新人教版必修四高中数学探究导学课型第一章三角函数1.1.1任意角ppt课件.ppt

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角【自主预习自主预习】主题主题1:1:任意角的概念任意角的概念1.1.当钟表慢了当钟表慢了(或快了或快了)一点时一点时,我们会将分针按某个方向转动我们会将分针按某个方向转动,把时间调把时间调整准确整准确,在调整的过程中在调整的过程中,分针转动的方向是否相同分针转动的方向是否相同?提示提示:不同不同,当钟表慢了当钟表慢了,要顺时针转动分针要顺时针转动分针,当钟表快了当钟表快了,要逆时针转动分要逆时针转动分针针.2.2.在跳水比赛中在跳水比赛中,运动员会做出运动员会做出“转体两周转体两周”“”“向前翻转两周半向前翻转两周半”等动作等动作,做上述动作时做上述动作时,运动员转体多少度运动员转体多少度?转过的度数还能用转过的度数还能用00到到360360的角表的角表示吗示吗?提示提示:因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同,因此运动员因此运动员“转体转体两周两周”的度数可以是顺时针旋转的度数可以是顺时针旋转720720或逆时针旋转或逆时针旋转720720,“向前翻转两向前翻转两周半周半”可以是顺时针旋转可以是顺时针旋转900900或逆时针旋转或逆时针旋转900900.显然这些角都不在显然这些角都不在0 0360360,不能用不能用0 0到到360360的角表示的角表示.结合以上探究结合以上探究,总结你对角的新认识总结你对角的新认识:用文字语言描述用文字语言描述:角是射线绕着端点旋转形成的角是射线绕着端点旋转形成的,其旋其旋转方式转方式有三有三:一是一是_、二是、二是_、三是三是_._.顺时针旋转顺时针旋转逆时针旋转逆时针旋转不旋转不旋转用图形语言描述用图形语言描述:任意角的概念任意角的概念:按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转射线没有作任何旋转射线没有作任何旋转主题主题2:2:象限角象限角1.1.如果将如果将45,22545,225角的始边与角的始边与x x轴非负半轴重合轴非负半轴重合,顶点与原点重合顶点与原点重合,则则4545角的终边角的终边OA,225OA,225角的终边角的终边OBOB分别落在第几象限分别落在第几象限?提示提示:如图如图,45,45角的终边落在第一象限角的终边落在第一象限;225;225角的终边落在第三象限角的终边落在第三象限.2.2.将角将角45,22545,225推广到任意角推广到任意角,如何来判断一个角如何来判断一个角是第几象限角是第几象限角?用文字语言描述用文字语言描述:判断方法是将角的顶点与原点重合、角的始边与判断方法是将角的顶点与原点重合、角的始边与x x轴的轴的非负半轴重合非负半轴重合,角的终边落在第几象限角的终边落在第几象限,就说该角是第几象限角就说该角是第几象限角.象限角象限角:(1):(1)前提前提:角的顶点角的顶点:_,:_,角的始边角的始边:_._.(2)(2)结论结论:角的终边在第几象限角的终边在第几象限,就说这个角是就说这个角是_._.坐标原点坐标原点x x轴的非负半轴轴的非负半轴第几象第几象限角限角主题主题3:3:终边相同的角终边相同的角1.1.在同一坐标系中作出在同一坐标系中作出-32,328,-392-32,328,-392的角的角,并观察这三个角终边之并观察这三个角终边之间的关系间的关系?角的大小有什么关系角的大小有什么关系?提示提示:-32-32,328,328,-392,-392在同一坐标系内如图所示在同一坐标系内如图所示.由图可知三个角的终边相同由图可知三个角的终边相同,它们两两之间相差它们两两之间相差360360的整数倍的整数倍.2.2.如何用如何用328328表示角表示角-32-32和和-392?-392?用符号语言描述用符号语言描述:-32=-360+328,:-32=-360+328,-392=-2360+328.-392=-2360+328.终边相同的角的表示终边相同的角的表示:所有与角所有与角终边相同的角终边相同的角,连同连同角角在内在内,可构成一个集合可构成一个集合:_:_,_,即任一与角即任一与角终边相同的角终边相同的角,都可以表示成都可以表示成_._.S=|=+k360,S=|=+k360,kZkZ角角与整数个周角的和与整数个周角的和【深度思考深度思考】结合教材结合教材P4P4例例1,1,你认为应如何判断任意一个角你认为应如何判断任意一个角所所在的象限在的象限?第一步第一步,将将写成写成_的形式的形式.=k360+(kZ,0=k360+(kZ,0360)360)第二步第二步,判断判断_所在的象限所在的象限.第三步第三步,根据根据_所在的象限所在的象限,确定确定_所在的象限所在的象限.的终边的终边的终边的终边的终边的终边【预习小测预习小测】1.1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240240所形成的角是所形成的角是()A.120A.120B.-120B.-120C.240C.240D.-240D.-240【解析解析】选选D.D.因为顺时针旋转形成的角是负角因为顺时针旋转形成的角是负角.故选故选D.D.2.2.下列各角中与下列各角中与330330角终边相同的角是角终边相同的角是()A.510A.510B.150B.150C.-150C.-150 D.-390 D.-390【解析解析】选选D D.因为因为-390-390=-2=-2360360+330+330.3.903.90是是()A.A.第一象限角第一象限角B.B.第二象限角第二象限角C.C.第一或第二象限角第一或第二象限角D.D.不属于任何象限不属于任何象限【解析解析】选选D.D.因为因为9090角的终边落在角的终边落在y y轴的非负半轴上轴的非负半轴上,故故9090角不属于角不属于任何象限任何象限.4.-11204.-1120角是第角是第象限角象限角.【解析解析】因为因为-1120-1120=-360=-3604+3204+320,而而320320是第四象限角是第四象限角,故故-11201120是第四象限角是第四象限角.答案答案:四四5.5.与与6060角终边相同的角的集合为角终边相同的角的集合为.【解析解析】与与6060角终边相同的角的集合为角终边相同的角的集合为S=|=kS=|=k360360+60+60,kZ.,kZ.答案答案:|=k|=k360360+60+60,kZ,kZ【备选训练备选训练】从从00到到360360中中,找出与下列各角终边相同的角找出与下列各角终边相同的角,并指出并指出它们分别为第几象限角它们分别为第几象限角.(.(仿照教材仿照教材P4P4例例1 1的解析过程的解析过程)(1)-1154.(2)2428.(1)-1154.(2)2428.【解析解析】(1)(1)因为因为-1154-1154=-4=-4360360+286+286,所以在所以在0 0到到360360,与与-1154-1154终边相同的角终边相同的角=286=286,所以所以-1154-1154是第四象限角是第四象限角.(2)(2)因为因为24282428=6=6360360+268+268,所以在所以在0 0到到360360,与与24282428终边相同的角终边相同的角=268=268,所以所以24282428为第三象限角为第三象限角.【互动探究互动探究】1.1.将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转6060所形成的角所形成的角,与按顺时与按顺时针方向旋转针方向旋转6060所形成的角是否相等所形成的角是否相等?提示提示:不相等不相等,度量一个角的大小度量一个角的大小,既要考虑旋转量既要考虑旋转量,又要考虑旋转方向又要考虑旋转方向.故原题中两种旋转方法所形成的角不相等故原题中两种旋转方法所形成的角不相等.2.2.是不是任意角都可以归结为象限角是不是任意角都可以归结为象限角,为什么为什么?提示提示:不是不是,一些特殊角的终边可能落在坐标轴上一些特殊角的终边可能落在坐标轴上,因为角的终边落在坐标因为角的终边落在坐标轴上轴上,就认为这个角不属于任何象限就认为这个角不属于任何象限.3.3.终边相同的角相等吗终边相同的角相等吗?相等的角终边一定相同吗相等的角终边一定相同吗?提示提示:终边相同的角不一定相等终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个终边相同的角有无数个,它们相差周角的它们相差周角的整数倍整数倍,但相等的角的终边一定相同但相等的角的终边一定相同.【探究总结探究总结】知识归纳知识归纳:方法总结方法总结:1.1.象限角的两种判定方法象限角的两种判定方法(1)(1)将角将角写成写成=k360+(kZ,0360)=k360+(kZ,0360)的形式的形式,判断判断的终边所在象限的终边所在象限,即知角即知角的终边所在的终边所在象限象限.(2)(2)在坐标系中画出相应的角观察终边的位置在坐标系中画出相应的角观察终边的位置,确定象限确定象限2.2.求给定范围内终边相同角的方法求给定范围内终边相同角的方法先写出角先写出角终边相同的角终边相同的角,即即=+k360(kZ),=+k360(kZ),根据给定的范围根据给定的范围建立关于建立关于k k的不等式的不等式,解出解出k k的范围的范围,再根据再根据kZkZ确定确定.【题型探究题型探究】类型一类型一:任意角的概念任意角的概念【典例典例1 1】(1)(1)手表时针走过手表时针走过2 2小时小时,时针转过的角度时针转过的角度为为()A.60A.60B.-60B.-60C.30C.30D.-30D.-30(2)(2016(2)(2016莆田高一检测莆田高一检测)已知集合已知集合A=A=第一象限角第一象限角,B=,B=锐角锐角,C=,C=小于小于9090的角的角,则下面关系正确的是则下面关系正确的是()A.A=B=CA.A=B=C B.A B.AC CC.AC=BC.AC=B D.BC D.BCC C 【解题指南解题指南】(1)(1)注意旋转方向及注意旋转方向及1 1小时转过的度数小时转过的度数.(2)(2)弄清三种角的取值范围弄清三种角的取值范围,再判断关系再判断关系.【解析解析】(1)(1)选选B.B.因为是顺时针因为是顺时针,所以转过的角度为负所以转过的角度为负角角,又一小时转了又一小时转了3030,故时针走过故时针走过2 2小时小时,时针转过的时针转过的角度为角度为-60-60.(2)(2)选选D.D.第一象限角可表示为第一象限角可表示为k k360360kk360360+90+90,kZ;,kZ;锐角可表示为锐角可表示为0 09090,小于小于9090的的角可表示为角可表示为9090,由三者之间的关系可知由三者之间的关系可知,选选D.D.【规律总结规律总结】1.1.判断角的概念问题的关键与技巧判断角的概念问题的关键与技巧(1)(1)关键关键:正确理解有关角的概念正确理解有关角的概念.(2)(2)技巧技巧:通过特值或反例进行判断通过特值或反例进行判断.2.2.处理任意角问题的两个关键点处理任意角问题的两个关键点(1)(1)定方向定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时由逆时针方向旋转形成的角为正角针方向旋转形成的角为正角,否则为负角否则为负角.(2)(2)定大小定大小:根据旋转角度的绝对量确定角的大小根据旋转角度的绝对量确定角的大小.【巩固训练巩固训练】1.1.有下列说法有下列说法:相差相差360360整数倍的两个角整数倍的两个角,其终边不一定相同其终边不一定相同;|是锐角是锐角|090;|090;小于小于180180的角是钝角、直角或锐角的角是钝角、直角或锐角.其中正确说法的序号是其中正确说法的序号是.【解析解析】不正确不正确,终边相同的两个角一定相差终边相同的两个角一定相差360360的整数倍的整数倍,反之也成立反之也成立;因为因为是锐角是锐角,即即090,090,故故|090|090|090,|090,故故正确正确;00角小于角小于180,180,但它既不是钝角但它既不是钝角,也不是直角或锐也不是直角或锐角角,故故不正确不正确.答案答案:2.2.分别求出图中从分别求出图中从OAOA旋转到旋转到OB,OBOB,OB1 1,OB,OB2 2时所成的角时所成的角,.,.【解析解析】图图中中,正角正角=720=720+30+30=750=750,图图中中,负角负角=-(360=-(360-210-210)=-150)=-150,正角正角=210=210-150-150=60=60.类型二类型二:象限角与终边相同的角的表示及应用象限角与终边相同的角的表示及应用【典例典例2 2】(1)(2016(1)(2016泰安高一检测泰安高一检测)若角若角满足满足=45+k180,kZ,=45+k180,kZ,则角则角的终边落在的终边落在()A.A.第一或第三象限第一或第三象限B.B.第一或第二象限第一或第二象限C.C.第二或第四象限第二或第四象限D.D.第三或第四象限第三或第四象限(2)(2)已知角的顶点与坐标原点重合已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在始边落在x x轴的非负半轴上轴的非负半轴上,作出下列作出下列各角各角,指出它们是第几象限角指出它们是第几象限角,并指出在并指出在-720-720360360范围内与其终边相范围内与其终边相同的角同的角.-75-75855855 【解题指南解题指南】(1)(1)利用特例法利用特例法,对对k k分别取值分别取值,从而确从而确定角定角所在象限所在象限.(2)(2)画出图象画出图象,根据图象判断角所在象限根据图象判断角所在象限,先写出与先写出与-75-75,855,855终边相同的角的一般形式终边相同的角的一般形式,再根据已知再根据已知条件求满足条件的整数条件求满足条件的整数k k即可即可.【解析解析】(1)(1)选选A.A.当当k=0k=0时时,=45,=45,此时此时为第一为第一象限角象限角;当当k=1k=1时时,=225,=225,此时此时为第三象限角为第三象限角,故选故选A.A.(2)(2)作出各角的终边如图所示作出各角的终边如图所示:由图可知由图可知-75-75是第四象限角是第四象限角;855;855是第二象限角是第二象限角.与角与角-75-75终边相同的角为终边相同的角为=-75=-75+k+k360360,kZ,kZ,因为因为-720-720360360,所以所以-720-720-75-75+k+k360360360360,即即-1 k1 ,-1 k1 ,故故k=-1,0,1,k=-1,0,1,当当k=-1k=-1时时,=-75,=-75+360+360(-1)=-435(-1)=-435,当当k=0k=0时时,=-75,=-75,当当k=1k=1时时,=-75,=-75+360+3601=2851=285.与与855855终边相同的角为终边相同的角为=855=855+k+k360360,kZ,kZ,因为因为-720-720360360,所以所以-720-720855855+k k360360360360即即-4 k-1 ,-4 k-1 ,故故k=-4,-3,-2.k=-4,-3,-2.当当k=-4k=-4时时,=-585,=-585;当当k=-3k=-3时时,=-225,=-225;当当k=-2k=-2时时,=135,=135.【规律总结规律总结】轴线角的表示方法轴线角的表示方法(1)(1)轴线角的集合轴线角的集合终边落在终边落在x x轴的非负半轴上的角的集合为轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360,kZ.x|x=k360,kZ.终边落在终边落在x x轴的非正半轴上的角的集合为轴的非正半轴上的角的集合为x|x=k360+180,kZ.x|x=k360+180,kZ.终边落在终边落在x x轴上的角的集合为轴上的角的集合为x|x=k180,kZ.x|x=k180,kZ.终边落在终边落在y y轴的非负半轴上的角的集合为轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360+90,kZ.x|x=k360+90,kZ.终边落在终边落在y y轴的非正半轴上的角的集合为轴的非正半轴上的角的集合为x|x=k360-90,kZ.x|x=k360-90,kZ.终边落在终边落在y y轴上的角的集合为轴上的角的集合为x|x=k180+90,kZ.x|x=k180+90,kZ.【拓展延伸拓展延伸】1.1.用等分象限法求角用等分象限法求角 所在的象限的方法所在的象限的方法求求 (n(n为正整数为正整数)所在的象限所在的象限,可将各个象限可将各个象限n n等分等分,从从第一象限离第一象限离x x轴最近的区域开始按逆时针方向依次重复轴最近的区域开始按逆时针方向依次重复标注数字标注数字1,2,3,4,1,2,3,4,直到将所有区域标完为止直到将所有区域标完为止.如果如果是是第几象限角第几象限角,则则 就在图中标号为几的区域内就在图中标号为几的区域内.如图如图(1)(1)将各象限将各象限2 2等分等分,若若在第三象限在第三象限,则则 就在标号为就在标号为3 3的的区域内区域内,即二、四象限的前半区域即二、四象限的前半区域.如图如图(2)(2)将各象限将各象限3 3等分等分,若若在第三象限在第三象限,则则 就在标号为就在标号为3 3的区域内的区域内,即即一、三、四象限一、三、四象限.依次类推依次类推.2.2.终边对称的角的表示方法终边对称的角的表示方法因为角的终边是一条射线因为角的终边是一条射线,所以在平面直角坐标系中所以在平面直角坐标系中,如果两个角具有对称性如果两个角具有对称性,那么这两个角就有一定的关系那么这两个角就有一定的关系.一般地一般地:若若与与的终边关于的终边关于x x轴对称轴对称,则则+=k360,kZ;+=k360,kZ;若若与与的终边关于的终边关于y y轴对称轴对称,则则+=(2k+1)+=(2k+1)180,kZ;180,kZ;若若与与的终边关于原点对称的终边关于原点对称,则则-=(2k+1)-=(2k+1)180,kZ.180,kZ.【巩固训练巩固训练】1.1.下列各选项中正确的是下列各选项中正确的是()A.A.第一象限角都是锐角第一象限角都是锐角B.B.三角形的内角必是第一、二象限的角三角形的内角必是第一、二象限的角C.C.不相等的角终边一定不相同不相等的角终边一定不相同D.|=k36090,kZ=|=k180+D.|=k36090,kZ=|=k180+90,kZ90,kZ【解析解析】选选D.D.利用排除法求解利用排除法求解.380.380角就是第一象限角角就是第一象限角,但不是锐角但不是锐角,排排除除A;A;三角形的内角可能有三角形的内角可能有9090角角,但是它的终边在坐标轴上但是它的终边在坐标轴上,不是第一、不是第一、二象限的角二象限的角,排除排除B;780B;780角和角和6060角的终边相同角的终边相同,但是不相等但是不相等,排除排除C;DC;D中中的两个集合都是终边落在的两个集合都是终边落在y y轴上的角的集合轴上的角的集合,它们相等它们相等,所以选所以选D.D.2.2.若若是第二象限角是第二象限角,则则 是是()A.A.第一象限的角第一象限的角B.B.第二象限的角第二象限的角C.C.第四象限的角第四象限的角D.D.第一象限或第二象限或第四象限角第一象限或第二象限或第四象限角【解析解析】选选D.D.因为因为是第二象限角是第二象限角,所以所以k k360360+90+90kk360360+180+180,kZ,kZ,则则k k120120+30+30 k k120120+60+60,kZ,kZ,取取k=0,k=0,得得 在第一象限在第一象限;取取k=1,k=1,得得 在第二象限在第二象限;取取k=2,k=2,得得 在第四象限在第四象限,故选故选D.D.【误区警示误区警示】本题易错选本题易错选A.A.错误的原因是由错误的原因是由是第二是第二象限角象限角,故取故取=150,=150,则则 =50,=50,为第一象限角为第一象限角.3.3.在在-1080-1080-360-360范围内范围内,找出与找出与20042004终边相同终边相同的角的角.【解析解析】先用含先用含k k的式子写出与的式子写出与20042004终边相同的角终边相同的角,再解关于再解关于k k的不等式的不等式,最后求出相应的角最后求出相应的角.与与20042004终边相同的角为终边相同的角为k k360360+2004+2004(kZ).(kZ).由由-1080-1080kk360360+2004+2004-360-360(kZ),(kZ),得得k=-7k=-7或或k=-8.k=-8.故所求的角为故所求的角为-516-516和和-876-876.类型三类型三:已知角的终边的范围求角的集合已知角的终边的范围求角的集合【典例典例3 3】写出终边落在图中阴影部分写出终边落在图中阴影部分(包括边界包括边界)的角的集合的角的集合.【解题指南解题指南】先写出终边为先写出终边为OA,OBOA,OB的角的角,然后结合图形将所求范围内的角然后结合图形将所求范围内的角写出写出.【解析解析】若角若角的终边落在的终边落在OAOA上上,则则=30=30+360+360k,kZ.k,kZ.若角若角的终边落在的终边落在OBOB上上,则则=135=135+360+360k,kZ.k,kZ.所以所以,角角的终边在图中阴影区域内时的终边在图中阴影区域内时,3030+360+360k135k135+360+360k,kZ.k,kZ.故角故角的取值集合为的取值集合为|30|30+360+360kk135135+360+360k,kZ.k,kZ.【延伸探究延伸探究】1.1.若本例条件不变若本例条件不变,试判断角试判断角-1310-1310的终边是否落在阴影区域内的终边是否落在阴影区域内?【解析解析】由由-1310-1310=-4=-4360360+130+130,所以角所以角-1310-1310与角与角130130的终边的终边相同相同,又又3030130130135135,所以角所以角-1310-1310的终边落在阴影区域内的终边落在阴影区域内.2.2.若将本例中阴影部分改为如图所示若将本例中阴影部分改为如图所示,则角的集合如何则角的集合如何?【解析解析】因为阴影部分含因为阴影部分含x x轴非负半轴轴非负半轴,故终边为故终边为OAOA的角的角=-30=-30+k+k360360,kZ,kZ,终边为终边为OBOB的角的角=135=135+k+k360360,kZ,kZ,所所以终边落在阴影部分以终边落在阴影部分的角的集合为的角的集合为|-30|-30+k+k360360135135+k k360360,kZ.,kZ.【规律总结规律总结】1.1.由角的终边的范围求角的集合的三个步骤由角的终边的范围求角的集合的三个步骤(1)(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角,(,(当角的范围当角的范围不含不含x x的非负半轴时的非负半轴时,一般在一般在00360360内找一个内找一个;当角的范围含当角的范围含x x的非负的非负半轴时半轴时,一般在一般在-180-180180180内找一个内找一个)写出所有与写出所有与,终边相同的角终边相同的角.(3)(3)用不等式表示区域内的角用不等式表示区域内的角,组成集合组成集合.2.2.各象限角的表示各象限角的表示第一象限第一象限:S=|k36090+k360,kZ;:S=|k36090+k360,kZ;第二象限第二象限:S=|90+k360180+k360,:S=|90+k360180+k360,kZ;kZ;第三象限第三象限:S=|180+k360270+k360,:S=|180+k360270+k360,kZ;kZ;第四象限第四象限:S=|270+k360360+k360,:S=|270+k360360+k360,kZ.kZ.【补偿训练补偿训练】如图所示阴影部分角的集合如图所示阴影部分角的集合为为.【解析解析】由题意由题意,知知S S1 1=|-45=|-45+k+k3603604545+k+k360360,kZ,kZ,S S2 2=|135=|135+k+k360360225225+k+k360360,kZ|,kZ|,S=SS=S1 1SS2 2=|-45=|-45+2k+2k1801804545+2k2k180180,kZ|-45,kZ|-45+(2k+1)180+(2k+1)1804545+(2k+1)+(2k+1)180180,kZ=|-45,kZ=|-45+n n1801804545+n+n180180,nZ.,nZ.答案答案:|-45|-45+n+n1801804545+n+n180180,nZ,nZ