【教学课件】第2章逻辑代数基础.ppt

第第2章章 逻辑代数基础逻辑代数基础数字电子技术 Digital Electronics Technology海南大学数字电子技术课程组海南大学数字电子技术课程组教学网址：教学网址：http:/讨论空间：讨论空间：E-mail:Digital Electronics Technology1/9/20231.逻辑与逻辑运算逻辑与逻辑运算n逻辑：事物间的因果关系。逻辑：事物间的因果关系。n逻辑运算：逻辑状态按照指定的某种因果关系进行逻辑运算：逻辑状态按照指定的某种因果关系进行推理的过程。推理的过程。2.逻辑代数与逻辑变量逻辑代数与逻辑变量n逻逻辑辑代代数数：是是描描述述客客观观事事物物逻逻辑辑关关系系的的数数学学方方法法，是是进进行行逻逻辑辑分分析析与与综综合合的的数数学学工工具具。因因为为它它是是英英国国数数学学家家乔乔治治布布尔尔(George Boole)于于1847年年提提出出的的，所所以以又称为布尔代数。又称为布尔代数。n逻逻辑辑变变量量：逻逻辑辑代代数数中中的的变变量量。逻逻辑辑变变量量的的取取值值范范围仅为围仅为“0”和和“1”，且无大小、正负之分。，且无大小、正负之分。2.1 概述概述Digital Electronics Technology1/9/20232.2 三种基本的逻辑运算三种基本的逻辑运算1.与逻辑（与逻辑（AND）当当决决定定某某一一事事件件的的全全部部条条件件都都具具备备时时，该该事事件件才才会会发发生，这样的因果关系称为与逻辑。生，这样的因果关系称为与逻辑。设定逻辑变量并状态赋值：设定逻辑变量并状态赋值：逻辑变量：逻辑变量：A和和B，对应两个开，对应两个开关的状态。关的状态。1闭合，闭合，0断开；断开；逻逻辑辑函函数数：Y，对对应应灯灯的的状状态态，1灯亮，灯亮，0灯灭。灯灭。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合灭闭合断开灭闭合闭合亮串联开关电路功能表串联开关电路功能表串联开关电路功能表串联开关电路功能表ABY000010100111与逻辑的真值表与逻辑的真值表与逻辑的真值表与逻辑的真值表 描述逻辑关系的图表称为真值表与逻辑表达式与逻辑表达式与逻辑表达式与逻辑表达式 Y=AB（逻辑乘）（逻辑乘）（逻辑乘）（逻辑乘）ABYDigital Electronics Technology1/9/20232.2 三种基本的逻辑运算三种基本的逻辑运算2.或逻辑（或逻辑（OR）当当决决定定某某一一事事件件的的所所有有条条件件中中，只只要要有有一一个个具具备备，该该事事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑。件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合亮亮闭合断开亮亮闭合闭合亮并联开关电路功能表并联开关电路功能表并联开关电路功能表并联开关电路功能表ABY000011101111或逻辑的真值表或逻辑的真值表或逻辑的真值表或逻辑的真值表 或逻辑表达式或逻辑表达式或逻辑表达式或逻辑表达式 Y=A+B（逻辑加）（逻辑加）（逻辑加）（逻辑加）或逻辑符号或逻辑符号或逻辑符号或逻辑符号ABYDigital Electronics Technology1/9/20232.2 三种基本的逻辑运算三种基本的逻辑运算3.非逻辑（非逻辑（NOT）当当某某一一条条件件具具备备了了，事事情情不不会会发发生生；而而此此条条件件不不具具备备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑或逻辑非。时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑或逻辑非。电路功能表电路功能表电路功能表电路功能表开关A灯Y断开亮闭合灭非逻辑的真值表非逻辑的真值表非逻辑的真值表非逻辑的真值表 AY0110非逻辑表达式非逻辑表达式非逻辑表达式非逻辑表达式 Y=A=A（逻辑加）（逻辑加）（逻辑加）（逻辑加）非逻辑符号非逻辑符号非逻辑符号非逻辑符号AYDigital Electronics Technology1/9/20232.2 三种基本的逻辑运算三种基本的逻辑运算4.复合逻辑复合逻辑与非与非真值表真值表XYFXYF001101011110&XYFXYF001101011000XYF或非或非真值表真值表XYF1Digital Electronics Technology1/9/20232.2 三种基本的逻辑运算三种基本的逻辑运算异或异或真值表真值表XYF001101010110XYF001101011001同或同或真值表真值表BAF=1BAFF=XY=XY+XYBAFBAF=与或非与或非Digital Electronics Technology1/9/20232.3 逻辑代数基本与常用公式逻辑代数基本与常用公式1.基本公式（基本公式（P24）序号公 式序号公 式规 律1A 0=010A+0=A01律2A 1=A11A+1=101律31=0;0=1（公理）12(A)=A还原律4A A=A13A+A=A重叠律5A A=014A+A=1互补律6A B=B A15A+B=B+A交换律7A（B C）=（A B）C16A+（B+C）=（A+B）+C结合律8A（B+C）=A B+A C17A+（BC）=（A+B)(A+C)分配律9(A B)=A+B 18(A+B)=AB反演律德摩根（De.Morgan）定理Digital Electronics Technology1/9/20232.常用公式（常用公式（P25）序号公 式规 律19A+A B=A吸收律20A+A B=A+B吸收律21A B+A B=A22A（A+B）=A23A B+A C+B C=A B+ACA B+A C+B C D=A B+AC吸收律24A（AB）=AB；A（AB）=A2.3 逻辑代数基本与常用公式逻辑代数基本与常用公式Digital Electronics Technology1/9/20231.代入定理代入定理 在在任任何何一一个个含含有有变变量量A的的逻逻辑辑等等式式中中，若若以以一一函函数数式式取取代该等式中所有代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。的位置，该等式仍然成立。2.反演定理反演定理 在在一一个个逻逻辑辑式式Y中中,若若将将其其中中所所有有的的“+”变变成成“”，“”变变成成“+”，“0”变变成成“1”，“1”变变成成“0”，原原变变量量变变成成反反变变量量，反反变变量量变变成成原原变变量量，所所得得函函数数式式即即为原函数式的反逻辑式，记作：为原函数式的反逻辑式，记作：Y。例：例：已知已知 Y=AB+(C+D)E，求，求Y。解：解：Y=(AB+(C+D)E)=(A+B)(CD+E)2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理Digital Electronics Technology1/9/20233.对偶定理对偶定理 对对偶偶式式：在在一一个个逻逻辑辑式式Y中中,若若将将其其中中所所有有的的“+”变变成成“”，“”变变成成“+”，“0”变变成成“1”，“1”变变成成“0”，所得函数式即为原函数式的对偶式，记作：，所得函数式即为原函数式的对偶式，记作：YD。若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。若两个函数式相等，那么它们的对偶式也相等。2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理x+xy=xx(x+y)=xxy+xz+yz=xy+x z(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y)(x+z)例：例：Digital Electronics Technology1/9/20231.逻辑函数逻辑函数 输出和输入（逻辑）变量之间的函数关系。输出和输入（逻辑）变量之间的函数关系。2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法Y=F（A，B，C，）2.逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图和卡诺图。逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图和卡诺图。（1）逻逻辑辑真真值值表表：是是由由输输出出变变量量取取值值与与对对应应的的输输入入变变量取值所构成的表格。列写方法是：量取值所构成的表格。列写方法是：a)找出输入、输出变量，并用相应的字母表示；找出输入、输出变量，并用相应的字母表示；b)列列出出所所有有输输入入变变量量可可能能的的取取值值，计计算算对对应应的的输输出出值值，并以表格形式列写出来。并以表格形式列写出来。Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 例例：三三人人表表决决电电路路，当当输输入入变变量量A、B、C中中有有两两个个或或两两个以上取值为个以上取值为1时，输出为时，输出为1；否则，输出为；否则，输出为0。三人表决电路的真值表三人表决电路的真值表 Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 （2）逻辑函数式）逻辑函数式 是是将将逻逻辑辑函函数数中中输输出出变变量量与与输输入入变变量量之之间间的的逻逻辑辑关关系系用用与与、或或、非非等等逻逻辑辑运运算算符符号号连连接接起起来来的的式式子子，又又称称函函数数式或逻辑式。式或逻辑式。例：例：三人表决电路：三人表决电路：（3）逻辑图）逻辑图 是是将将逻逻辑辑函函数数中中输输出出变变量量与与输输入入变变量量之之间间的的逻逻辑辑关关系系用用与与、或或、非非等等逻逻辑辑符号表示出来的图形。符号表示出来的图形。例：例：三人表决电路逻辑图三人表决电路逻辑图 Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 （4）波形图（）波形图（P31）（5）各种表示方法之间的转换）各种表示方法之间的转换 由真值表求逻辑表达式由真值表求逻辑表达式 1）把真值表中逻辑函数值为）把真值表中逻辑函数值为1的变量组合挑出来；的变量组合挑出来；2）若若输输入入变变量量为为1，则则写写成成原原变变量量，若若输输入入变变量量为为0，则写成反变量；则写成反变量；3）把每个组合中各个变量相乘，得到一个乘积项；）把每个组合中各个变量相乘，得到一个乘积项；4）将各乘积项相加，就得到相应的逻辑表达式。）将各乘积项相加，就得到相应的逻辑表达式。Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 由逻辑表达式列出真值表由逻辑表达式列出真值表 按按照照逻逻辑辑表表达达式式，对对逻逻辑辑变变量量的的各各种种取取值值进进行行计计算算，求求出出相相应应的的函函数数值值，再再把把变变量量取取值值和和函函数数值值一一一一对对应应列列成表格。成表格。Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 由逻辑函数式求逻辑电路由逻辑函数式求逻辑电路 1）画出所有的逻辑变量；）画出所有的逻辑变量；2）用用“非非门门”对对变变量量中中有有“非非”的变量取的变量取“非非”；3）用用“与与门门”对对有有关关变变量量的乘积项，实现逻辑乘；的乘积项，实现逻辑乘；4）用用“或或门门”对对有有关关的的乘乘积项，实现逻辑加；积项，实现逻辑加；Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 由逻辑图求逻辑表达式由逻辑图求逻辑表达式 由由输输入入到到输输出出逐逐级级推推导导，按按照照每每个个门门的的符符号号写写出出每每个个门的逻辑函数，直到最后得到整个逻辑电路的表达式。门的逻辑函数，直到最后得到整个逻辑电路的表达式。BABY=A B+ABA BA1&AB&11Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法3.逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 （1）最小项和的形式）最小项和的形式积之和（积之和（“与与或或”表达式）表达式）最最小小项项：设设 m 为为包包含含 n 个个因因子子的的乘乘积积项项，且且这这 n 个个因因子子以以原原变变量量形形式式或或者者反反变变量量形形式式在在m中中出出现现且且只只出出现现一一次次，称称 m 为为 n 变量的一个最小项。变量的一个最小项。n变量共有变量共有2n个最小项。个最小项。最最小小项项的的编编号号规规则则：把把最最小小项项 m 值值为为1 的的输输入入变变量量取取值值看看作作二二进进制制数数，其其对对应应的的十十进进制制数数即即为为该该最最小小项项的的编编号号，记作记作mi。Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法三变量的最小项编号表三变量的最小项编号表Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法最小项的性质：最小项的性质：a)对对应应任任意意一一组组输输入入变变量量取取值值，有有且且只只有有一一个个最最小小项项值为值为1；b)任意两个最小项之积为任意两个最小项之积为0；c)全体最小项之和为全体最小项之和为1；d)具具有有逻逻辑辑相相邻邻性性的的两两个个最最小小项项相相加加，可可合合并并为为一一项项，并消去一个不同因子。并消去一个不同因子。将函数式化成最小项和的形式的方法为：将函数式化成最小项和的形式的方法为：该该函函数数式式中中的的每每个个乘乘积积项项缺缺哪哪个个因因子子，就就乘乘以以该该因因子子加上其反变量，展开即可。加上其反变量，展开即可。Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法例：例：将函数式化成最小项和的形式。将函数式化成最小项和的形式。解：解：Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 （2）最大项积的形式）最大项积的形式和之积（和之积（“或或与与”表达式）表达式）最大项：最大项：设设M为包含为包含n个因子的和，且这个因子的和，且这n个因子以原变个因子以原变量形式或者反变量形式在量形式或者反变量形式在M中出现且只出现一次，称中出现且只出现一次，称M为为n变量的一个最大项。变量的一个最大项。n变量共有变量共有2n个最大项。个最大项。最最大大项项的的编编号号规规则则：把把最最大大项项 M 值值为为0 的的输输入入变变量量取取值值看看作作二二进进制制数数，其其对对应应的的十十进进制制数数即即为为该该最最大大项项的的编编号号，记作记作Mi。Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法三变量的最大项编号表三变量的最大项编号表Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法最大项的性质：最大项的性质：a)对对应应任任意意一一组组输输入入变变量量取取值值，有有且且只只有有一一个个最最大大项项值为值为0；b)任意两个最大项之和为任意两个最大项之和为1；c)全体最大项之积为全体最大项之积为0；d)具具有有逻逻辑辑相相邻邻性性的的两两个个最最大大项项相相乘乘，可可合合并并为为一一项项，并消去一个不同因子。并消去一个不同因子。将函数式化成最大项积的形式的方法为：将函数式化成最大项积的形式的方法为：首首先先化化成成最最小小项项和和的的形形式式，然然后后直直接接写写成成除除了了这这些些最最小项编号以外的最大项积的形式。小项编号以外的最大项积的形式。Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法例：例：将函数式化成最大项积的形式。将函数式化成最大项积的形式。解：解：Digital Electronics Technology1/9/20232.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法4.逻辑函数形式的变换逻辑函数形式的变换n 其他其他表达式表达式与非与非-与非式：与非式：CABAF=或或-与非式：与非式：)(CABAF+=或非或非-或式：或式：DCBAF+=或非或非-或非式：或非式：CABAF+=与或非式：与或非式：CDABF+=与非与非-与式：与式：CAABF=例：（例：（P38-39）Digital Electronics Technology1/9/20232.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法2.公式化简法公式化简法1.最简最简与或表达式与或表达式 表达式中的乘积项最少；表达式中的乘积项最少；乘积项中含的变量少。乘积项中含的变量少。并并项项：利利用用AB+AB=A将将两两项项并并为为一一项项，且且消消去去一一个变量个变量B。吸收：吸收：利用利用A+AB=A消去多余的项消去多余的项AB。消消项项：利利用用AB+AC+BC=AB+AC、AB+AC+BCD=AB+AC消去多余项消去多余项BC或或BCD。消元：消元：利用利用A+AB=A+B消去多余变量消去多余变量A。配项：配项：利用利用A+A=A或或A+A=1进行配项。进行配项。Digital Electronics Technology1/9/20232.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法并项：并项：利用利用AB+AB=A将两项并为一项，消去变量将两项并为一项，消去变量B。吸收：吸收：利用利用A+AB=A消去多余的项消去多余的项AB。Digital Electronics Technology1/9/20232.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法消消项项：利利用用AB+AC+BC=AB+AC、AB+AC+BCD=AB+AC消去多余项消去多余项BC或或BCD。消元：消元：利用利用A+AB=A+B消去多余变量消去多余变量A。Digital Electronics Technology1/9/20232.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法配项：配项：利用利用A+A=A或或A+A=1进行配项。进行配项。Digital Electronics Technology1/9/20232.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 逻辑函数的卡诺图化表示法逻辑函数的卡诺图化表示法3.卡诺图化简法卡诺图化简法 用用各各小小方方块块表表示示n变变量量的的全全部部最最小小项项，并并使使具具有有逻逻辑辑相相邻邻性性的的最最小小项项在在几几何何位位置置上上也也相相邻邻地地排排列列起起来来，所所得得图图形形称为称为n变量最小项的卡诺图。变量最小项的卡诺图。二变量卡诺图二变量卡诺图 三变量卡诺图三变量卡诺图 Digital Electronics Technology1/9/20232.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法五变量卡诺图四变量卡诺图 函数式转换成卡诺图：函数式转换成卡诺图：首先将该函数式化成最小项和的形首先将该函数式化成最小项和的形式式；然然后后将将该该函函数数式式中中包包含含的的最最小小项项在在卡卡诺诺图图相相应应位位置置处处填填1，其余位置处填，其余位置处填0。逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换Digital Electronics Technology1/9/20232.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法Digital Electronics Technology1/9/20232.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法卡诺图化简圈卡诺图化简圈“1”的原则：的原则：yz1111x00 01 11 100 11111yzx00 01 11 100 111 每次所圈最小项（卡诺图中的每次所圈最小项（卡诺图中的1）个数尽量多，但所圈）个数尽量多，但所圈1的的个数应为的的个数应为 2i 个；个；11111111yzwx 00 01 11 1000011110Digital Electronics Technology1/9/20232.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 每个圈至少包括一个没每个圈至少包括一个没有被圈过的有被圈过的1；11111111yzwx 00 01 11 1000011110 所有所有1至少被圈过一次。至少被圈过一次。1111yzx00 01 11 100 11111111111yzwx 00 01 11 1000011110Digital Electronics Technology1/9/20232.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法合并最小项规则：合并最小项规则：在在所所圈圈的的最最小小项项中中，变变量量取取值值全全是是0的的，在在表表达达式式中中以以反反变变量量的的形形式式出出现现；变变量量取取值值全全是是1的的，在在表表达达式式中中以以原原变变量量的的形形式式出出现现；变变量量取取值值既既有有0也也有有1的的，在在表表达达式式中中不不出现。出现。所所圈圈的的2i个个相相邻邻的的最最小小项项，可可以以消消去去i个个变变量量取取值值既既有有0也有也有1的变量。的变量。例：化简下列逻辑函数。例：化简下列逻辑函数。(1)F=x,y,z(1,2,5,7)1111yzx00 01 11 100 1Digital Electronics Technology1/9/20232.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法1111yzx00 01 11 100 11Digital Electronics Technology1/9/20232.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法无关项无关项：约束项和任意项统称为无关项。：约束项和任意项统称为无关项。约束约束：指具体的逻辑问题对输入变量取值所加的限制。：指具体的逻辑问题对输入变量取值所加的限制。约束项约束项：不允许出现的输入变量取值所对应的最小项。：不允许出现的输入变量取值所对应的最小项。约束条件约束条件：可以用全部约束项之和等于：可以用全部约束项之和等于0表示。表示。任任意意项项：是是指指在在某某些些输输入入变变量量取取值值下下，函函数数值值是是0还还是是1都都不不影影响响电电路路的的逻逻辑辑功功能能，这这些些输输入入变变量量取取值值所所对对应应的的最最小项称为任意项。小项称为任意项。具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简Digital Electronics Technology1/9/20232.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法例：例：试用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数：试用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数：Digital Electronics Technology1/9/20232.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法例：例：试用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数：试用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数：yzd1d 00 01 11 10dddd1111wx00011110Digital Electronics Technology1/9/2023作业作业P58-65 2.1（1）、（）、（3）、（）、（5）；）；2.2（1）、（）、（3）；）；2.3-2.7的（的（1）；）；2.8;的（的（1）、（）、（3）；）；的（的（1）、（）、（3）；）；