【教学课件】第3章曲线拟合的最小二乘法.ppt

数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS第3章 曲线拟合的最小二乘法 给出一组离散点，确定一个函数逼近原函数，插值是这样的一种手段。在实际中，数据不可避免的会有误差，插值函数会将这些误差也包括在内。因此，我们需要一种新的逼近原函数的手段：不要求过所有的点（可以消除误差影响）；尽可能表现数据的趋势，靠近这些点。数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS 有时候，问题本身不要求构造的函数过所有的点。如：5个风景点，要修一条公路S使得S为直线，且到所有风景点的距离和最小。先讲些预备知识 对如上2类问题，有一个共同的数学提法：找函数空间上的函数g，使得g到f的距离最小。数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS向量范数向量范数映射：满足：非负性齐次性三角不等式称该映射为向量的一种范数范数预备知识定义定义数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS常见的范数有：定理（范数等价性）：设为任意两种范数，则存在与x无关的正常数c1和c2，使得数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS常用范数的等价关系：我们定义两点的距离距离为：数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS定义：函数 f 的离散范数离散范数为提示：该种范数的定义与向量的 2 范数一致我们还可以定义函数的离散范数为：数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS特性：定义：函数f，g的关于离散点列的离散内积离散内积为：数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSf(x)为定义在区间a,b上的函数，为区间上n+1个互不相同的点，为给定的某一函数类。求 上的函数 g(x)满足 f(x)和 g(x)的距离最小如果这种距离取为2范数的话，称为最小二乘问题曲线拟合的最小二乘问题定义定义数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS下面我们来看看最小二乘问题：求 使得 最小设最小则即关于系数数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由于它关于系数最小，因此有：即数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS写成矩阵形式有：法方程法方程由的线性无关性，知道该方程存在唯一解数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS第一步：函数空间的基，然后列出法方程第一步：函数空间的基，然后列出法方程例：数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS第一步：函数空间的基，然后列出法方程数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS由，可以先做数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS求解一个矛盾方程组，计算的是在均方误差极小意义下的解也就是最小二乘问题。我们有：矛盾方程组恒有解，且矛盾方程组的求解数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS定义：矩阵范数矩阵范数矩阵范数，是由向量的范数定义的矩阵范数和条件数矩阵范数和条件数矩阵范数也是等价的数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS对应于3种常见的向量范数，有3种矩阵范数列和的最大值行和的最大值矩阵范数的一些性质：定义：谱半径谱半径数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS定理：若为的特征值，则证：x为A的特征值#证毕易知：数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS条件数和病态矩阵条件数和病态矩阵定义：条件数表示某种范数设，引入误差 后，解引入误差，则条件数表示了对误差的放大率数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS类似有可以证明数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS注：注：一般判断矩阵是否病态，并不计算一般判断矩阵是否病态，并不计算A 1，而由经验得，而由经验得出。出。行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级。特征值相差大数量级。精确解精确解为为例例计算计算cond(A)2。A 1=数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICS解：解：考察考察 A 的特征根的特征根39206 1 测试病态程度：测试病态程度：给一个扰动给一个扰动，其相对误差为，其相对误差为此时此时精确解精确解为为2.0102 200%为对称矩阵数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSHomework对数据点估计如下两组基函数的法方程的条件数数 学 系University of Science and Technology of ChinaDEPARTMENT OF MATHEMATICSHomework对互不相同的点，在次数不超过次多项式空间上的最小乘问题的解存在唯一。即，证明得到的法方程有唯一解。Homework若矩阵A对称，则