河南省南阳市第一中学校2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题含答案.pdf

高二数学 1 南阳一中 2022 年秋期高二年级第一次月考 数学学科试题 南阳一中 2022 年秋期高二年级第一次月考 数学学科试题 一、单选题（本大题共 一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 小题，每小题 5 分，共 分，共 60 分）分）1设圆221:244Cxyxy，圆222:680Cxyxy，则圆1C，2C的公切线有（）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 2 设 aR，则“a2”是“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x（a1）y40 平行”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3过点4,2P且与直线3460 xy垂直的直线方程是（）A43190 xy B43100 xy C34160 xy D3480 xy 4已知点 A(1,2)与 B(3,3)关于直线0axyb 对称，则 a，b的值分别为（）A2，132B2，72C2，32D2，1325若直线l将圆22420 xyxy平分，且不通过第四象限，则直线l斜率的取值范围是()A0,1B10,2C1,12D0,26已知实数 x，y满足250 xy，那么22xy的最小值为（）A5 B C D 7 已知2,4A，10B,，动点 P 在直线1x 上，当PAPB取最小值时，点 P 的坐标为（）A81,5B211,5C1,2D1,1 8已知直线20lxy：与圆22:220C xyym相离，则实数 m的取值范围是（）A,0B1,2C1,4 D11,24高二数学 2 9若圆22:122Cxy关于直线260axby对称，由点,P a b向圆 C 作切线，切点为 A，则PA的最小值是（）A6 B4 C3 D2 10下列说法正确的是（）(1)在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程xya aR表示(2)方程20mxymR表示的直线的斜率一定存在(3)直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan(4)经过两点111,P x y，22212,P xyxx的直线方程为211121yyyyxxxxA.(1)(4)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(3)11.曲线与直线 y=k（x2）+4 有两个交点，则实数 k 的取值范围为（）A.）（,125B.53(,12 4C.1,125（D.1,43（12已知圆22:211Mxy，圆22:211Nxy，则下列是 M，N两圆公切线的直线方程为（）(1)y0(2)3x4y0(3)250 xy(4)250 xyA.(1)(3)(4)B.(2)(3)C.(1)(2)(4)D.(1)(2)(3)二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.直线二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.直线310 xy 310 xy 的倾斜角为.14 已知点 P（m，n）在圆22:229Cxy上运动，则2221mn的最大值为_ 15已知直线 l过点2,4P，且与圆22:4O xy相切，则直线 l的方程为_ 16.已知直线1110axayaa R过定点 A，若线段 BC 是圆 D：2246120 xyxy的直径，则AB AC_ 高二数学 3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题 10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线1:10laxby，2:(2)0laxya.（1）求直线2l经过定点的坐标；（2）当4b 且12ll/时，求实数a的值.18（本小题 12 分）已知直线:(21)(1)1170lxy，R.(1)若直线 l与直线1:(1)10lxy 垂直，求实数的值；(2)若直线 l在 x 轴上的截距是在 y轴上截距的 2 倍，求直线 l的方程.19（本小题 12 分）已知 的顶点3,4B，AB边上的高所在直线为1l：30 xy，BC边上的中线所在直线为2l：370 xy，E为AB的中点.(1)求点E的坐标；(2)求过点E且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程.高二数学 4 20（本小题 12 分）已知线段AB的端点B的坐标是5,1，端点A在圆221:1(3)4Cxy上运动(1)求线段AB的中点P的轨迹2C的方程；(2)设圆1C与曲线2C的两交点为M，N，求线段MN的长；(3)若点C在曲线2C上运动，点Q在x轴上运动，求AQCQ的最小值 21（本小题 12 分）已知圆221:68210Cxyxy(1)若直线1l过定点(1,1)A，且与圆 C相切，求直线1l的方程；(2)若圆 D的半径为 3，圆心在直线2:20lxy上，且与圆 C 相切，求圆 D的方程 22（本小题 12 分）已知圆 C 经过点52A，和3 2B，且圆心 C 在直线1l：20 xy上 (1)求圆 C的标准方程；(2)已知过点33M，的直线2l被圆 C所截得的弦长为 8，求直线2l的方程；(3)圆 C 关于直线1y 的对称圆是圆 Q，设11M xy，、22P xy，是圆 Q 上的两个动点，点 M关于原点的对称点为1M，点 M 关于 x轴的对称点为2M，如果直线1PM、2PM与 y 轴分别交于0m，和0n，问m n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.高二数学 5 南阳一中南阳一中 2022 年秋期高二年级第一次月考年秋期高二年级第一次月考 数学学科试题答案数学学科试题答案 1 B【详解】由题意，得圆2212:312Cxy，圆心11,2C，圆2222:534Cxy，圆心23,4C，125 32 1353CC，1C与2C相交，有 2 条公切线故选：B 2A【详解】解：若 a2，则直线 l1：2x2y10 与直线 l2：xy40 平行；若“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x（a1）y40 平行”，(1)20a a，解得 a2 或 a1，“a2”是“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x（a1）y40 平行”的充分不必要条件故选：A 3B【详解】由题设，与直线3460 xy垂直的直线斜率为43，且过4,2P，所以42(4)3yx，整理得43100 xy.故选：B 4A【详解】易知12ABk，则直线0axyb 的斜率为-2，所以2a ，即2a 又 AB的中点坐标为52,2，代入20 xyb，得132b .故选：A.5B【详解】由圆的方程22420 xyxy，可知圆心坐标为(2,1)，因为直线l将圆平分，所以直线l过圆心(2,1)，又由直线l不经过第四象限，所以直线l的斜率的最小值为0，斜率的最大值为max1 01202k，所以直线l的斜率的取值范围是10,2，故选 B.6A【详解】解：222200 xyxy可以看作直线250 xy上的动点xy，与原点的距离的平方，又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离，则22xy的最小值为222552+1，故选：A 7A【详解】点 B 关于直线1x 对称的点为13,0B =PAPB11PAPBAB,当且仅当当 A、P、1B三点共线时，等号成立此时PAPB取最小值，直线1AB的方程为4032(3)yx，高二数学 6 即435yx，令1x ，得85y 所以点 P 的坐标为：81,5 8D【详解】由22220 xyym，得22121xym，直线20l xy:与圆22:220C xyym相离，210,0 12212mm 解得1124m 实数 m 的取值范围是11,24，故选:D 9B【详解】由题意知，直线260axby过圆心1,2C，即2260ab，化简得30,abP a b 在30 xy 上，如图，为使PA最小，只需圆心1,2C 与直线30 xy 上的点的距离最小，如图所示：1 233 22d 所以PA的最小值为23 224，故选：B 10C【详解】对于(1)选项，当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等，如2yx但不能用xya aR表示，故(1)选项错误；对于(2)选项，方程20mxymR表示的直线的斜率为m，故(2)选项正确；对于(3)选项，若90，则直线斜率不存在，故(3)选项错误；对于(4)选项，经过两点111,P x y，22212,P xyxx的直线斜率2121yykxx，而12xx，则直线斜率存在，结合直线点斜式方程可知，(4)选项正确.故选：C 11.B【详解】由214yx 可化为22(1)4,1xyy，所以曲线为以(0,1)为圆心，2为半径的圆1y 的部分 直线(2)4yk x过定点(2,4)P，由图知，当直线经过(2,1)A 点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个且4 13224APk，由直线与圆相切得21 4221kdk，解得512k，则实数k的取值范围为53(,12 4 高二数学 7 12.答案：A【详解】圆 M的圆心为 M（2，1），半径11r 圆 N的圆心为 N（2，1），半径21r 圆心距2 52d，两圆相离，故有四条公切线又两圆关于原点 O 对称，则有两条切线过原点 O，设切线方程为 ykx，则圆心到直线的距离22111kk，解得 k0 或43k，对应方程分别为 y0，4x3y0另两条切线与直线 MN 平行，而1:2MNlyx，设切线方程为12yxb，则1114b，解得52b ，切线方程为250 xy，250 xy 1356 解析：直线310 xy 的斜率33k 设其倾斜角为，故可得tan33，又0,，故56.1464【详解】解：由题得圆心 C（2，2），半径 r32221mn表示圆 C上的点 P 到点2,1M 的距离的平方，因为5CM，所以max538PM，即2221mn的最大值为 64故答案为：64 1534100 xy或2x 【详解】因为2224204，所以点 P在圆外 当直线 l的斜率存在时，设其方程为42yk x，即为 2 240kxyk由题意知圆 O的圆心坐标为 O（0，0），半径因为圆心到切线的距离等于半径，所以22421kk，解得34k，故直线 l的方程为34100 xy当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为2x，也满足条件 故直线 l的方程为34100 xy或2x 故答案为：34100 xy或2x.16 7 【详解】直线1110axayaa R可以化为 110a xyxy ，令1010 xyxy ，解得01xy，所以点 A的坐标为(0,1)；因为圆 D：22231xy，所以半径为1，D(2,3)，2,2AD，因为线段BC是圆D的直径，所以0DBDC，1DBDC，高二数学 8 所以 AB ACADDBADDC28 17ADADDBDCDB DC 17.【详解】（1）20axya，20axxya，120a xyx令10 x 且20yx，则1x ，2y ，对任意aR，直线2:20laxya过定点1,2 （2）当4b 时，直线1:410laxy，即144ayx 又知直线2:20laxya，即2ya xa，12/ll，24aa且14a，83a.18.（1）因为直线 l 与直线1:(1)10lxy 垂直，所以(21)1(1)(1)0，解得0或2.（2）令0y，得7 1121x，令0 x，7 111y，由题意知7 117 112211，解得35或711，所以直线 l 的方程为220 xy或340 xy.19.(1)解：因为1ABl，而直线1l：30 xy 的斜率为1，所以直线AB的斜率为1，即直线AB的方程为：413yx，即10 xy，所以点A在直线AB与BC边上的中线的交点，37010 xyxy，解得1x，2y，所以顶点A的坐标1,2，而E为线段AB的中点，所以1 3 42,22E，即E的坐标2,3；(2)解：当直线l经过原点时，设直线l的方程为ykx，将E的坐标2,3代入可得32k，解得32k，这时直线的方程为32yx；当直线l不过原点时，设直线l的方程为1xyaa，将2,3E代入可得231aa，解得5a，这时直线l的方程为50 xy，综上所述：直线l的方程为32yx或50 xy.20.【解析】（1）设00(,)A xy，(,)P x y，点A在圆221:1(3)4Cxy（），所以有：22001(3)4xy，P是A，B的中点，005212xxyy，即002521xxyy，得P得轨迹方程为：22(3)(2)1xy；高二数学 9（2）联立方程22134xy和22321xy，得MN所在公共弦所在的直线方程230 xy，设1C到直线MN得距离为d，则23 34 555d,所以162 54255MN，4 55MN；（3）作出2C关于x轴得对称点232C，如图所示；连接12CC与x轴交于Q点，点Q即为所求，此时123293AQCQCC，所以AQCQ的最小值为293.21.【详解】（1）圆22:344Cxy的圆心(3,4)C，半径2r，因为直线1l过定点(1,1)A，所以可设直线1l的方程为221100a xb yab，因为直线1l与圆 C 相切，所以22232abab，整理得2125abb，则0b 或512ab，当0b 时，直线1l的方程为1x；当512ab 时，直线1l的方程为51270 xy所以直线1l的方程为1x 或51270 xy.（2）因为圆 D 的圆心在直线2:20lxy上，所以可设(,2)D m m，则2232CDmm 当圆 D 与圆 C 外切时，325CD ，即22325mm，解得1m 或6m，所以圆 D 的方程为22119xy或22689xy 当圆 D 与圆 C 内切时，321CD ，即22321mm，解得2m 或3m，所以圆D 的方程为22249xy或22359xy 综上，圆 D 的方程为22119xy或22689xy或22249xy或22359xy 22.解：因为圆心 C 在直线1l：20 xy上，所以设2C aa，又因为圆 C 经过点52A，和3 2B，所以2222522322aaaa ，且半径2234raa，解得0a，=5r，因此圆 C 的标准方程为22225xy 高二数学 10（2）解：因为直线2l被圆 C 所截得的弦长为 8，所以由垂径定理得圆心02C，到直线2l的距离为2285()32当直线2l的斜率不存在时，直线2l：3x 满足要求；当直线2l的斜率存在时，不妨设直线2l的方程为33yk x，即330kxyk，由圆心02C，到直线2l的距离2223331kdk，解得43k ，因此直线2l的方程为43210 xy综上所述，直线2l的方程为43210 xy或3x （3）解：因为02C，关于直线1y 的对称点为0 0，而圆 C 关于直线1y 的对称圆是圆 Q，所以圆 Q 的方程为2225xy因为点11M xy，关于原点和 x 轴的对称点分别为1M、2M，所以111Mxy，、211Mxy，又因为22P xy，当12xx时，点2M的坐标为221Mxy，则直线2PM与 x 轴垂直，不满足题意，所以12xx 当12xx 时，点1M的坐标为121Mxy，则直线1PM与 x 轴垂直，不满足题意，所以12xx，因此直线1PM的方程为211121yyyyxxxx，直线2PM的方程为211121yyyyxxxx 在方程211121yyyyxxxx中，令0 x 得211121yyyxyxx，即211221112112yyx yx ymxyxxxx在方程211121yyyyxxxx中，令0 x 得211121yyyxyxx，211221112112yyx yx ynxyxxxx 又因为11M xy，、22P xy，是圆 Q 上的两个动点，所以121225yx，222225xy，因122112211212x yx y x yx ymnxxxx222222221221122122221212252525xxxxx yx yxxxx，因此m n为定值