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可微性与偏导数第1页，此课件共47页哦一、一、可微性与全微分 定定义义 1 设设函数函数内有定内有定 义义.对对于于若若 f 在在 的全增量的全增量(1)其中其中A,B是是仅仅与点与点有关的常数有关的常数,的高的高阶阶无无穷穷小量小量,则则称称 f 在点在点可微可微.并称并称 (1)式中关于式中关于第2页，此课件共47页哦由由(1),(2)可可见见,当当 充分小充分小时时,全微分全微分 这这里里(4)(2)为为的的全微分全微分,记记作作 可作可作为为全增量全增量 的近似的近似值值,于是有近似公式于是有近似公式:在使用上在使用上,有时也把有时也把(1)式写成如下形式：式写成如下形式：(3)第3页，此课件共47页哦例例1 考察考察 解解 f在在点点 处的全增量为处的全增量为由于由于 第4页，此课件共47页哦二、偏导数 由一元函数微分学知道由一元函数微分学知道:若若 则则 现现在来在来讨论讨论:当二元函数当二元函数 在点在点 可微可微 时时,(1)式中的常数式中的常数 A,B 应取怎样的值？应取怎样的值？为此在为此在(4)式中先令式中先令 第5页，此课件共47页哦 (5)容易看出容易看出,(5)式右边的极限正是关于式右边的极限正是关于 x 的一元函数的一元函数类似地类似地,又可得到又可得到 (6)它是关于它是关于 y 的一元函数的一元函数二元函数当固定其中一个自变量时二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自它对另一个自 第6页，此课件共47页哦变量的导数称为该函数的偏导数变量的导数称为该函数的偏导数,一般定义如下一般定义如下:则当极限则当极限 存在存在时时,称此极限称此极限为为 关于关于x 的偏的偏导导数数,记作记作定义定义 2 (7)第7页，此课件共47页哦类似地可定义类似地可定义 关于关于 y 的偏导数的偏导数:记作记作注注1 1 第8页，此课件共47页哦注注2 在上述定在上述定义义中中,存在存在对对 x(或或 y)显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数界点处则往往无法考虑偏导数若函数若函数 在区域在区域 D 上每一点上每一点 都存在都存在 对对 x (或或对对y)的偏的偏导导数数,则则得到得到 在在 D 上上 对对 x(或对或对y)的偏导函数的偏导函数(也简称偏导数也简称偏导数),记作记作 第9页，此课件共47页哦偏偏导导数的几何意数的几何意义义:的几何的几何图图象通常是象通常是 三三维维空空间间中的曲面中的曲面,设设 为为此曲面上一此曲面上一 点点,其中其中 曲面相交得一曲线：曲面相交得一曲线：第10页，此课件共47页哦如图如图17-1 所示，偏导数所示，偏导数 的几何意义为的几何意义为:在平面在平面 上上,曲曲线线 C 在点在点 P0 处处的切的切线线与与 x 轴轴 正向所成倾角正向所成倾角 的正切，即的正切，即 图图 17-1 第11页，此课件共47页哦可同可同样讨论样讨论偏偏导导数数 的几何意的几何意义义(请读请读者自者自 行叙述行叙述)由偏导数的定义还知道由偏导数的定义还知道,多元函数多元函数 f 对某一个自变对某一个自变 量求偏导数量求偏导数,是先把别的自变量看作常数是先把别的自变量看作常数,变成一变成一 元函数的求导元函数的求导.因此第五章中有关求导数的一些基因此第五章中有关求导数的一些基 本法则本法则,对多元函数求偏导数仍然适用对多元函数求偏导数仍然适用.例例2 于于 x 和关于和关于 y 的偏导数的偏导数.解解 先求先求 f 在点在点(1,3)处关于处关于 x 的偏导数的偏导数.为此为此,令令第12页，此课件共47页哦y =3,得到得到 求它在求它在 x=1 的的导导数数,则得则得 再求再求 f 在在(1,3)处关于处关于 y 的偏导数的偏导数.为此令为此令 x=1,得得 求它在求它在 y=3 处的导数处的导数,又得又得 通常也可先分别求出关于通常也可先分别求出关于 x 和和 y 的偏导函数的偏导函数:第13页，此课件共47页哦然后以然后以(x,y)=(1,3)代入代入,也能得到同样结果也能得到同样结果.例例3 求函数求函数 的偏导数的偏导数.解解 把把 依次看成幂函数和指数函数依次看成幂函数和指数函数,分别求得分别求得 例例4 求三元函数求三元函数 的偏导数的偏导数.解解 把把 y 和和 z 看作常数看作常数,得到得到 第14页，此课件共47页哦把把 z,x 看作常数看作常数,得到得到 把把 x,y 看作常数看作常数,得到得到 第15页，此课件共47页哦三、可微性条件 由可微定义易知由可微定义易知:若若 .这表明这表明:“连续是可微的一个必要条件连续是可微的一个必要条件”此外此外,由由(5),(6)两式又可得到可微的另一必要条两式又可得到可微的另一必要条 件件:定理定理17.1 若二元函数若二元函数 f 在其定义域内一点在其定义域内一点(x0,y0)处可微处可微,则则 f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在该点关于每个自变量的偏导数都存 在此时在此时,(1)式中的式中的 第16页，此课件共47页哦于是于是,函数函数 的全微分的全微分(2)可惟一地表可惟一地表示为示为与一元函数一样与一元函数一样,若约定自变量的增量等于自变量若约定自变量的增量等于自变量 的微分，即的微分，即 则全微分又可写为则全微分又可写为 第17页，此课件共47页哦若函数若函数 f 在区域在区域 D 的每一点的每一点(x,y)都可微都可微,则称函则称函 数数 f 在区域在区域 D 上可微，且上可微，且 f 在在 D 上的全微分为上的全微分为 (8)定理定理17.1 的应用的应用:对于函数对于函数 由于由于 它们分别在它们分别在都不可导，即都不可导，即故故第18页，此课件共47页哦再看一个例子再看一个例子:在原点的可微性在原点的可微性例例5 考察函数考察函数解解 按偏导数的定义先求出按偏导数的定义先求出 第19页，此课件共47页哦同理可得同理可得若若 f 在原点可微在原点可微,则则 却不存在却不存在(第十六章第十六章2 例例3),故此故此 f(x,y)在原点不可微在原点不可微.第20页，此课件共47页哦以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的而以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的而 这个例子说明这个例子说明:对于多元函数对于多元函数,偏导数即使都存在偏导数即使都存在,该函数也不一定可微现在不禁要问该函数也不一定可微现在不禁要问:当所有偏导当所有偏导 数都存在时数都存在时,还需要添加哪些条件还需要添加哪些条件,才能保证函数可才能保证函数可 微呢微呢?请看如下定理请看如下定理:定理定理 17.2 (可微的充分条件可微的充分条件)若函数若函数在在 点点的某的某邻邻域内存在偏域内存在偏导导数数 且它且它 们在点们在点连续连续,则则可微可微.第21页，此课件共47页哦在第一个方括号里的是函数在第一个方括号里的是函数关于关于 x 的增量的增量;在第二个括号里的是函数在第二个括号里的是函数 关于关于 y 的增量的增量.第二步第二步 对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值 定理定理,则则使得使得证证 第一步第一步 把全增量把全增量 写作写作第22页，此课件共47页哦 (9)第三步第三步 由于由于 因此有因此有 第四步第四步 将将(10),(11)代入代入(9)式式,得到得到 由可微定由可微定义义的等价式的等价式(4),便知便知 (11)(10)第23页，此课件共47页哦定理定理17.的应用的应用 容易验证例容易验证例2 中的函数中的函数 满满足定理足定理 17.2 的条件的条件,故在点故在点(1,3)可微可微(且在且在上上处处处处可微可微);上满足定理上满足定理 17.2 的条件的条件,亦在其定义域上可微；亦在其定义域上可微；例例4 中的函数中的函数注意注意 偏导数连续并不是可微的必要条件，例如偏导数连续并不是可微的必要条件，例如 第24页，此课件共47页哦它在原点它在原点(0,0)处处可微可微,但但却在却在该该点不点不连续连续(见本节习题见本节习题 7，请自行验证，请自行验证).所以定理所以定理 17.2 是可是可 微的充分性定理微的充分性定理若若的偏的偏导导数数都都连续连续,则则 连续连续可微可微 在定理在定理 17.2 证明过程中出现的证明过程中出现的(9)式式,实际上是二实际上是二 第25页，此课件共47页哦元函数的一个中值公式元函数的一个中值公式,将它重新写成定理如下将它重新写成定理如下:(12)的某邻域内存在偏的某邻域内存在偏定理定理 17.3 设函数设函数和和 第26页，此课件共47页哦四、可微性的几何意义及应用 一元函数一元函数可微，在几何上反映可微，在几何上反映为为曲曲线线存在存在 不平行于不平行于 y 轴轴的切的切线线.对对于二元函数而言于二元函数而言,可微性可微性 则反映为曲面与其切平面之间的类似关系则反映为曲面与其切平面之间的类似关系.为此需为此需 要先要先给给出切平面的定出切平面的定义义,这这可以从切可以从切线线定定义义中中获得获得 启发启发.在第五章在第五章1中中,我们曾把平面曲线我们曾把平面曲线 S 在其上某一在其上某一 的切的切线线 PT 定定义为过义为过点点 P 的割的割线线 PQ 当当 Q 沿沿 S 趋近趋近 P 时的极限位置时的极限位置(如果存在的话如果存在的话).这时这时,第27页，此课件共47页哦PQ 与与 PT 的夹角的夹角 也将随也将随 QP 而趋于零而趋于零(参见参见图图17-2).用用 h 和和 d 分别表示点分别表示点 Q 到直线到直线 PT 的距离的距离 和点和点 Q 到点到点 P 的距离的距离,由于由于 图图 17-2 第28页，此课件共47页哦定定义义 3 设设曲面曲面 S 上一上一一个一个平面平面,S 上的上的动动点点 仿照这个想法仿照这个想法,我们引我们引进曲面进曲面 S 在点在点 P 的切平的切平 面的定义面的定义(参见图参见图17-3).图图 17-3 点点 P,为通过点为通过点 P 的的Q 到定点到定点 P 和到平面和到平面 的距离分别记为的距离分别记为 d 和和 h.若若当当 Q 在在 S 上以任上以任意方式趋近于意方式趋近于 P 时时,恒有恒有第29页，此课件共47页哦 则则称称 为为曲曲面面 S 在点在点 P 的的切平面切平面,称称 P 为为切点切点.定理定理 17.4 曲面曲面存在不平行于存在不平行于 z 轴轴的切平面的充要条件是的切平面的充要条件是:函数函数 在点在点可微可微.证证(充分性充分性)若函数若函数在在 P0 可微可微,由定义知道由定义知道 第30页，此课件共47页哦讨论过点讨论过点的平面的平面:其中其中 X,Y,Z 是平面上点的流是平面上点的流动动坐坐标标.下面下面证证明它就明它就 是曲面是曲面的切平面的切平面.由于由于 S 上动点上动点 到到的距离为的距离为 现在现在第31页，此课件共47页哦P 到到 Q 的距离为的距离为 第32页，此课件共47页哦根据定根据定义义 3 便知便知平面平面 即即为为曲面曲面P 的切平面的切平面(必要性必要性)若曲面若曲面存在不平行于存在不平行于z 轴的切平面轴的切平面 第一步第一步 设设 Q(x,y,z)是曲面上任意一点是曲面上任意一点,由由 Q 到到这这 个平面的距离个平面的距离为为 第33页，此课件共47页哦由切平面的定义知道由切平面的定义知道,当当时时,有有 因因此对于充分接近的此对于充分接近的 P 与与 Q,有有 由此则得由此则得 令令 第34页，此课件共47页哦第二步第二步 分析分析:要证明要证明 在点在点可微可微,事实事实 上就是需证上就是需证 第35页，此课件共47页哦因此因此,若能若能证证得当得当 则则有有第三步第三步 先证先证 可推得可推得 故有故有 第36页，此课件共47页哦第四步第四步 由上式由上式进进一步可得一步可得 根据第二步的分析，根据第二步的分析，这这就就证证得得在点在点 可微可微.第37页，此课件共47页哦定理定理 17.4 说说明明:函数函数在点在点可微可微,则则曲面曲面 处的切平面方程为处的切平面方程为 (13)过过切点切点 P 与切平面垂直的直与切平面垂直的直线线称称为为曲面在点曲面在点 P 的的 法线法线.由切平面方程知道，由切平面方程知道，法向量法向量为为 于是过切点于是过切点 P 的法线方程为的法线方程为 (14)第38页，此课件共47页哦二元函数全微分的几何意义二元函数全微分的几何意义:如图如图17 4 所示所示,当自当自 的全微分的全微分而在点而在点 变为变为时时,函函变量变量 由由 是是 z 轴轴方向上的一段方向上的一段 NQ;的增量的增量 数数 则是切平面则是切平面 上相应上相应的那的那一段一段增量增量 NM.于于 而趋于零而趋于零,而且是较而且是较 高阶的无穷小量高阶的无穷小量.是是,与与 dz 之差是之差是 MQ 那一段，它的长度将那一段，它的长度将随着随着 第39页，此课件共47页哦图图 17 4 第40页，此课件共47页哦例例6 试试求抛物面求抛物面处处 的切平面方程与法线方程，其中的切平面方程与法线方程，其中解解 由公式由公式(13),在点在点 P 处的切平面方程为处的切平面方程为 由公式由公式(14),在点在点 M 处的法线方程为处的法线方程为 第41页，此课件共47页哦下面的例下面的例 8 和例和例 9 是利用是利用线线性近似公式性近似公式(3)所作的所作的 近似计算和误差估计近似计算和误差估计.例例7 求求 的近似值的近似值.解解 设设由公式由公式(3)，有，有第42页，此课件共47页哦例例8 的的绝对误绝对误差限和相差限和相对误对误差限差限.解解 依题意，测量依题意，测量 a,b,C 的绝对误差限分别为的绝对误差限分别为 由于由于第43页，此课件共47页哦因此将各数据代入上式因此将各数据代入上式,即得即得 S 的绝对误差限为的绝对误差限为 第44页，此课件共47页哦又因又因 所以所以 S 的相对误差限为的相对误差限为 第45页，此课件共47页哦复习思考题 1.已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和偏导数的连续性之间有如下关系偏导数的连续性之间有如下关系:偏导数连续偏导数连续可可 微微连连 续续偏导数存在偏导数存在第46页，此课件共47页哦试举出能分别满足如下要求的函数试举出能分别满足如下要求的函数(i)(ii)(iii)(iv)2.可微性定义中可微性定义中,(1)式与式与(4)式为何是等价的式为何是等价的?第47页，此课件共47页哦
