【教学课件】第六章刚体力学.ppt

第六章第六章 刚体力学刚体力学 6.1 6.1 概述概述 了解刚体运动的基本情况，包括自由度、运了解刚体运动的基本情况，包括自由度、运动形式等。介绍处理刚体问题的基本思想。动形式等。介绍处理刚体问题的基本思想。6.2 6.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 掌握刚体定轴转动的运动规律，掌握刚体定轴转动的运动规律，掌握刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒。理解刚体掌握刚体定轴转动的角动量定理及角动量守恒。理解刚体对某定轴的转动惯量的概念和计算方法。掌握刚体定轴转对某定轴的转动惯量的概念和计算方法。掌握刚体定轴转动的动能定理。动的动能定理。6.3 6.3 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动 理解平面平行运动是平动与理解平面平行运动是平动与转动的合成，掌握平面平行运动的基本的动力学方程，熟转动的合成，掌握平面平行运动的基本的动力学方程，熟练掌握刚体的二维平动与圆柱体的无滑滚动。练掌握刚体的二维平动与圆柱体的无滑滚动。6.4 6.4 6.4 6.4 刚体的定点运动简析刚体的定点运动简析刚体的定点运动简析刚体的定点运动简析 定性分析刚体定点运动的状定性分析刚体定点运动的状定性分析刚体定点运动的状定性分析刚体定点运动的状况，理解回转效应和章动等运动表现。况，理解回转效应和章动等运动表现。况，理解回转效应和章动等运动表现。况，理解回转效应和章动等运动表现。一一.刚体的自由度刚体的自由度 质点质点 实际物体（无穷多质元的质点系）实际物体（无穷多质元的质点系）很多物体在运动过程中，大小、形状变化很微小，将很多物体在运动过程中，大小、形状变化很微小，将其绝对化地抽象为其绝对化地抽象为刚体刚体，各质元间距离保持不变各质元间距离保持不变。自由度自由度 为确定一个系统的几何位形所需独立变量的为确定一个系统的几何位形所需独立变量的个数。一个自由质点个数。一个自由质点3个自由度，个自由度，N个自由质点系个自由质点系3N个。个。（内）约束降低自由度。刚性双原子分子（内）约束降低自由度。刚性双原子分子5个自由度。个自由度。刚体虽有无穷多质点，但约束的存在，使自由度大大降刚体虽有无穷多质点，但约束的存在，使自由度大大降低，最多低，最多6个个。常用常用3个移动个移动3个转动自由度。个转动自由度。采用采用3移移3转自由度，刚体动力学问题的基本方程是运转自由度，刚体动力学问题的基本方程是运动定理。动定理。二二.刚体的运动类型刚体的运动类型 由于外约束的存在，自由度更减少，复杂程度也不同。由于外约束的存在，自由度更减少，复杂程度也不同。常见以下几类：常见以下几类：平动平动 刚体中任一直线在运动中保持平行。各点运动情刚体中任一直线在运动中保持平行。各点运动情况相同。最多况相同。最多3个自由度。个自由度。定轴转动定轴转动 刚体中各点绕一根固定直线转动。与转轴平刚体中各点绕一根固定直线转动。与转轴平行的直线上各点运动状况相同。只有行的直线上各点运动状况相同。只有1个自由度。个自由度。平面平行运动平面平行运动 刚体中各点运动都与某固定平面相平行。刚体中各点运动都与某固定平面相平行。该平面垂线上各点运动相同。最多该平面垂线上各点运动相同。最多3个自由度。个自由度。定点转动定点转动 始终绕一个固定点转动。最多始终绕一个固定点转动。最多3个自由度。个自由度。夺命夺命“内轮差内轮差”！刚体的一般运动，可以看作刚体上（或其延拓）某一刚体的一般运动，可以看作刚体上（或其延拓）某一基点的平动和绕此基点的定点转动。共基点的平动和绕此基点的定点转动。共6个自由度。个自由度。其中基点平动与基点的选择有关，其中基点平动与基点的选择有关，而绕基点的而绕基点的转动则与基点无关转动则与基点无关。力是滑移矢量力是滑移矢量：施于刚体某点的作：施于刚体某点的作用力，决不可以随便移到另一点去。用力，决不可以随便移到另一点去。但是，该力可以沿着其作用线滑移，但是，该力可以沿着其作用线滑移，其所起的力学作用完全不因此而改变。其所起的力学作用完全不因此而改变。重力、平动惯性力等效于作用于刚体的质心。重力、平动惯性力等效于作用于刚体的质心。对于刚体，内力所作功的和为零。对于刚体，内力所作功的和为零。6.2 6.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动一一.定轴转动运动学定轴转动运动学 在刚体上取一垂直于轴的截面，交点在刚体上取一垂直于轴的截面，交点O为为原点，取定原点，取定x轴。角坐标轴。角坐标 。一维问题。一维问题。定轴运动方程定轴运动方程 。角位移。角位移 。角速度角速度角加速度角加速度 由运动方程，微分可得角速度和角加速度；反之，在初由运动方程，微分可得角速度和角加速度；反之，在初始条件下，积分可得到运动方程。始条件下，积分可得到运动方程。x zOP 刚体内某点的运动情况。该点与转轴的距离是刚体内某点的运动情况。该点与转轴的距离是 ，则，则 若在转轴上取一原点若在转轴上取一原点O，质元位矢，质元位矢 利用角速度矢量利用角速度矢量 ，各点速度表示为，各点速度表示为 所以所以切向切向法向法向x OzOP二二.定轴转动的动力学方程定轴转动的动力学方程 定轴转动一个自由度需一个方程。角动量定理定轴转动一个自由度需一个方程。角动量定理（其中（其中M、J均对定轴）均对定轴）目前特点是各质元间距及对定轴的距离不变。且各点目前特点是各质元间距及对定轴的距离不变。且各点有相同的角速度。角动量可写为有相同的角速度。角动量可写为 (ri到轴距离到轴距离)其中其中I是刚体对定轴的转动惯量。由质量及其是刚体对定轴的转动惯量。由质量及其分布分布决定，决定，对定轴是不变的。这样角动量定理写为对定轴是不变的。这样角动量定理写为这是定轴转动的基本方程这是定轴转动的基本方程。，其中，其中 可以视为质元可以视为质元mi对转轴的转对转轴的转动惯量。动惯量。ri是到轴距离！是到轴距离！三三.转动惯量的计算转动惯量的计算 对于质量连续分布的刚体，已知质量密度分布和形状，对于质量连续分布的刚体，已知质量密度分布和形状，利用积分可以求得对定轴的转动惯量利用积分可以求得对定轴的转动惯量 平行轴定理平行轴定理：刚体对某轴的转动惯量等于质心对该轴：刚体对某轴的转动惯量等于质心对该轴的转动惯量加上刚体对过质心平行轴的转动惯量。的转动惯量加上刚体对过质心平行轴的转动惯量。OCmi 垂直轴定理垂直轴定理：一个：一个平面分布平面分布的质点的质点系对垂直平面系对垂直平面z轴的转动惯量，等于面轴的转动惯量，等于面内与内与z轴相交的两垂直轴的转动惯量之轴相交的两垂直轴的转动惯量之和。和。四四.角动量守恒角动量守恒 刚体对转动轴的角动量变化是刚体对转动轴的角动量变化是 若对转动轴的力矩为零，则系统对转轴的角动量守恒若对转动轴的力矩为零，则系统对转轴的角动量守恒zxy五五.转动动能转动动能 注意只是对转轴守恒，其它两个方向不一定守恒。注意只是对转轴守恒，其它两个方向不一定守恒。右图所示右图所示x、y轴受力矩作用。轴承提供约束反力。动平衡。轴受力矩作用。轴承提供约束反力。动平衡。定轴转动动能定轴转动动能mmxyzO 系统动能变化系统动能变化其中对于刚体内力作功和为零其中对于刚体内力作功和为零外力作功外力作功所以所以 若仅保守力作功，仍有机械能守恒，若仅保守力作功，仍有机械能守恒，Ek+Ep=const.。在定轴转动的基本方程（角动量定理）中，没有涉及在定轴转动的基本方程（角动量定理）中，没有涉及轴上约束力的问题，因为轴上的力对定轴的力矩为零。轴上约束力的问题，因为轴上的力对定轴的力矩为零。若要得到约束力，必须利用全套方程式，即若要得到约束力，必须利用全套方程式，即动量定理动量定理（质心运动定理）。（质心运动定理）。zmi例：刚体可绕例：刚体可绕O点的轴转动，水平力点的轴转动，水平力F击打击打P点，点，OP=l。为保持。为保持O点稳定，该对点稳定，该对O点施点施加多大的力？加多大的力？解：对于解：对于O点的转动方程点的转动方程为直观计，设为直观计，设 。k是刚体对于是刚体对于O轴的轴的回转半径。上式写为回转半径。上式写为若若O点静止，则质心点静止，则质心C的加速度是的加速度是 ，质心运动方程，质心运动方程（rC是质心至支点的距离）是质心至支点的距离）解得解得当作用距离当作用距离 时，时，f=0。该点称为打击中心。该点称为打击中心。FfOCP6.3 6.3 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动一一.运动学运动学 刚体内各点的运动轨迹平行于一固定平面，取平行于平刚体内各点的运动轨迹平行于一固定平面，取平行于平面的剖面为代表。两个平动自由度和一个转动自由度，转面的剖面为代表。两个平动自由度和一个转动自由度，转轴始终垂直于平面。轴始终垂直于平面。刚体内各点的运动情况。首先选刚体内各点的运动情况。首先选择一基点择一基点A，其速度，其速度 （与基点有关）（与基点有关），同时刚体绕过，同时刚体绕过A点垂直剖面轴以点垂直剖面轴以与基点无关的与基点无关的 旋转。则剖面上任旋转。则剖面上任意意P点的速度为点的速度为该点的加速度该点的加速度OxyAP 瞬时转动中心瞬时转动中心：任一时刻，刚体：任一时刻，刚体(内内)存在一点存在一点O，其速度，其速度 。整个刚体绕过。整个刚体绕过O点垂直于剖面的轴作纯转动。点垂直于剖面的轴作纯转动。过基点过基点A引垂直于引垂直于 的直线，必有的直线，必有O点，点，且方向相反。，且方向相反。O点即时点即时速度为零。速度为零。这时这时O点是瞬时转动中心。过点是瞬时转动中心。过O点点垂直于运动平面的直线上各点速度同垂直于运动平面的直线上各点速度同为零，为瞬时转动轴。为零，为瞬时转动轴。刚体上任意两点速度的垂线交点是瞬刚体上任意两点速度的垂线交点是瞬心。心。纯滚动的轮子，其瞬时中心是接地点。每个时刻车轮纯滚动的轮子，其瞬时中心是接地点。每个时刻车轮绕接地点转动，这时轮心速度绕接地点转动，这时轮心速度 。OyAO二、动力学方程二、动力学方程 问题涉及平动自由度，需动量定理。对一般的基点问题涉及平动自由度，需动量定理。对一般的基点A牵牵涉到刚体内力。而对于质心，合外力涉到刚体内力。而对于质心，合外力 对于转动，取垂直平面的任一直线对于转动，取垂直平面的任一直线z为转轴，有为转轴，有 若该点（轴）有加速度，须计入惯性力矩。一般可以若该点（轴）有加速度，须计入惯性力矩。一般可以取惯性系或取惯性系或质心系（轴）质心系（轴）。（后者对刚体上的轴）（后者对刚体上的轴）对瞬轴的角动量定理也可选择，对瞬轴的角动量定理也可选择，需注意需注意 ，计入惯性力矩。但在，计入惯性力矩。但在纯滚动纯滚动下，往往惯性力通过下，往往惯性力通过O点，点，其力矩为零。其力矩为零。OFfC 三三.动能定理动能定理 刚体的总动能，由柯尼希定理刚体的总动能，由柯尼希定理 相对于质心平动，由质心运动方程相对于质心平动，由质心运动方程 相对转动能的改变，由前述定轴转动相对转动能的改变，由前述定轴转动 总动能定理总动能定理 仅保守力作功下，机械能守恒仅保守力作功下，机械能守恒四四.滚动中的摩擦力滚动中的摩擦力 当刚体既滚且滑时，只要考虑接触处的滑动摩擦，问当刚体既滚且滑时，只要考虑接触处的滑动摩擦，问题比较简单。题比较简单。纯滚动纯滚动下，接触点可能存在静摩擦，需对滑动趋势作下，接触点可能存在静摩擦，需对滑动趋势作具体分析。具体分析。一般当刚体在质心运动方向受净力作用时，有静摩擦一般当刚体在质心运动方向受净力作用时，有静摩擦力存在。力存在。沿斜面向上（下）纯滚的车轮。由沿斜面向上（下）纯滚的车轮。由于重力分力，于重力分力，vC将减小（增大），若将减小（增大），若R 不变，接触点将下滑，为此静摩擦不变，接触点将下滑，为此静摩擦力力f向上，使向上，使 也减小（增大）。也减小（增大）。当车轮在平面作当车轮在平面作自由自由纯滚时，没有滑动趋势，不受静纯滚时，没有滑动趋势，不受静摩擦力作用。摩擦力作用。静摩擦力作功为零。但要注意参考系。静摩擦力作功为零。但要注意参考系。Nmgf6.4 6.4 刚体的定点运动简析刚体的定点运动简析 定点运动指运动过程中刚体某点始终保持定点运动指运动过程中刚体某点始终保持“静止静止”。有三个转动自由度。有三个转动自由度。陀螺仪是常见例子，一般指绕陀螺仪是常见例子，一般指绕轴对称轴以大角动量转动。轴对称轴以大角动量转动。常平架由内外两个圆环构成，常平架由内外两个圆环构成，可分别绕轴自由转动。陀螺仪的可分别绕轴自由转动。陀螺仪的轴装在内环上。三轴两两垂直，轴装在内环上。三轴两两垂直，并通过陀螺仪重心。这样陀螺仪并通过陀螺仪重心。这样陀螺仪不受重力的力矩作用，且能在空不受重力的力矩作用，且能在空间任意取向。间任意取向。陀螺仪不受外力矩时角动量守恒，因而转动轴线方向陀螺仪不受外力矩时角动量守恒，因而转动轴线方向不变。用于方向导航的基本原理。不变。用于方向导航的基本原理。一一.不受外力矩的定点运动不受外力矩的定点运动 将陀螺支于地面一定点。陀将陀螺支于地面一定点。陀螺高速旋转时，重力作用下在螺高速旋转时，重力作用下在水平面内绕竖直轴旋转。水平面内绕竖直轴旋转。陀螺自转轴的这种转动，称陀螺自转轴的这种转动，称为进动。在外力矩作用下产生为进动。在外力矩作用下产生进动的效应，称回转效应。进动的效应，称回转效应。重力矩重力矩 引起角动量引起角动量 沿沿 方向的变化。在方向的变化。在 时时间内有间内有由角动量定理由角动量定理计及方向计及方向二二.外力矩作用陀螺的进动（回转效应）外力矩作用陀螺的进动（回转效应）配重配重W外移，确引起陀螺仪上翘。外移，确引起陀螺仪上翘。在绕在绕y转动的参考系中，惯离力的转动的参考系中，惯离力的力矩为零。考虑科力，有一个合力矩为零。考虑科力，有一个合力矩沿力矩沿-x。所以绕该方向（顺时。所以绕该方向（顺时针）进动。针）进动。倾侧倾侧 回转力矩回转力矩1 进动进动 进动发生后，取随进动的转动进动发生后，取随进动的转动参考系。科力矩沿参考系。科力矩沿-y轴，可以和轴，可以和重力矩平衡。抵消倾倒。重力矩平衡。抵消倾倒。进动进动 回转力矩回转力矩2 阻止倾倒阻止倾倒 回转仪的回转速度应足够快，否则无法阻止倾倒发生。回转仪的回转速度应足够快，否则无法阻止倾倒发生。xyOWABCDxyOWABCD三三.章动章动 回转仪在外力矩作用下发生进动，这是一种稳定情况。回转仪在外力矩作用下发生进动，这是一种稳定情况。实际上在外力矩刚施加上去的时候，回转轴除了水平面实际上在外力矩刚施加上去的时候，回转轴除了水平面进动外，同时上下交替下倾和上升，称为章动。进动外，同时上下交替下倾和上升，称为章动。扰动刚施加时，回转轴上升，而进动角速度不够大，扰动刚施加时，回转轴上升，而进动角速度不够大，回转力矩回转力矩2小于重力矩，继续上升；随着进动角速度增加，小于重力矩，继续上升；随着进动角速度增加，回转力矩回转力矩2超过重力矩，回转轴上升减慢并开始下降。同超过重力矩，回转轴上升减慢并开始下降。同时进动角速度减小，回转力矩时进动角速度减小，回转力矩2减小，回转轴下降加速度减小，回转轴下降加速度减小；至与重力矩相消，由于惯性，继续下降，但重力减小；至与重力矩相消，由于惯性，继续下降，但重力矩反超，下降速率变慢，至最低点又开始上升。矩反超，下降速率变慢，至最低点又开始上升。在有摩擦的情况下，章动首先被衰减，剩余进动。在有摩擦的情况下，章动首先被衰减，剩余进动。