.55146.62巴西10.2220.4345.211.733.6613.6228.62133.13缅甸10.6421.5248.31.83.8514.4530.28139.95加拿大10.1720.2245.681.763.6313.5528.09130.15智利10.3420.846.21.793.7113.6129.3134.03中国10.5121.0447.31.813.7313.929.13133.53哥伦比亚10.4321.0546.11.823.7413.4927.88131.3526v即使单位全相同，但如果各分量的变异性差异很大，则变异性大的分量在欧氏距离的平方和中起着决定性的作用，而变异性小的分量却几乎不起什么作用。平均大小等于27v图中两个外点哪个更离群？v在实际应用中，为了消除单位的影响和均等地对待每一分量，我们常须先对各分量作标准化变换，然后再计算欧氏距离。v令 ，则 28v由于 ，故平方和中各分量所起的平均作用都一样。v欧氏距离经变量的标准化之后能够消除各变量的单位或方差差异的影响，但不能消除变量之间相关性的影响。29二、马氏距离v 之间的平方马氏距离定义为v 到总体的平方马氏距离定义为v特点(1)马氏距离不受变量单位的影响，是一个无单位的数值。30比例单位变换v如x的分量是长度、重量、速度、费用和用时等，则变量的单位变换可表达为 其中 。31带有常数项的单位变换v例子 摄氏温度与华氏温度的换算公式：F(C95)32，C(F32)59 式中F华氏温度，C摄氏温度。v 32v特点(1)的证明 x1,x2经单位变换后为y1,y2，即有33v特点(2)马氏距离是x和y经标准化之后的欧氏距离，即 其中 ，它们的均值 皆为0，协差阵皆为单位阵I。v特点(3)若 ，则 即当各分量不相关时马氏距离即为各分量经标准化后的欧氏距离。34