初高中数学衔接教材(已整理)课件.pptx

学 海 无 涯 目录第一章第一章数数与式与式1.1.数与式的运算数与式的运算1.绝对值2.乘法公式3.二次根式4.分式1.2分解因式分解因式第二章第二章二二次次方方程与二程与二次次不等式不等式1.1.一元二次方程一元二次方程1.根的判别式2.根与系数的关系2.2.二次函数二次函数1.二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质2.二次函数的三种表达方式3.二次函数的应用3.3.方程与不等式方程与不等式1.二元二次方程组的解法 第三章第三章相相似似形形、三角、三角形形、圆圆1.1.相似形相似形1.平行线分线段成比例定理2.相似三角形形的性质与判定2.2.三角形三角形1.三角形的五心2.解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3.圆圆1.直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理2.点的轨迹3.四点共圆的性质与判定4.直线和圆的方程（选学）11.1 数与数与式式的运算的运算1.1绝绝对值对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反 数，零的绝对值仍是零即a 0,a,|a|0,a 0,a,a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离学 海 无 涯 两个数的差的绝对值的几何意义：a b 表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离例 1 解不等式：x 1 x 3 4解法一：由x 1 0，得x 1；由x 3 0，得x 3；若x 1，不等式可变为(x 1)(x 3)4，即2x 4 4，解得 x0，又 x1，x0；若1 x 2，不等式可变为(x 1)(x 3)4，即 14，不存在满足条件的 x；若x 3，不等式可变为(x 1)(x 3)4，即2x 4 4，解得 x4又 x3，x4综上所述，原不等式的解为x0，或 x4解法二：如图 111，x 1 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A之间的距离|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|，即|PB|x3|所以，不等式 x 1 x 3 4 的几何意义即为|PA|PB|4 由|AB|2，可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点D(坐标为 4)的右侧x0，或 x4练习1.填空：（1）若 x 5，则 x=；若 x 4，则 x=.（2）如果 a b 5，且a 1，则 b；若1 c 2，则 c.2.选择题：（下列叙述正确的是）（B）若 a b，则a b（D）若 a b，则a b（A）若 a b，则a b（C）若a b，则 a b3化简：|x5|2x13|（x5）1.1.2.乘法乘法公公式式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：xCABD34x01P|x1|x3|2图 1111平方差公式2完全平方公式学 海 无 涯(a b)(a b)a2 b2；(a b)2 a2 2ab b2 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：1立方和公式2立方差公式3三数和平方公式4两数和立方公式5两数差立方公式(a b)(a2 ab b2)a3 b3；(a b)(a2 ab b2)a3 b3；(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac)；(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3；(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例例 1计算：(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1)解法解法一一：原式=(x2 1)(x2 1)2 x2=(x2 1)(x4 x2 1)=x6 1解法二：原式=(x 1)(x2 x 1)(x 1)(x2 x 1)=(x3 1)(x3 1)=x6 1例 2已知a b c 4，ab bc ac 4，求a2 b2 c2 的值解：a2 b2 c2 (a b c)2 2(ab bc ac)8 练习1填空：（1）2211194a b (b 1 a)（）；（2）(4m 23)2 16m2 4m ()；)(3)(a 2b c)2 a2 4b2 c2 (2选择题：2（1）若x2 1 mx k是 一 个 完 全 平 方 式，则k等 于（B）1 m23（C）1 m216（D）1 m2（A）总是正数（C）可以是零）（A）m24（2）不论a，b为何实数，a2 b2 2a 4b 8的值）（B）总是负数（D）可以是正数也可以是负数1.1.3二次根式二次根式一般地，形如 a(a 0)的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如 3a a2 b 2b，a2 b2 等是无理式，而2x2 2 x 1，x2 2xy y2，a2 等是有理式23学 海 无 涯 1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分分母母（子子）有理有理化化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果 它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 2 与2，3 a 与 a，3 6 与 3 6，2 3 3 2 与2 3 3 2，等等 一般地，a x与 x，a x b y 与a x b y，a x b 与a x b 互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的 根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分 子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 a b ab(a 0,b 0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加 减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式 a2 的意义a 0,a2 a a,a,a 0.例1将下列式子化为最简二次根式：（3）4x6 y(x 0)（2）a2b(a 0)；3b；b a b(a 0)；（1）12b；解：（1）12b 2（2）a2b a（3）4x6 y 2 x3y 2x3y(x 0)例例 2 计算：3 (3 3)解法一：3 (3 3)33 3 3 (3 3)(3 3)(3 3)3 3 3 9 3 3(3 1)263 1 解法二解法二：3 (3 3)33 333(3 1)13 13 1(3 1)(3 1)3 1 2例 3试比较下列各组数的大小：（1）12 11 和 11 10；（2）26 4和2 2 6.4学 海 无 涯 解：（1）12 11，11 10 12 11 (12 11)(12 11)1112 1112 1111 10 (11 10)(11 10)1111 1011 10，又 12 11 11 10，,2 6 (2 2 6)(2 2+6)2 12 11 11 10（2）2 2 6 212 2+62 2+6又 42 2，64 62 2，26 4 2 2 6.例 4化简：(3 2)2004 (3 2)2005 解：(3 (3 2)2004 (2)2004 (3 3 2)20052)2004 (3 2)(3 2)(3 2)2004 (3 2)12004 (3 2)3 2 例 5化简：（1）9 4 5；x2（2）x2 1 2(0 x 1)解：（1）原式5 4 5 4(5)2 2 2 5 22 (2 5)2 2 5 5 2（2）原式=(x 1)2 x 1，xx 0 x 1，1 1 x，所以，原式 1 x 3 3 x2,y 3 2x2，求3x2 5xy 3y2 的值 例 6已知 x 解：x y 3 23 2 3 3 23 22 (3 2)2 (3 2)2 10，xy 3 2 3 3 23 22 1，3x2 5xy 3y2 3(x y)2 11xy 3102 11 289 练习1填空：（1）1 1 33；_；（2）若(5 x)(x 3)2 (x 3)5 x，则 x 的取值范围是_ _（3）4 24 6 54 3 96 2 150 _；2（4）若x 5，则x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 x 12选择题：5式xxx 2x 2成学 海 无 涯 立的条件是等（）（A）x 2 （B）x 0 （C）x 2 （D）0 x 2a2 1 3若b a 11 a2，求a b 的值4比较大小：2 3 5 4（填“”，或“”）1.1.分式1分式的意义B形如 A 的式子，若 B 中含有字母，且B 0，则称 A 为分分式式当 M0 时，分B式 A 具有下列性质：BA A M；A A M BB MBB M上述性质被称为分式的基本性质2繁分式ac d2m n p像 b，m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式繁分式B例 1 若 5x 4 A x(x 2)xx 2，求常数 A,B 的值解：A xx 2x(x 2)x(x 2)x(x 2)B A(x 2)Bx (A B)x 2A 5x 4，A B 5,2 A 4,解得A 2,B 3例 2（1）试证：11 1 n(n 1)nn 1（其中 n 是正整数）；111（2）计算：1 223910；（3）证明：对任意大于 1 的正整数 n，有1112 33 4n(n 1)2 1（1）证明：1 1(n 1)n 1nn 1n(n 1)n(n 1)，11 1 n(n 1)nn 1（其中 n 是正整数）成立（2）解：由（1）可知1111 223910223(1 1)(1 1)9101010(1 1)1 1 9（3）证明：1112 33 4n(n 1)(1 1)(1 1)2334116nn 12n 1(1)1，学 海 无 涯 n1又 n2，且 n 是正整数，1一定为正数，1 1 2 33 4n(n 1)211 例 3 设e c，且 e1，2c25ac2a20，求 e 的值a解：在 2c25ac2a20 两边同除以 a2，得2e25e20，(2e1)(e2)0，e1 1，舍去；或 e22e21n(n 2)1(1 nn 2)；练习1.填空题：对任意的正整数 n，2.选择题：2x y 2x y3，则x y 若（）（A）4（B）5 5（C）4 （D）65x y3正数x,y 满足 x2 y2 2xy，求 x y 的值11114计算.1 2233 499100习习题题 11 A组组1解不等式：(2)x 3 x 2 7；(1)x 1 3；(3)x 1 x 1 6 已知x y 1，求x3 y3 3xy 的值3填空：（1）(2 3)18(2 3)19 ；（2）若(1 a)2 (1 a)2 2，则a 的取值范围是；（3）11111122 33 44 55 6B组组1填空：（1）a 1，b 1，则23 3a2 ab3a2 5ab 2b2_；（2）若x2 xy 2 y2 0，则x2 3xy y27x2 y2 ；学 海 无 涯 2已知：x 1,y 1，求23yy的值x yx yC组组1选择题：（1）若a b 2 ab b a（）（A）a b（2）（B）a b（C）a b 0 计算a 1a，则 （D）b a 0等于 （）（A）a（B）a （C）a （D）ax2解方程2(x2 1)3(x 1)1 0 1x21113计算：132 4359114试证：对任意的正整数 n，有 1111n(n 1)(n 2)41 2 32 3 41.2 因式分解因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解 法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法 例 1分解因式：（1）x23x2；（3）x2 (a b)xy aby2；（2）x24x12；（4）xy 1 x y（2）由图 113，得x24x12(x2)(x6)（3）由图 114，得x2 (a b)xy aby2(x ay)(x by)（4）xy 1 x y xy(xy)1(x1)(y+1)（如图 115 所示）课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：的两个 x 图用1 1 1来表1 示（如图图 111 1 22 所示）图113解：（1）如图 111，将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)x11112xay说明x：今后在2分解与1本例类似 2的二次1三项式时6，可以x 直接将图by 111 中图 11411xy图 1158课堂练习：9学 海 无 涯（1）x2 5x 6。（2）x2 5x 6。（3）x2 5x 6。（4）x2 5x 6。（5）x2 a 1x a。（6）x2 11x 18。（7）6x2 7x 2。（8）4m2 12m 9。（9）5 7x 6x2。（10）12 x2 xy 6 y2。2、x2 4x x 3x 3、若 x2 ax b x 2x 4则a ，b 。二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）x2 7x 6（2）x2 4x 3（3）x2 6x 8（4）x2 7x 10（5）x2 15x 44中，有相同因式的是（）A、只有（1）（2）C、只有（3）（5）B、只有（3）（4）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式a2 8ab 33b2 得（）A、a 11a 3B、a 11ba 3b 3、a b2 8a b 20 分解因式得（C、a 11ba 3bD、a 11ba 3b）A、a b 10a b 2B、a b 5a b 4C、a b 2a b 10D、a b 4a b 54、若多项式x2 3x a 可分解为x 5x b，则a、b 的值是（A、a 10，b 2B、a 10，b 2C、a 10，b 25、若x2 mx 10 x ax b其中a、b 为整数，则m 的值为（）D、a 10，b 2）C、9D、3 或 9A、3 或9B、3三、把下列各式分解因式1、62 p q2 11q 2 p 32、a3 5a2b 6ab23、2 y2 4 y 64、b4 2b2 82提取公因式法例 2分解因式：（1）a2 b 5 a5 b（2）x3 9 3x2 3x解：（1）a2 b 5 a5 b=a(b 5)(a 1)（2）x3 9 3x2 3x=(x3 3x2)(3x 9)=x2(x 3)3(x 3)=(x 3)(x2 3)或x3 9 3x2 3x(x3 3x2 3x 1)8(x 1)3 8(x 1)3 23(x 1)2(x 1)2 (x 1)2 22 (x 3)(x2 3)学 海 无 涯 一、填空题：1、多项式6x2 y 2xy2 4xyz 中各项的公因式是。2、mx y ny x x y。3、mx y2 ny x2 x y2 。4、mx y z ny z x x y z。5、mx y z x y z x y z。6、13ab2 x6 39a3b2 x5 分解因式得。7计算992 99=二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“”）1、2a2b 4ab2 2aba b（）2、am bm m ma b（）3、3x3 6x2 15 x 3xx2 2x 5 （）4、xn xn1 xn1 x 1（）3：公式法例 3分解因式：（1）a4 16（2）3x 2 y2 x y2解：(1)a4 16=42 (a2)2 (4 a2)(4 a2)(4 a2)(2 a)(2 a)(2)3x 2 y2 x y2=(3x 2y x y)(3x 2y x y)(4x y)(2x 3y)课堂练习一、a2 2ab b2，a2 b2 ，a3 b3 的公因式是。二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“”）3 2 3 29 34 22221、x 0.01 x 0.1 x 0.1 x 0.1（）2、9a2 8b2 3a2 4b2 3a 4b3a 4b （）3、25a2 16b 5a 4b5a 4b （）4、x2 y2 x2 y2 x yx y （）5、a2 b c2 a b ca b c 2、3x2 110（）五、把下列各式分解1、9m n2 m n23、4 x2 4x 2234、x4 2x2 14分组分解法例 4（1）x2 xy 3y 3x学 海 无 涯（2）2x2 xy y2 4x 5y 6（2）2x2 xy y2 4x 5y 6=2x2 (y 4)x y2 5y 6=2x2 (y 4)x (y 2)(y 3)=(2x y 2)(x y 3)或2x2 xy y2 4x 5y 6=(2x2 xy y2)(4x 5y)6=(2x y)(x y)(4x 5y)6=(2x y 2)(x y 3)课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）x2 y2 a2 b2 2ax 2by（2）a2 4ab 4b2 6a 12b 95关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解若关若关于于 x 的方的方程程 ax2 bx c 0(a 0)的的两两个个实实数数根根是是 x、x，则则二次二次三三项项式式12212a(x x)(x x)ax bx c(a 0)就可就可分分解解为为.例 5 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1）x2 2x 1；（2）x2 4xy 4 y2 解：（1）令x2 2x 1=0，则解得x 1 2，x 1 2，12 x2 2x 1=x (12)x (1 2)=(x 12)(x 12)221（2）令x 4xy 4 y=0，则解得x (12 2 2)y，x (2 2 2)y，x2 4xy 4 y2=x 2(12)yx 2(12)y 练习1选择题：多项式2x2 xy 15y2 的一个因式为）（B）x 3y（C）x 3y（D）x 5y（A）2x 5y2分解因式：（1）x26x8；（3）x22x1；（2）8a3b3；（4）4(x y 1)y(y 2x)习习题题 12（2）4x4 13x2 9；（4）3x2 5xy 2 y2 x 9 y 4 1.分解因式：（1）a3 1；（3）b2 c2 2ab 2ac 2bc；2.在实数范围内因式分解：（1）x2 5x 3；（3）3x2 4xy y2；（2）x2 2 2x 3；（4）(x2 2x)2 7(x2 2x)12 3 ABC 三边a，b，c 满足a2 b2 c2 ab bc ca，试判定ABC 的形状4分解因式：x2x(a2a)11+111ab c-1bc a-1ca b-1的5.（尝试题）已知 abc=1，a+b+c=2，a+b+c=，求 值.2.1一一元二元二次次方程方程学 海 无 涯 2.1.1 根的判根的判别别式式情境情境设设置：可先置：可先让让学生学生通通过过具体具体实实例探索例探索二二次方程的根的求次方程的根的求法法，如求如求方方程的根（程的根（1）x2 2x 3 0(2)x2 2x 1 0(3)x2 2x 3 0我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为22a4a2bb2 4ac(x)因为 a0，所以，4a20于是（1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不 相等的实数根x1，22a b b2 4ac；（2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根2ax1x2 b；2a（3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边(x b)2一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的情况可以由 b24ac来判定，我们把 b24ac 叫做一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的判根的判别别式式，通常用符号“”来表示综上所述，对对于一元二于一元二次次方程方程 ax2bxc0（a0），），有有（1）当当 0 时时，方程有两个，方程有两个不不相等的相等的实实数根数根 x1，22a b b2 4ac；2a（2）当当 0 时时，方程，方程有有两个相等的两个相等的实实数数根根 x1x2 b；（3）当当 0 时时，方程，方程没没有有实实数根数根例 1判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30；（3）x2ax(a1)0；（2）x2ax10；（4）x22xa0解：（1）32413 30，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式 a241(1)a240，所以方程一定有 两个不等的实数根x1 2212a a2 4a a2 4，x2 （3）由于该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，所以，当 a2 时，0，所以方程有两个相等的实数根x1x21；当 a2 时，0，所以方程有两个不相等的实数根学 海 无 涯 x11，x2a1（3）由于该方程的根的判别式为2241 a44a4(1a)，所以当 0，即 4(1a)0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根x1 1 1 a，x2 1 1 a；当 0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根x1x21；当 0，即 a1 时，方程没有实数根说说明明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而 变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分分类讨类讨论论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的 解题中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.2根根与系数的关系与系数的关系（韦韦达定理）达定理）若一元二次方程 ax2bxc0（a0）有两个实数根x1 2a2ab b2 4acb b2 4ac，x2 ，则有2a2ab b2 4acb b2 4ac2bbx1 x2 ；2aa2a2a4a2b b2 4ac b b2 4acb2 (b2 4ac)4accx1x2 4a2a所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：a如果如果 ax2bxc0（a0）的两）的两根根分分别别是是 x1，x2，那那么么 x1x2 b，x1x2 c 这一关系也被称为韦韦达定达定理理解法一：2 是方程的一个根，52 2k2 60，k713a特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x2 是其两根，由韦达定理可知x1x2p，x1x2q，即 p(x1x2)，qx1x2，所以，方程 x2pxq0 可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于 x1，x2 是一元二次方程 x2pxq0 的两根，所以，x1，x2 也是一元二次方程 x2(x1x2)x x1x20因此有以两以两个个数数 x1，x2 为为根的根的一一元二次方程（二元二次方程（二次次项项系数系数为为 1）是）是x2(x1x2)xx1x20例 2 已知方程5x2 kx 6 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来 解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值学 海 无 涯 5所以，方程就为 5x27x60，解得 x12，x2 3 5所以，方程的另一个根为 3，k 的值为7解法二：设方程的另一个根为 x1，则2x1 6，x1 3 55由（3）2 k，得 k755所以，方程的另一个根为 3，k 的值为7145例 3已知关于 x 的方程 x22(m2)xm240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得 到关于 m 的方程，从而解得 m 的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给 的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设 x1，x2 是方程的两根，由韦达定理，得x1x22(m2)，x1x2m24x12x22x1x221，(x1x2)23 x1x221，即2(m2)23(m24)21，化简，得m216m170，解得m1，或 m17当 m1 时，方程为 x26x50，0，满足题意；当 m17 时，方程为 x230 x2930，30241293 0，不合题意，舍去综上，m17说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所 对应的 m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的 判别式 是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例 4已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数 也 可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是 x，y，则xy4，xy12由，得y4x，代入，得x(4x)12，即x24x120，x12，x26学 海 无 涯 x1 2,y 6,或x2 6,y 2.1 2因此，这两个数是2 和 6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根 解这个方程，得 x12，x26所以，这两个数是2 和 6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷例 5若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x25x30 的两根1x 2x 2（1）求|x1x2|的值；（2）求 1 的值；（3）13x 23x 12解：x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x25x30 的两根，121 222 x x 5，x x 3（1）1212222|x x|x+x 1 22 x x 122(x x)1 2252232544 x x()4()6 49，42|x1x2|7 22212121 2（2）12243 29294x 2x 2(5)2 2(3)25 3 1 x1 x2 (x1 x2)2x1x2 x 2 x 2(x x)2()37 33222（3）x1 x2(x1x2)(x1 x1x2x2)(x1x2)(x1x2)3x1x22228(5)(5)23(3)215 说明：一元二次方程的两两根之差的根之差的绝对绝对值值是一个重要的量，今后我们经常会 遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0），则2ax1 2ab b2 4acb b2 4ac，x2，122a|x x|b b2 4ac b b2 4ac 2 b2 4ac 2a2ab2 4ac|a|a|（其（其|a|15于是有下面的结论：若若 x1 和和 x2 分分别别是一元二是一元二次次方程方程 ax2bxc0（a0），），则则|x1x2|中中 b24ac）今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例 6若关于 x 的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、另一根小于 零，求实数 a 的取值范围学 海 无 涯 解：设 x1，x2 是方程的两根，则x1x2a40，且(1)24(a4)0 由得a4，4练由得a17 a 的取值范围是 a4习）1选择题：（1）方程x2 2 3kx 3k 2 0 的根的情况是（A）有一个实数根（C）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（D）没有实数根（2）若关于 x 的方程 mx2(2m1)xm0 有两个不相等的实数根，则实 数m的取值范围是（）（A）m 1（B）m 144（C）m 1，且 m0（D）m 1，且 m0442填空:x1x2（1）若方程 x23x10 的两根分别是 x1 和 x2，则 1 1 2方程 mx2x2m0（m0）的根的情况是 3以3 和 1 为根的一元二次方程是 3已知 a2 8a 16|b 1|0，当 k 取何值时，方程 kx2axb0 有两个不相等 的实数根？4已知方程 x23x10 的两根为 x1 和 x2，求(x13)(x23)的值习习题题 2.1 A组组1选择题:（1）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（）（D）2（A）3（B）3（C）2（2）下列四个说法：方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为7；方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7；方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为 7；163方程 3 x22x0 的两根之和为2，两根之积为 0其中正确说法的个数是（A）1 个（B）2 个（C）3 个（）（D）4 个（3）关于 x 的一元二次方程 ax25xa2a0 的一个根是 0，则 a 的值是（）（A）0（B）1（C）1（D）0，学 海 无 涯 或 1 2填空:（1）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k（2）方程 2x2x40 的两根为，则 22（3）已知关于 x 的方程 x2ax3a0 的一个根是2，则它的另一个根 是（4）方程 2x22x10 的两根为 x1 和 x2，则|x1x2|3.试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2(2m1)x10 有两 个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数B组组1.选择题:若关于 x 的方程 x2(k21)xk10 的两根互为相反数，则 k 的值为()（A）1，或1（B）1（C）1（D）0 2填空:1若 m，n 是方程 x2XXXXx10 的两个实数根，则 m2nmn2mn 的 值等于 2如果 a，b 是方程 x2x10 的两个实数根，那么代数式 a3a2bab2b3 的值是 3.已知关于 x 的方程 x2kx201求证：方程有两个不相等的实数根；2设方程的两根为 x1 和 x2，如果 2(x1x2)x1x2，求实数 k 的取值范围4.一元二次方程 ax2bxc0（a0）的两根为 x1 和 x2求：（1）|x1x2|和122x x3；（2）x 123x 5关于 x 的方程 x24xm0 的两根为 x1，x2 满足|x1x2|2，求实数 m 的值C组组1选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x28x70 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A）3（B）3（C）6（D）9x2x1（2）若 x1，x2 是方程 2x2 4x 1 0 的两个根，则 x1 x2 的值为（）（A）6（B）4（C）3（D）3172（3）如果关于 x 的方程 x22(1m)xm20 有两实数根，则 的取值 范围 为学 海 无 涯（）（A）122（B）1（C）1（D）14（4）已知 a，b，c 是 ABC 的三边长，那么方程 cx2(ab)x c 0 的根的情 况 是 ()（A）没有实数根（C）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（D）有两个异号实数根2填空：若方程 x28xm0 的两根为 x1，x2，且 3x12x218，则 m 3 已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx24kxk10 的两个实数根2（1）是否存在实数 k，使(2x1x2)(x12 x2)3 成立？若存在，求出 k 的x2x1x2值；若不存在，说明理由；（2）求使 x1 x2 2 的值为整数的实数 k 的整数值；（3）若 k2，x1，试求 的值2m24已知关于 x 的方程 x (m 2)x 0 41求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；2若这个方程的两个实数根 x1，x2 满足|x2|x1|2，求 m 的值及相应的 x1，x25若关于 x 的方程 x2xa0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a 的取值 范围22二次二次函函数数2.2.1二二次函数次函数 yax2bxc 的的图图象和性象和性质质情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1）y x2(2)y x2(3)y x2 2x 3问题 1函数 yax2 与 yx2 的图象之间存在怎样的关系？218为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x2，y 1 x2，y2x2 的图象，通学 海 无 涯 过这些函数图象与函数 yx2 的图象之间的关系，推导出函数 yax2 与 yx2 的 图象之间所存在的关系先画出函数 yx2，y2x2 的图象 先列表：x3210123x294101492x2188202818从表中不难看出，要得到 2x2 的值，只要把相应的 x2 的值扩大两倍就可以了 再描点、连线，就分别得到了函数 yx2，y2x2 的图象（如图 21 所示），从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y2x2 的图象可以由 函数 yx2 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y 1 x2，y2x2 的图象，并研2究这两个函数图象与函数 yx2 的图象之间的关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二二次次函函数数 yax2(a0)的的图图象象可可以以由由 yx2 的的图图象象各各点点的的纵纵坐坐标标变变为为原原来来的的 a 倍倍得得到到在在二二次次函函数数 yax2(a0)中中，二二次次项项系系数数 a 决决定定了了图图象象的的开开口口方方向向和和在在 同一同一个个坐坐标标系中的开口系中的开口的的大小大小问题 2 函数 ya(xh)2k 与 yax2 的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数 y2(x1)21 与 y2x2 的图象（如图 22 所示），从函数的同学我们不难 发现，只要把函数 y2x2 的图象向左平移一个单位，再向上 平移一个单位，就可以得到函数 y2(x1)21 的图象这 两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数 y3x2，y3(x1)21的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次二次函函数数 ya(xh)2k(a0)中中，a 决定了决定了二二次函数次函数图图象象 的的开口开口大大小及小及方方向向；h 决决定了定了二二次函次函数数图图象象的的左右左右平平移，而移，而 且且“h 正左移正左移，h 负负右移右移”；k 决定了决定了二二次函数次函数图图象的上下平象的上下平移移，而而且且“k 正正上上移移，k 负负下下移移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 yax2bxc(a0)的图象的方 法：由于 yax2bxca(x2 bx)ca(x2 b x aa2 b4a22)c b4a22a4abb2 4ac a(x)，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数 yax2 的图象作左右平 移、上下平移得到的，于是，二次函数 yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当当 a 0 时时，函函数数 y ax2 bx c 图图象开口象开口向向上上；顶顶点点坐坐标标为为图 2.2-2xyO1y2(x1)2y2x219y2(x1)21学 海 无 涯 2a4ab4ac b2(,bb2a2a)，对对称称轴为轴为直直线线 x；当当 x 时时，y 随着随着 x 的增的增大大而减小；而减小；当当 x b 时时，y 随着随着 x 的增的增大大而增大而增大；当当 x b 时时，函数取最小函数取最小值值 y 4ac b2 2a2a4a（2）当当 a0 时时，函，函数数 yax2bxc 图图象象开开口向口向下下；顶顶点点坐坐标标为为2a4a(,b4ac b2bb2a2a)，对对称称轴为轴为直直线线 x；当当 x 时时，y 随着随着 x 的增的增大大而增大；而增大；2a2a4a当当 x b 时时，y 随着随着 x 的增的增大大而减小而减小；当当 x b 时时，函数取最大函数取最大值值 y 4ac b2 上述二次函数的性质可以分别通过图 223 和图 224 直观地表示出 来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合解：y3x26x13(x1)24，当 x1 时，函数 y 取最大值 y4；当 x1 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x1 时，y 随着 x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点 A(1，4)，与 x 轴交于点33B(2 3 3,0)和 C(2 3 3,0)，与 y 轴的交点为 D(0，1)，过这五点画出图象（如图 25 所示）说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图 象更精确函函数数 y yaxax2 2bxbx