【教学课件】第一节二次型的矩阵表示.ppt
1第一节第一节 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示 一、二次型的定义一、二次型的定义 二、二次型的矩阵表示二、二次型的矩阵表示 三、非退化线性替换三、非退化线性替换 四、矩阵的合同四、矩阵的合同2 2009,Henan Polytechnic University21 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型一、二次型的定义一、二次型的定义1.1.问题的引入问题的引入 在解析几何中，在解析几何中，一个有心二次一个有心二次曲线的一般方程是曲线的一般方程是 当坐当坐标原点与中心重合时，标原点与中心重合时，为了便于研究这个二次曲线的几为了便于研究这个二次曲线的几何性质，何性质，择适当的角度择适当的角度作转轴（反时针方向转轴）作转轴（反时针方向转轴）可以选可以选3 2009,Henan Polytechnic University31 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型把方程化成标准方程。把方程化成标准方程。在二次在二次曲面的研究中也有类似的情况曲面的研究中也有类似的情况.从代数的观点看，从代数的观点看，所谓化标准方所谓化标准方程就是程就是对二次齐对二次齐次多项式，次多项式，作适当的非退化线性替换作适当的非退化线性替换,平方项的多项式。平方项的多项式。使它化为只含使它化为只含4 2009,Henan Polytechnic University41 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型2 2、二次型的定义、二次型的定义称为数域P上的一个n元二次型n个文字 的二次齐次多项式设设P为数域，为数域，5 2009,Henan Polytechnic University51 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型二次齐次多项式(二次型):三次齐次多项式(三次型):6 2009,Henan Polytechnic University61 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型注：注：2)式式 也可写成也可写成1)为了计算和讨论的方便为了计算和讨论的方便,式式中中 的的系数写成系数写成 例如例如 就是有理数域上的一个三元二次型就是有理数域上的一个三元二次型 。7 2009,Henan Polytechnic University71 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型约定中二、二、二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示1)用和号表示用和号表示由由有有8 2009,Henan Polytechnic University81 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型2)2)用矩阵表示用矩阵表示9 2009,Henan Polytechnic University91 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型10 2009,Henan Polytechnic University101 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型二次型可表示为二次型可表示为 因因为为所以所以 矩矩阵阵A A称称为为二次型二次型的矩的矩阵阵.11 2009,Henan Polytechnic University111 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型例例1 1 二次型二次型用矩阵可表示为用矩阵可表示为1）二次型的矩阵总是对称矩阵二次型的矩阵总是对称矩阵,即即注：注：2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即二次型与它的矩阵相互唯一确定，即 若若 且且 ，则，则12 2009,Henan Polytechnic University121 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型若 A,B都 是实对称矩阵,且对应的二次型 相同，即证 先取x为单位向量 ei=(0,1,0)T (第i个分量为1,其余为 0)，代入上式得aii=bii(i=1,2,n)再取 x 为向量 eij=(0,1,1,0)T (第 i,j个分量为1,其余为0)，代入上式得aij=bij(ij)则 A=B所以 A=B13 2009,Henan Polytechnic University131 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型例例2 1）写出二次型）写出二次型 所对应的矩阵。所对应的矩阵。2）写出矩阵）写出矩阵 所对应的二次型。所对应的二次型。14 2009,Henan Polytechnic University141 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型解解 1）原二次型所对应的对称矩阵为：）原二次型所对应的对称矩阵为：2 2）矩阵对应的二次型为：）矩阵对应的二次型为：15 2009,Henan Polytechnic University151 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型例例3 指出下列二次型的矩阵指出下列二次型的矩阵3）复数域复数域C上的上的4元二次型元二次型它们的矩阵分别是：它们的矩阵分别是：2）实数域实数域R上的上的3元二次型元二次型1）实数域）实数域R上的上的2元二次型元二次型 16 2009,Henan Polytechnic University161 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型三、非退化线性替换三、非退化线性替换1 1、定义、定义：是两组文字是两组文字,，关系式，关系式称为由称为由的一个的一个线性替换线性替换;17 2009,Henan Polytechnic University171 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型注：注：1）或或为非退化的为非退化的 为可逆矩阵为可逆矩阵.则则为非退化线性替换为非退化线性替换.2）若）若 为非退化线性替换为非退化线性替换，则有非则有非退化退化则则可表示为可表示为线性替换线性替换若若18 2009,Henan Polytechnic University181 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型即，即，B为对称矩阵为对称矩阵.2 2、二次型经过非退化线性替换仍为二次型、二次型经过非退化线性替换仍为二次型 事实上，事实上，是一个是一个 二次型二次型.19 2009,Henan Polytechnic University191 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型四、矩阵的合同四、矩阵的合同1）合同具有合同具有对称性：对称性：反身性反身性:注注:1 1、定义、定义：设设 ，若存在可逆矩阵，若存在可逆矩阵使使 ，则称，则称A与与B合同合同.20 2009,Henan Polytechnic University201 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型传递性传递性:即即C1C2可逆可逆.2）合同矩阵具有相同的秩合同矩阵具有相同的秩.C可逆可逆 3 3 3 3）经过非退化线性替换，新二次型矩阵与经过非退化线性替换，新二次型矩阵与经过非退化线性替换，新二次型矩阵与经过非退化线性替换，新二次型矩阵与原二次型矩阵是合同的原二次型矩阵是合同的原二次型矩阵是合同的原二次型矩阵是合同的.21 2009,Henan Polytechnic University211 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型例例2证明：矩阵证明：矩阵A与与B合同，其中合同，其中一个排列一个排列.证：证：作二次型作二次型22 2009,Henan Polytechnic University221 1 1 1 二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示第五章第五章第五章第五章 二次型二次型二次型二次型故矩阵故矩阵A与与B合同合同.对作非退化线性替换对作非退化线性替换则二次型化为（注意则二次型化为（注意 的系数为的系数为）
