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第三章对偶问题第三章对偶问题2023/1/9本讲稿第一页，共三十八页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按种设备按A，B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的利润值及顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表每种设备的可利用机时数列于下表：产品数据表产品数据表设备设备产品产品ABCD产品利润产品利润（元件）（元件）甲甲21402乙乙22043设备可利用设备可利用机时数机时数（时）（时）1281612问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能获得最问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能获得最大利润？大利润？一、一、对偶问题的提出对偶问题的提出对偶问题的提出对偶问题的提出本讲稿第二页，共三十八页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型解：设甲、乙型产品各生产解：设甲、乙型产品各生产x1及及x2件，则数学模型为：件，则数学模型为：反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器用反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么种机器的机时如何定价才于接受外加工，只收加工费，那么种机器的机时如何定价才是最佳决策？是最佳决策？本讲稿第三页，共三十八页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。由此原则，便成了新规划的不等式约束条件。由此原则，便成了新规划的不等式约束条件。（2）竞争性原则。即在上述不吃亏构原则下，尽量降低机时总收费，）竞争性原则。即在上述不吃亏构原则下，尽量降低机时总收费，以便争取更多用户。以便争取更多用户。设设A、B、C、D设备的机时价分别为设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线性规划，则新的线性规划数学模型为：数学模型为：这这一一线线性性规规划划问问题题称称为为前前面面生生产产计计划划问问题题的的对对偶偶线线性性规规划划问问题题或或对对偶偶问问题题。生生产产计计划划的的线线性性规规划划问问题题称称为为原原始始线线性性规规划划问题或原问题。问题或原问题。本讲稿第四页，共三十八页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会发表示，将会发现一个有趣的现象。现一个有趣的现象。原问题与对偶问题对比表原问题与对偶问题对比表A（y1）B（y2）C（y3）D（y4）甲（甲（x1）21402乙（乙（x2）220431281612minmaxz本讲稿第五页，共三十八页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型原问题与对偶问题的对应关系原问题与对偶问题的对应关系原问题与对偶问题的对应关系原问题与对偶问题的对应关系原问题原问题（对偶问题）（对偶问题）对偶问题对偶问题（原问题）（原问题）以上是依据经济问题推导出对偶问题，还可以用代数方法推导以上是依据经济问题推导出对偶问题，还可以用代数方法推导出对偶问题。出对偶问题。本讲稿第六页，共三十八页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型二、对偶定义二、对偶定义二、对偶定义二、对偶定义(1)对称形式：对称形式：互为对偶互为对偶(LP)Maxz=CX(DP)Minw=Ybs.t.AXbs.t.YACX0Y0“Max-”“Min-”特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为号，变量非负号，变量非负;目标函数求极小值时，所有约束条件为目标函数求极小值时，所有约束条件为号，变量非负号，变量非负.对称形式的线性规划的对偶问题也是对称形式。对称形式的线性规划的对偶问题也是对称形式。式中式中Y为行向量为行向量Y=(y1,y2,ym)本讲稿第七页，共三十八页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型例例3.1写出线性规划问题的对偶问题写出线性规划问题的对偶问题解：首先将原问题变形为对称形式解：首先将原问题变形为对称形式本讲稿第八页，共三十八页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型本讲稿第九页，共三十八页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型(2)非对称型对偶问题非对称型对偶问题若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式再写对偶问题。若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式再写对偶问题。也可以根据对偶的基本定理，也可直接按教材表也可以根据对偶的基本定理，也可直接按教材表3-5中的对应关系直接写出中的对应关系直接写出非对称形式的对偶问题。非对称形式的对偶问题。对偶的基本定理：对偶的基本定理：若一个问题的某约束为等式，那么对应的对偶问题的若一个问题的某约束为等式，那么对应的对偶问题的相应变量无约束；反之，相应变量无约束；反之，若一个问题的某变量无约束，那么对应的对若一个问题的某变量无约束，那么对应的对偶问题的相应约束为等式。偶问题的相应约束为等式。本讲稿第十页，共三十八页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型原问题（或对偶问题）原问题（或对偶问题）对偶问题（或原问题）对偶问题（或原问题）约束条件右端项约束条件右端项目标函数变量的系数目标函数变量的系数目标函数变量的系数目标函数变量的系数约束条件右端项约束条件右端项目标函数目标函数max目标函数目标函数min约约束束条条件件m个个m个个变变量量00=无约束无约束变变量量n个个n个个约约束束条条件件00无约束无约束=本讲稿第十一页，共三十八页线性规划的对偶模型线性规划的对偶模型例例3.2写出下列线性规划问题的对偶问题写出下列线性规划问题的对偶问题.解：原问题的对偶问题为解：原问题的对偶问题为本讲稿第十二页，共三十八页对偶性质对偶性质性质性质1 1 对称性定理：对称性定理：对偶问题的对偶是原问题对偶问题的对偶是原问题minW=Ybs.t.YACY0maxZ=CXs.t.AXbX0设原问题是（记为设原问题是（记为LP）：）：对偶问题是（记为对偶问题是（记为DP）：）：这这里里A是是mn矩矩阵阵，X是是n1列列向向量量，Y是是1m行行向向量量。假假设设Xs与与Ys分分别别是（是（LP）与（）与（DP）的松驰变量。）的松驰变量。本讲稿第十三页，共三十八页对偶性质对偶性质性质性质2 2 弱对偶原理弱对偶原理(弱对偶性弱对偶性)：设设 和和 分别是问题分别是问题(P)(P)和和(D)(D)的可的可行解，则必有行解，则必有推论推论1:原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下届；反原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。推论推论2:在一对对偶问题（在一对对偶问题（P）和（）和（D）中，若其中一个问题可行但目）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题无可行解；标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立反之不成立。这也是对偶问题的这也是对偶问题的无界性。无界性。本讲稿第十四页，共三十八页对偶性质对偶性质推论推论3 3：在一对对偶问题（在一对对偶问题（P）和（）和（D）中，若一个可行（如）中，若一个可行（如P），而另一个不可行（如），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数），则该可行的问题目标函数值无界。值无界。性质性质3最优性定理最优性定理：如果如果是原问题的可行解，是原问题的可行解，是其对偶是其对偶问题的可行解，并且问题的可行解，并且:则则是原问题的最优解，是原问题的最优解，是其对偶问题的最优解。是其对偶问题的最优解。本讲稿第十五页，共三十八页对偶性质对偶性质性质性质4 4 强对偶性强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。还可推出另一结论：若（还可推出另一结论：若（LP）与（）与（DP）都有可行解，则两者都有最）都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。性质性质5互补松弛性互补松弛性：设设X0和和Y0分别是分别是P问题问题和和D问题问题的可行解，则它的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：们分别是最优解的充要条件是：其中：其中：Xs、Ys为松弛变量为松弛变量本讲稿第十六页，共三十八页对偶性质对偶性质性质性质5 5的应用：的应用：该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解的方法，即已知解的方法，即已知Y求求X或已知或已知X求求Y互补松弛条件互补松弛条件由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，因而有下由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，因而有下列关系：列关系：若若Y0，则，则Xs必为必为0；若；若X0，则，则Ys必为必为0利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，方程组利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，方程组的解即为最优解。的解即为最优解。本讲稿第十七页，共三十八页对偶性质对偶性质例例3.3已知线性规划已知线性规划的最优解是的最优解是X=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解求其对偶问题的最优解Y。解：写出原问题的对偶问题，即解：写出原问题的对偶问题，即标准化标准化本讲稿第十八页，共三十八页对偶性质对偶性质设对偶问题最优解为设对偶问题最优解为Y(y1，y2),由互补松弛性定理可知，由互补松弛性定理可知，X和和Y满足：满足：即：即：因为因为X10，X20，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即零，即y30，y40，带入方程中：，带入方程中：解此线性方程组得解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为：从而对偶问题的最优解为：Y=(1,1)，最优值，最优值w=26。本讲稿第十九页，共三十八页对偶性质对偶性质例例3.4已知线性规划已知线性规划的对偶问题的最优解为的对偶问题的最优解为Y=(0,-2)，求原问题的最优解。，求原问题的最优解。解解:对偶问题是对偶问题是标准化标准化本讲稿第二十页，共三十八页对偶性质对偶性质设对偶问题最优解为设对偶问题最优解为X(x1，x2，x3)T,由互补松弛性定理由互补松弛性定理可知，可知，X和和Y满足：满足：将将Y带入由方程可知，带入由方程可知，y3y50，y41。y2=-20 x50又又y4=10 x20将将x2，x5分别带入原问题约束方程中，得：分别带入原问题约束方程中，得：解方程组得：解方程组得：x1=-5,x3=-1,所以原问题的最优解为所以原问题的最优解为X=(-5,0,-1)，最优值，最优值z=-12本讲稿第二十一页，共三十八页对偶性质对偶性质例例3.5分别求解下列分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题个互为对偶关系的线性规划问题3分别用单纯形法求解上述分别用单纯形法求解上述2 2个规划问题，得到最终单纯形表如下个规划问题，得到最终单纯形表如下表：表：性质性质性质性质66解的对应关系：解的对应关系：解的对应关系：解的对应关系：原线性规划问题原线性规划问题(LP)单纯形表的检验数单纯形表的检验数行对应对偶问题行对应对偶问题(LD)的一个基解。的一个基解。本讲稿第二十二页，共三十八页对偶性质对偶性质XBb原问题的变量原问题的变量原问题的松弛变量原问题的松弛变量x1x2x3x4x5x315/20015/4-15/2x17/21001/4-1/2x23/2010-1/43/20001/41/2XBb对偶问题的变量对偶问题的变量对偶问题的剩余变量对偶问题的剩余变量y1y2y3y4y5y21/4-4/510-1/41/4y31/215/2011/2-3/215/2007/23/2原问原问题最题最优表优表对偶对偶问题问题最优最优表表本讲稿第二十三页，共三十八页对偶性质对偶性质原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系：原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系：原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系：原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系：在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对偶在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量。量。本讲稿第二十四页，共三十八页表23一个问题一个问题max另一个问题另一个问题min有最优解有最优解有最优解有最优解性质性质4无无最最优优解解无最优解无最优解无最优解无最优解性质性质4无界解无界解（有可行解）（有可行解）无可行解无可行解性质性质2无可行解无可行解无界解无界解（有可行解）（有可行解）应用应用已知最优解已知最优解通过解方程通过解方程求最优解求最优解性质性质5已知检验数已知检验数检验数乘以检验数乘以1求得基本解求得基本解性质性质6对偶性质对偶性质原问题与对偶问题解的对应关系小结原问题与对偶问题解的对应关系小结原问题与对偶问题解的对应关系小结原问题与对偶问题解的对应关系小结本讲稿第二十五页，共三十八页对偶问题的经济解释影子价格对偶问题的经济解释影子价格1.1.影子价格的数学分析：影子价格的数学分析：定义：在一对定义：在一对P和和D中，若中，若P的某个约束条件的右端项常数的某个约束条件的右端项常数bi（第（第i种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标函数最优值种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标函数最优值z*的改变量称为第的改变量称为第i种资源的影子价格，其值等于种资源的影子价格，其值等于D问题中对偶变量问题中对偶变量yi*。由对偶问题的基本性质可得：由对偶问题的基本性质可得：本讲稿第二十六页，共三十八页对偶问题的经济解释影子价格对偶问题的经济解释影子价格2.2.2.2.影子价格的经济意义影子价格的经济意义影子价格的经济意义影子价格的经济意义1）影子价格是一种边际价格，表明资源增加对总效益产生的影影子价格是一种边际价格，表明资源增加对总效益产生的影响。响。在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起的目标函数最优值的变化。即对偶变量的目标函数最优值的变化。即对偶变量yi就是第就是第i种资源的影子种资源的影子价格。即：价格。即：影子价格反映的是不同的局部或个体的增量可以获得不同影子价格反映的是不同的局部或个体的增量可以获得不同的整体经济效益。如果为了扩大生产能力，考虑增加设备，就的整体经济效益。如果为了扩大生产能力，考虑增加设备，就应该从影子价格高的设备入手。这样可以用较少的局部努力，应该从影子价格高的设备入手。这样可以用较少的局部努力，获得较大的整体效益。获得较大的整体效益。本讲稿第二十七页，共三十八页对偶问题的经济解释影子价格对偶问题的经济解释影子价格2 2）影子价格是一种机会成本）影子价格是一种机会成本影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价，影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价，这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说，这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说，它是一种机会成本。它是一种机会成本。在引例中，在引例中，企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的使企业可以根据现有资源的影子价格，对资源的使用有两种考虑：第一，是否将设备用于外加工或出租，若租费用有两种考虑：第一，是否将设备用于外加工或出租，若租费高于某设备的影子价格，可考虑出租该设备，否则不宜出租。高于某设备的影子价格，可考虑出租该设备，否则不宜出租。第二，是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低第二，是否将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若市价低于某设备的影子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。于某设备的影子价格，可考虑买进该设备，否则不宜买进。本讲稿第二十八页，共三十八页对偶问题的经济解释影子价格对偶问题的经济解释影子价格3 3）影子价格在资源利用中的应用）影子价格在资源利用中的应用根据对偶理论的互补松弛性定理根据对偶理论的互补松弛性定理:Y*Xs=0,YsX*=0表明生产过程中如果某种资源表明生产过程中如果某种资源bi未得到充分利用时，该未得到充分利用时，该种资源的影子价格为种资源的影子价格为0；若当资源的影子价格不为；若当资源的影子价格不为0时，表明时，表明该种资源在生产中已耗费完。该种资源在生产中已耗费完。本讲稿第二十九页，共三十八页对偶单纯形法对偶单纯形法对偶单纯形法基本思路：对偶单纯形法基本思路：对偶单纯形法基本思路：对偶单纯形法基本思路：对偶单纯形法的基本思想是：从原规划的一个对偶单纯形法的基本思想是：从原规划的一个基本解基本解基本解基本解出发，出发，此基本解不一定可行，但它对应着一个此基本解不一定可行，但它对应着一个对偶可行解对偶可行解对偶可行解对偶可行解（检验数非正）（检验数非正），所以也可以说是从一个对偶可行解出发；然后检验原规划的基，所以也可以说是从一个对偶可行解出发；然后检验原规划的基本解是否可行，即是否有负的分量，如果有小于零的分量，则进本解是否可行，即是否有负的分量，如果有小于零的分量，则进行迭代，求另一个基本解，此基本解对应着另一个对偶可行解行迭代，求另一个基本解，此基本解对应着另一个对偶可行解（检验数非正）。（检验数非正）。如果得到的基本解的分量皆非负则该基本解为最优解。也就是说，如果得到的基本解的分量皆非负则该基本解为最优解。也就是说，对偶单纯形法在迭代过程中始终保持对偶解的可行性（即检验数非正），对偶单纯形法在迭代过程中始终保持对偶解的可行性（即检验数非正），使原规划的基本解由不可行逐步变为可行，当同时得到对偶规划与原规使原规划的基本解由不可行逐步变为可行，当同时得到对偶规划与原规划的可行解时，便得到原规划的最优解。划的可行解时，便得到原规划的最优解。本讲稿第三十页，共三十八页对偶单纯形法对偶单纯形法找出一个找出一个DP的可行基的可行基LP是否可行是否可行（XB0）保持保持DP为可行解情况下转移到为可行解情况下转移到LP的另一个基本解的另一个基本解最优解最优解是是否否循循环环结束结束本讲稿第三十一页，共三十八页 例例3.5 3.5 用对偶单纯形法求解用对偶单纯形法求解 min minw w=2x2x1 1+3x3x2 2+4x4x3 3 x x1 1+2x2x2 2+x x3 31 1 2x 2x1 1-x x2 2+3x3x3 34 4 x x1 1,x,x2 2,x,x3 30 0解：解：maxmaxz z=-2x-2x1 1-3x3x2 2-4x4x3 3+0 x0 x4 4+0 x0 x5 5 -x -x1 1-2x2x2 2-x x3 3+x x4 4 =-1-1 -2x -2x1 1+x x2 2-3x3x3 3 +x x5 5=-4-4 x x1 1,x,x2 2,x,x3 3,x,x4 4,x,x5 50 0对偶单纯形法对偶单纯形法本讲稿第三十二页，共三十八页-2-2-3-3-4-40 00 0C CB BX XB Bb bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4X X5 50 0 x x4 4-1-10 0 x x5 5-4-4出出出x4,x50 最优最优解：最优解：x1*=2，x2*=0，x3*=0，x4*=1，x5*=0目标值：目标值：w*=-z*=4对偶单纯形法对偶单纯形法cj本讲稿第三十三页，共三十八页对偶单纯形法对偶单纯形法 对偶单纯形法应注意的问题：对偶单纯形法应注意的问题：对偶单纯形法应注意的问题：对偶单纯形法应注意的问题：用用对对偶偶单单纯纯形形法法求求解解线线性性规规划划是是一一种种求求解解方方法法，而而不不是是去去求求对对偶偶问问题的最优解题的最优解 初初始始表表中中一一定定要要满满足足对对偶偶问问题题可可行行，也也就就是是说说检检验验数数满满足足最最优优判判别别准则准则 最小比值中最小比值中 的绝对值是使得比值非负，在极小化问题的绝对值是使得比值非负，在极小化问题 j j00，分母，分母a aij ij0 0 这时必须取绝对值。在极大化问题中，这时必须取绝对值。在极大化问题中，j j00，分母，分母a aij ij00，总满足总满足非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如在本例中将目标函数写成非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如在本例中将目标函数写成这里这里 j j 0 0在求在求 k k时就可以不带绝对值符号。时就可以不带绝对值符号。本讲稿第三十四页，共三十八页对偶单纯形法对偶单纯形法 对对偶偶单单纯纯形形法法与与普普通通单单纯纯形形法法的的换换基基顺顺序序不不一一样样，普普通通单单纯纯形形法法是是先先确确定定进进基基变变量量后后确确定定出出基基变变量量，对对偶偶单单纯纯形形法法是是先先确确定定出出基基变变量量后后确定进基变量；确定进基变量；普通单纯形法的最小比值是普通单纯形法的最小比值是 其目的是保证下一个原问其目的是保证下一个原问题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比值是题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比值是其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行 对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循 规规则则，任任选选一一个个小小于于零零的的b bi i对对应应的的基基变变量量出出基基，不不影影响响计计算算结结果果，只只是是迭迭代次数可能不一样。代次数可能不一样。本讲稿第三十五页，共三十八页是是是是是是是是否否否否否否否否所有所有所有所有得到得到最优解最优解计算计算计算计算典典式式对对应应原原规规划划的的基本解是可行的基本解是可行的典典式式对对应应对对偶偶规规划划的基本解是可行的的基本解是可行的所有所有所有所有计算计算计算计算以以为主元素进行迭代为主元素进行迭代以以为主元素进行迭代为主元素进行迭代停停没没有有最最优优解解没没有有最最优优解解单纯形法单纯形法对偶单纯形法对偶单纯形法本讲稿第三十六页，共三十八页例例3.6用对偶单纯形法求解用对偶单纯形法求解【解】取【解】取x3、x4为初始基变量，用对偶单纯形法迭代如下表所示。为初始基变量，用对偶单纯形法迭代如下表所示。对偶单纯形法对偶单纯形法本讲稿第三十七页，共三十八页-2-2x x4 40 0-2-2x x3 30 0 x x4 4x x3 3x x2 2x x1 1b bX XB BC CB B0 00 0-3-3-7-7出出出x3,x40 非最优1 12 20 03 3-6-6x x4 40 00 0-1-11 1-2-22 2x x2 2-3-31 10 02 22 20 00 01 1-1-1-1-10 0 x x4 4x x3 3x x2 2x x1 1b bX XB BC CB B0 0-3-33 30 00 0-3-3-7-7jj0 00 0 x x4 4x x3 3x x2 2x x1 1b bX XB BC CB B0 0-3-30 0-3-30 0-13-13jj对偶单纯形法对偶单纯形法cj第第二二张张表表中中x4=-60且且第第二二行行的的系系数数全全部部大大于于等等于于零零，说说明明原原问问题题无无可行解。可行解。本讲稿第三十八页，共三十八页