【教学课件】第6章虚功原理和结构的位移计算.ppt

结构力学结构力学结构力学结构力学静定结构的位移计算静定结构的位移计算静定结构的位移计算静定结构的位移计算第四章第四章第四章第四章 结构力学结构力学结构力学结构力学 结构力学结构力学结构力学结构力学A位移位移转角位移转角位移线位移线位移A A点线位移点线位移点线位移点线位移A A点水平位移点水平位移点水平位移点水平位移A A点竖向位移点竖向位移点竖向位移点竖向位移A A截面转角截面转角截面转角截面转角FP 结构力学结构力学结构力学结构力学AFP引起结构位移的原因引起结构位移的原因制造误差制造误差 等等荷载荷载温度温度改变改变支座移动支座移动还有什么原还有什么原因会使结构产因会使结构产生位移生位移?为什么要计算为什么要计算位移位移?结构力学结构力学结构力学结构力学铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定:(1)刚度要求刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度 1/700 和和1/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。(2)超静定、动力和稳定计算超静定、动力和稳定计算(3）施工要求）施工要求 结构力学结构力学结构力学结构力学 (3)理想联结理想联结(Ideal Constraint)。叠加原理适用叠加原理适用（principle of superposition)(1)线弹性线弹性(Linear Elastic),(2)小变形小变形(Small Deformation),单位荷载法单位荷载法(Dummy-Unit Load Method)结构力学结构力学结构力学结构力学功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量 功功功功=力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移实功：实功：实功：实功：力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功虚功：虚功：虚功：虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功力在非自身所产生的位移上所作的功 结构力学结构力学结构力学结构力学力状态力状态位移状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）注意：注意：注意：注意：（1）属）属同一同一体系；体系；（2）均为可能状态。即位移）均为可能状态。即位移 应满足应满足变形协调条件变形协调条件；力状态应满足力状态应满足平衡条件平衡条件。（3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关；结构力学结构力学结构力学结构力学一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功 W=P W=P P-P-广义力广义力广义力广义力;-广义位移广义位移广义位移广义位移例例例例:1)1)作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力2)2)作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶3)3)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶反向的集中力偶反向的集中力偶反向的集中力偶4)4)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力反向的集中力反向的集中力反向的集中力 结构力学结构力学结构力学结构力学（1）质点系的虚位移原理）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和某一位置处于平衡的必要和充分条件是：充分条件是：fi ri=0.对于任何对于任何可能可能的虚位移，的虚位移，作用于质点系的主动力所作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即做虚功之和为零。也即 结构力学结构力学结构力学结构力学（2）刚体系的虚位移原理）刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：衡的必要和充分条件是：对于任何对于任何可能可能的的虚位移，作用于刚虚位移，作用于刚体系的所有外力所体系的所有外力所做虚功之和为零。做虚功之和为零。P23/2 结构力学结构力学结构力学结构力学原理的表述：原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立。也即恒有如下虚功方程成立We=Wi（3）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理 结构力学结构力学结构力学结构力学 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒恒等于变形体各等于变形体各微段外力微段外力在微段在微段变形位移变形位移上作的虚功之和上作的虚功之和Wi。变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明:1.1.利用变形连续性条件计算利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力分微段外力分为两部分为两部分体系外力体系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分体系外力功体系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW=d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和:W=d dWe+d dWn=d dWe=We2.2.利用平衡条件计算利用平衡条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分在刚体位移上的功在刚体位移上的功d dWg在变形位移上的功在变形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW=d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和:W=d dWi=Wi微段位移分微段位移分为两部分为两部分刚体位移刚体位移变形位移变形位移故有故有We=Wi成立。成立。结构力学结构力学结构力学结构力学 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒恒等于变形体各等于变形体各微段外力微段外力在微段在微段变形位移变形位移上作的虚功之和上作的虚功之和Wi。变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明:1.1.利用变形连续性条件计算利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力分微段外力分为两部分为两部分体系外力体系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分体系外力功体系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW=d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和:W=d dWe+d dWn=d dWe=We2.2.利用平衡条件条件计算利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和 W微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分在刚体位移上的功在刚体位移上的功d dWg在变形位移上的功在变形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW=d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和:W=d dWi=Wi微段位移分微段位移分为两部分为两部分刚体位移刚体位移变形位移变形位移故有故有We=Wi成立。成立。几个问题几个问题:1.虚功原理里存在两个状态：虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是条件。因此原理仅是必要性命题必要性命题。2.原理的证明表明原理的证明表明:原理适用于原理适用于任何任何(线性和非线性线性和非线性)的的变形体变形体，适用于，适用于任何结构任何结构。3.原理可有两种应用：原理可有两种应用：实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将将平衡问题化为几何问题来求解平衡问题化为几何问题来求解。实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将将位移分析化为平衡问题来求解位移分析化为平衡问题来求解。结构力学结构力学结构力学结构力学1.1.外力虚功和虚应变能外力虚功和虚应变能外力虚功和虚应变能外力虚功和虚应变能外外外外力力力力虚虚虚虚功功功功 作作作作用用用用在在在在结结结结构构构构上上上上的的的的外外外外力力力力(包包包包括括括括荷荷荷荷载载载载和和和和支支支支座座座座反反反反力力力力)所作的虚功。所作的虚功。所作的虚功。所作的虚功。图a所示为力状态，图b所示为位移状态。位移状态(b)力状态FP1M1R1FP2abR2(a)结构力学结构力学结构力学结构力学图a所示力状态在图b所示位移状态下的外力虚功式中P包括力状态中的集中力、集中力偶和支座反力等，它称为广义力；而则为位移状态中与广义力相应的广义位移。结构力学结构力学结构力学结构力学虚虚虚虚应应应应变变变变能能能能 当当当当结结结结构构构构的的的的力力力力状状状状态态态态的的的的外外外外力力力力因因因因结结结结构构构构的的的的位位位位移移移移状状状状态态态态的的的的位位位位移移移移作作作作虚虚虚虚功功功功时时时时，力力力力状状状状态态态态的的的的内内内内力力力力也也也也因因因因位位位位移移移移状态的相对变形而作虚功。状态的相对变形而作虚功。状态的相对变形而作虚功。状态的相对变形而作虚功。对于杆件结构，设力状态(图a)中杆件任一微段dx的内力为FN1、FQ1、M1(图c)；位移状态(图b)中杆件对应微段的相对变形，即正应变、切应变、弯曲应变分别如图d、e、f所示。当略去高阶微量后，微段上的虚应变能可表为 结构力学结构力学结构力学结构力学力状态dx(a)位移状态dx(b)结构力学结构力学结构力学结构力学FQ1dxFN1M1(c)dx(d)dx(e)dx(f)结构力学结构力学结构力学结构力学将上式表示的微段虚应变能沿杆进行积分，然后对结构的全部杆件求和，即得杆件结构的虚应变能为或 结构力学结构力学结构力学结构力学2.2.虚功方程虚功方程虚功方程虚功方程根据虚功原理，虚功方程为：或 结构力学结构力学结构力学结构力学虚功原理的虚功原理的虚功原理的虚功原理的两种应用两种应用两种应用两种应用已已知知平平衡衡的的力力状状态态，应应用用虚虚功功方方程求位移。程求位移。已已知知协协调调的的位位移移状状态态，应应用用虚虚功功方程求平衡力。方程求平衡力。3.3.虚功原理的两种应用虚功原理的两种应用虚功原理的两种应用虚功原理的两种应用 结构力学结构力学结构力学结构力学 1）虚功原理用于）虚功原理用于虚设的虚设的协调位移状态协调位移状态与与实际的实际的平衡力状态平衡力状态之间。之间。例例.求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。FPABaC(a)b解：去掉解：去掉A端约束并代以反力端约束并代以反力 X，构造相，构造相应的虚位移状态如图应的虚位移状态如图(b)、(c)结构力学结构力学结构力学结构力学待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态X(b)FP由外力虚功总和为零，即：由外力虚功总和为零，即：(c)直线直线虚设协调的位移状态虚设协调的位移状态 结构力学结构力学结构力学结构力学通常取通常取单位位移法单位位移法(Unit-Displacement Method)(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是位移原理，实质上是实际受力状态的平衡实际受力状态的平衡方程方程，即，即几点说明：几点说明：(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。移关系。(2)虚位移与实际力状态无关虚位移与实际力状态无关,故可设故可设特点特点:用几何法来解静力平衡问题用几何法来解静力平衡问题。结构力学结构力学结构力学结构力学例例.求求 A 端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移 c 时引起时引起C点点的竖向位移的竖向位移 .(a)ABaCbc 2）虚功原理用于）虚功原理用于虚设的虚设的平衡力状态平衡力状态与与实实际的际的协调位移状态协调位移状态之间。之间。解：首先构造出相应的虚设力状态。即，解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向点）沿拟求位移方向（竖向）设置（竖向）设置单位荷载单位荷载。1ABC(b)结构力学结构力学结构力学结构力学由由 求得：求得：虚功方程为：虚功方程为：这便是这便是单位荷载法单位荷载法(Dummy-Unit Load Method)它是它是 Maxwell,1864和和Mohr,1874提出，故提出，故也称为也称为Maxwell-Mohr Method几点说明：几点说明：(1)所建立的所建立的虚功方程虚功方程,实质上是实质上是几何方程几何方程。结构力学结构力学结构力学结构力学(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。力平衡关系。(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力故可设单位广义力 P=1总的来讲，必须非常清楚的是：总的来讲，必须非常清楚的是：单位位移法单位位移法的虚功方程的虚功方程 平衡方程平衡方程特点特点:是用静力平衡法来解几何问题。是用静力平衡法来解几何问题。单位荷载法单位荷载法的虚功方程的虚功方程 几何方程几何方程返回首页返回首页返回首页返回首页 结构力学结构力学结构力学结构力学 将虚功原理用于将虚功原理用于实际协调位移实际协调位移和和虚设平衡力虚设平衡力状态间状态间已介绍过已介绍过单位荷载法。单位荷载法。首先需要确定虚功原理中的两种状态。现在的目的是求解外界因素作用下的结构位移，我们将待求位移的结构状态视为虚功原理中的位移状态。为了利用虚功原理的虚功方程求得位移，需建立一个与待求位移对应的平衡的力状态。若这个平衡的力状态是对应于待求位移的一个单位力状态的话，则单位力在虚位移上所作的总虚功恰好等于待求的位移值。下图即为上述思想示意图。结构力学结构力学结构力学结构力学FPkkq(x)(a)需求位移结构X=1(b)单位广义力状态 结构力学结构力学结构力学结构力学将待求的位移记作，由虚功原理的虚功方程可得式中除外其他符号的含义说明如下：分别为单位广义力状态中的轴力、剪力、弯矩、支座反力；表示对所有杆求和，积分上限l为杆长：du、dv、d、ci分别为外界因素作用下待求位移结构的虚轴向变形、虚剪切变形、虚转角和支座位移。结构力学结构力学结构力学结构力学设在荷载作用下，待求位移实际结构内力分别记作FNP、FQP、MP，则由材料力学公式即可得到实际变形状态所对应的“虚变形”表达式，将它们代入位移计算一般性公式中，即可得如下荷载下的位移计算公式 上式适用于一切线性弹性杆系结构。结构力学结构力学结构力学结构力学材材料料力力学学中中关关于于基基本本受受力力与与变变形形形形式式下下，内力与变形关系已有如下结论：内力与变形关系已有如下结论：拉压变形拉压变形拉压变形拉压变形 弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形 扭转变形扭转变形扭转变形扭转变形 剪切变形剪切变形剪切变形剪切变形k k截面形状系数。如：对矩形截截面形状系数。如：对矩形截截面形状系数。如：对矩形截截面形状系数。如：对矩形截面面面面k=6/5;k=6/5;圆形截面圆形截面圆形截面圆形截面k=10/9k=10/9。结构力学结构力学结构力学结构力学一般公式的普遍性表现在：一般公式的普遍性表现在：2.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结 构；静定和超静定结构；构；静定和超静定结构；1.位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3.材料性质：线性、非线性；材料性质：线性、非线性；4.变形类型：弯曲变形、拉变形类型：弯曲变形、拉(压压)变形、剪切变形、剪切 变形；变形；5.位移种类：线位移、角位移；相对线位移位移种类：线位移、角位移；相对线位移 和相对角位移。和相对角位移。结构力学结构力学结构力学结构力学BA(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。A(a)P=1P=1P=1 结构力学结构力学结构力学结构力学ABCd(c)ABC(d)试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。结构力学结构力学结构力学结构力学AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。结构力学结构力学结构力学结构力学P=1(g)A(h)ABP=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。结构力学结构力学结构力学结构力学例例 1：求刚架：求刚架A点的竖向位移。点的竖向位移。解：构造虚设状态解：构造虚设状态（实际状态）（实际状态）分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内力图），如：方程（或画出内力图），如：（虚拟状态）（虚拟状态）结构力学结构力学结构力学结构力学qxxqlqlx荷载内力图荷载内力图xxlx11单位内力图单位内力图 结构力学结构力学结构力学结构力学内力的正负号规定如下：内力的正负号规定如下：轴力轴力 以拉力为正；以拉力为正；剪力剪力 使微段顺时针转动使微段顺时针转动 者为正；者为正；弯矩弯矩 只规定乘积的正负只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，号。使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。其乘积取为正。结构力学结构力学结构力学结构力学将内力方程代入公式将内力方程代入公式讨论：讨论：轴向轴向剪切剪切弯曲弯曲 ，有：，有：引入符号引入符号 结构力学结构力学结构力学结构力学问题：问题：的取值范围是什么？的取值范围是什么？设杆件设杆件截面截面为为 b h 的矩形截面杆，有：的矩形截面杆，有：结构力学结构力学结构力学结构力学因此因此,对受弯细长杆件对受弯细长杆件,通常略去通常略去FN,FQ的影响的影响。取：取：，有：，有：即：即：结构力学结构力学结构力学结构力学一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。1.对梁和刚架：对梁和刚架：2.对桁架：对桁架：3.对组合结构：对组合结构：结构力学结构力学结构力学结构力学例例 2：求曲梁：求曲梁B点的竖向位移点的竖向位移 和水和水 平位移平位移 。(EI、EA、GA已知已知)ROBAFP解：构造虚设的力状态如图示解：构造虚设的力状态如图示FP=1RFP=1RFPR 结构力学结构力学结构力学结构力学同理有：同理有：将内力方程代入位移计算公式将内力方程代入位移计算公式,可得可得三铰拱的分析三铰拱的分析同此类似，但一般同此类似，但一般要考要考虑轴力对位移的贡献虑轴力对位移的贡献，也即，也即 结构力学结构力学结构力学结构力学例例 3：求对称桁架：求对称桁架D点的竖向位移点的竖向位移 。图中。图中 右半部各括号内数值为杆件的截面积右半部各括号内数值为杆件的截面积A ，设，设 E=210GPa。FN 结构力学结构力学结构力学结构力学解：解：构造虚拟状态并求出实际和虚拟状态构造虚拟状态并求出实际和虚拟状态中各杆的内力中各杆的内力代入公式得：代入公式得：FN 结构力学结构力学结构力学结构力学 在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下,不方便不方便.下面介绍下面介绍计算位移的图乘法计算位移的图乘法.刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为：结构力学结构力学结构力学结构力学(对于等对于等截面杆截面杆)(对于直杆对于直杆)图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为:图乘法的图乘法的适用条件是适用条件是什么什么?图乘法是图乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他当时年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院为莫斯科铁路运输学院的的学生学生。结构力学结构力学结构力学结构力学例例.试求图示梁试求图示梁B端转角端转角.解解:为什么弯矩图在为什么弯矩图在杆件同侧图乘结杆件同侧图乘结果为正果为正?结构力学结构力学结构力学结构力学例例.试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.解解:结构力学结构力学结构力学结构力学Ch二次抛物线二次抛物线 结构力学结构力学结构力学结构力学图图（）图图BAq例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角解解:结构力学结构力学结构力学结构力学求求MP 结构力学结构力学结构力学结构力学求求MP 当两个图形均当两个图形均为直线图形时为直线图形时,取那取那个图形的面积均可个图形的面积均可.结构力学结构力学结构力学结构力学MP求求 取取 yc的图形必的图形必须是直线须是直线,不能是曲不能是曲线或折线线或折线.能用能用 Mi图面积乘图面积乘MP图竖标吗图竖标吗?结构力学结构力学结构力学结构力学求求MP 结构力学结构力学结构力学结构力学求求MP 结构力学结构力学结构力学结构力学求求C截面竖向位移截面竖向位移MP 结构力学结构力学结构力学结构力学1.图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3）应取自直线图中。应取自直线图中。2.若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧，取正值；取正值；反之，取负值。反之，取负值。3.如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形.结构力学结构力学结构力学结构力学 例例 1.已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。lqhqMP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 结构力学结构力学结构力学结构力学 例例 2.已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqllqMP 结构力学结构力学结构力学结构力学 例例 3.已知已知 EI 为常数，求为常数，求A点竖向位移点竖向位移 。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图qlllqMP 结构力学结构力学结构力学结构力学 例例 4.图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。l/2ql/2MP 结构力学结构力学结构力学结构力学 例例 4.图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移。l/2ql/2MP 结构力学结构力学结构力学结构力学 例例 4.图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移。l/2ql/2MP 结构力学结构力学结构力学结构力学lFPlFPl 图示结构图示结构 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向位相对竖向位移移,(2)相对水平位移相对水平位移,(3)相对转角相对转角。MP1111对称弯矩图对称弯矩图反对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果为零为零.11 结构力学结构力学结构力学结构力学FPFP11绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：反弯点的利用。如：结构力学结构力学结构力学结构力学求求B点水平位移。点水平位移。解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MPll注意注意:各杆刚度各杆刚度可能不同可能不同 结构力学结构力学结构力学结构力学 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 ,并画出变形图。并画出变形图。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqlq 结构力学结构力学结构力学结构力学 已知已知 EI 为常数，求为常数，求B截面转角。截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 结构力学结构力学结构力学结构力学解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求B点竖向位移点竖向位移,EI=常数。常数。lFPllMP1 结构力学结构力学结构力学结构力学解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。lllMP 结构力学结构力学结构力学结构力学 已知：已知：E、I、A为常数，求为常数，求 。ABCFPaD 结构力学结构力学结构力学结构力学解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图ABCFPaDABC1aD若把二力杆换成弹簧若把二力杆换成弹簧,该如何计算该如何计算?结构力学结构力学结构力学结构力学B支座处为刚度支座处为刚度k的弹簧，该如何计算的弹簧，该如何计算C点竖向位移？点竖向位移？ABCk=1PABCk有弹簧支座的结构位移计算公式为有弹簧支座的结构位移计算公式为:结构力学结构力学结构力学结构力学解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求A点竖向位移点竖向位移,EI=常数常数。MPlllAkk 结构力学结构力学结构力学结构力学本节目的：给出本节目的：给出 的具体计算方法。的具体计算方法。一般公式一般公式荷载位移公式荷载位移公式温度位移公式温度位移公式 结构力学结构力学结构力学结构力学图示结构，设外侧温度升高图示结构，设外侧温度升高 ，内侧温，内侧温度升高度升高 ，求，求K点的竖向位移点的竖向位移 。设温度沿杆件截面厚度为线性分布设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴，杆轴温度温度 与上、下边缘的温差与上、下边缘的温差 为：为：结构力学结构力学结构力学结构力学另外，温度变化时，杆件不引起剪应变，另外，温度变化时，杆件不引起剪应变，微段轴向伸长和截面转角为：微段轴向伸长和截面转角为：线线膨膨胀胀系系数数FP=1FNFN 结构力学结构力学结构力学结构力学 图面积图面积图面积图面积对等对等对等对等 截截截截 面面面面 直直直直 杆杆杆杆 图面积图面积图面积图面积将温度引起的变形代入公式，可得将温度引起的变形代入公式，可得沿杆长温度不变沿杆长温度不变沿杆长温度不变沿杆长温度不变 结构力学结构力学结构力学结构力学上式中的正、负号：上式中的正、负号：各项的符号由对比温度改变引起的变形各项的符号由对比温度改变引起的变形与单位力引起的变形确定，当二者一致与单位力引起的变形确定，当二者一致时取正号，反之取负号。时取正号，反之取负号。对梁和刚架：对梁和刚架：对对 桁桁 架：架：几种情况：几种情况：温度引起的轴向温度引起的轴向变形影响不能少。变形影响不能少。问题：问题：当桁架有制造误差当桁架有制造误差 时时,如何求位移如何求位移？结构力学结构力学结构力学结构力学例：例：刚架施工时温度为刚架施工时温度为20 ，试求冬季，试求冬季外侧温度为外侧温度为-10 ，内侧温度为，内侧温度为 0 时时A点的竖向位移点的竖向位移 。已知。已知 l=4 m,各杆均为矩形截面杆，高度各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m实际状态实际状态解：构造虚拟状态解：构造虚拟状态虚拟状态虚拟状态 结构力学结构力学结构力学结构力学单位荷载内力图为：单位荷载内力图为：图图图图 结构力学结构力学结构力学结构力学例例例例：求下图a所示桁架，若上弦各杆均做长了8mm，求由此而引起的C点竖向位移。ABC68m10m(a)结构力学结构力学结构力学结构力学解：解：解：解：将杆件加长看成是杆件变形，则根据，因此只要求出单位广义力作用下有“制造误差”杆件的对应内力(如图b)，即可求得所求位移。ABCX=10.80.80.80.8(b)结构力学结构力学结构力学结构力学K实际位移状态实际位移状态虚拟力状态虚拟力状态1K 结构力学结构力学结构力学结构力学静定结构由于支座移动并不产生内力，材静定结构由于支座移动并不产生内力，材料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位移。（该位移也可由几何关系求得）。有移。（该位移也可由几何关系求得）。有 结构力学结构力学结构力学结构力学例例1：求：求CBAFP=1虚拟力状态虚拟力状态解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态实际位移状态实际位移状态CBAll 结构力学结构力学结构力学结构力学解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态()FAyFAx例例 2：已知：已知 l=12 m,h=8 m,求求 结构力学结构力学结构力学结构力学例例 3：求：求实际位移状态实际位移状态CBAllFP=1解：构造虚设力状态解：构造虚设力状态CBA虚拟力状态虚拟力状态FP=1同时考虑荷载、温度和支座位移的影响同时考虑荷载、温度和支座位移的影响 结构力学结构力学结构力学结构力学等于等于0温度温度支座支座问题：问题：试给出多因素下的位移计算一般公式试给出多因素下的位移计算一般公式 结构力学结构力学结构力学结构力学 6-7互等定理互等定理1 1 功的互等定理功的互等定理本节讨论中假定：材料线性弹性；变形是微小的。材料线性弹性；变形是微小的。材料线性弹性；变形是微小的。材料线性弹性；变形是微小的。研究下图所示结构(可是任意结构)的两状态，分别将其称为1、2状态，由于荷载作用所产生的内力分别记作FN1、FQ1、M1和FN2、FQ2、M2。(a)1状态(b)2状态 结构力学结构力学结构力学结构力学(a)1状态(b)2状态结构的两种受力状态结构的两种受力状态结构的两种受力状态结构的两种受力状态首先令1状态为平衡的力状态，2状态所产生的位移作为协调的虚位移状态。这时由虚功方程式可得式中，W12的下标表示1状态外力在2状态虚位移上所作的总虚功。(a)结构力学结构力学结构力学结构力学然后反过来，令2状态为平衡的力状态，1状态所产生的位移作为协调的虚位移状态。由虚功方程可得式中，W21的下标表示2状态外力在1状态虚位移上所作的总虚功。(b)对比式(a)和式(b)立即可得 结构力学结构力学结构力学结构力学用文字来叙述则为，处处处处于于于于平平平平衡衡衡衡的的的的1 1、2 2两两两两状状状状态态态态，1 1状状状状态态态态外外外外力力力力在在在在2 2状状状状态态态态外外外外力力力力所所所所产产产产生生生生的的的的位位位位移移移移上上上上所所所所作作作作的的的的总总总总虚虚虚虚功功功功，恒恒恒恒等等等等于于于于2 2状状状状态态态态外外外外力力力力在在在在1 1状状状状态态态态外外外外力力力力所所所所产产产产生生生生的的的的位位位位移移移移上上上上所所所所作作作作的的的的总总总总虚虚虚虚功功功功。这就是功功功功的的的的互互互互等等等等定定定定理理理理，它是线弹性体系普遍定理，是最基本的，下面的定理可以由它导出(当然也可直接从虚功原理得到)。结构力学结构力学结构力学结构力学2 2 位移互等定理位移互等定理设1、2两状态都只有一个广义力，分别记作FP1和FP2。由广义力FP1引起和广义力FP2对应的广义位移记作21。同理，由广义力FP2引起和广义力FP1对应的广义位移记作12。如图所示。两种受力、位移状态两种受力、位移状态两种受力、位移状态两种受力、位移状态FP1(a)1状态(b)2状态FP22112 结构力学结构力学结构力学结构力学利用功的互等定理可得等式两边同除广义力乘积FP1FP2，上式改为从上式不难证明，不不不不管管管管广广广广义义义义力力力力和和和和对对对对应应应应的的的的广广广广义义义义位置是什么，上式比值的量纲或单位是相同的位置是什么，上式比值的量纲或单位是相同的位置是什么，上式比值的量纲或单位是相同的位置是什么，上式比值的量纲或单位是相同的。结构力学结构力学结构力学结构力学若记比值，并称为位移系数位移系数位移系数位移系数。或柔柔柔柔度度度度系系系系数数数数，它表示单位广义力引起的位移。则可得如下结论：这就是位移互等定理位移互等定理位移互等定理位移互等定理。结构力学结构力学结构力学结构力学3 3 反力互等定理反力互等定理设超静定结构的1、2两状态都仅是支座发生一个广义位移，分别记作1和2。由广义位移1引起和广义位移2对应处的支座广义反力记作FR21。同理，由广义位移2引起和广义位移1对应处的支座广义反力记作FR12。如图所示。两种位移、反力状态两种位移、反力状态两种位移、反力状态两种位移、反力状态(a)1状态(b)2状态12FR12FR21 结构力学结构力学结构力学结构力学利用功的互等定理可得等式两边同除广义位移的乘积12，并称比值为反反反反力力力力系系系系数数数数或刚刚刚刚度度度度系系系系数数数数，它表示单位广义位移引起广义力。则有对于更一般情况，则有这就是反力互等定理反力互等定理反力互等定理反力互等定理。结构力学结构力学结构力学结构力学状态状态1 (a)4 4、反力位移互等定理、反力位移互等定理 结构力学结构力学结构力学结构力学状态状态2 (b)结构力学结构力学结构力学结构力学反力位移互等定理反力位移互等定理 反力位移互等定理叙述为：反力位移互等定理叙述为：在任一线弹性变形体上，状态在任一线弹性变形体上，状态1在力在力 作用下引起的支座作用下引起的支座2的反力影响系数的反力影响系数 与状态与状态2由支座由支座2的位移的位移 引起的相应引起的相应 处的位移影响系数处的位移影响系数 数值相等，数值相等，符号相反。符号相反。结构力学结构力学结构力学结构力学或或，在任一线弹性变形体上，在任一线弹性变形体上，状态状态1在单位力在单位力 的支座的支座2的反力的反力 作用下引起作用下引起支座支座2的单位位移的单位位移，与状态与状态2由由引起的相应引起的相应 处的位移处的位移 数值相等，数值相等，符号相反。符号相反。结构力学结构力学结构力学结构力学*位移（反力）影响系数的量纲位移（反力）影响系数的量纲 的量纲取决于另一状态的力的量纲取决于另一状态的力 位移位移。