湖南省永州市2023届高三第二次适应性考试数学试题含答案.pdf

永州市 2023 年高考第二次适应性考试数学答案 第1页 共 9 页 永州市 2023 年高考第二次适应性考试试卷 数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A D B D B C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 题号 9 10 11 12 答案 ABC AC ACD BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 1310 1440 1549 162 10；5 部分小题答案部分小题答案 8解：由于,QAB过Q作AB的垂面QEF，如图可知,ABQE ABQF 过AB作平面BCD上的垂面ABM,如图，即面ABM 面BCD，可得BM与EF的交点即为满足条件的 P 点，从而QPB为PQ与面BCD所成角的最大角，故10sin4QPB=.平面QEF 平面ABC，过P作PHQE于H，连接BH，可知EQP就是PQ 与平面ABC所成角，在Rt QEP中，90EPQ=，cosQPEQPQE=，且QEB为等腰直角三角形，则QBQE=.tancos,QBPEQP=而10sin,42QPBQPBQBP=+=，15tan,5QBP=15cos5EQP=11解：如图建系，AB（3，0，0），AD（0，3，0），(3,3,0)AC.设平面 的法向量m（a，b，c），永州市 2023 年高考第二次适应性考试数学答案 第2页 共 9 页（第 11 题图二）（第 11 题图三）（第 11 题图一）依题知：|2|1|ABADmmmm=，求得(2,1,2)m=，所以点 C 到平面的距离|3|AC mdm=，所以1C到平面的距离是 5，故 A 对 B 错；平面 ABCD 与平面 夹角的余弦值是|23|nnmm=，C 对 因为点(0,0,3)B到平面 的距离为 2，3m=，所以 AB 在面 内射影向量是2524,3333mtAB=，1AD(0，3，3)，所以t与1AD夹角的余弦值是105，所以 AB 在平面 内射影与 AD1所成角的余弦值为105，D对正确答案 ACD 方法二：由勾股定理，易得点C到平面的距离是3，A对；如图一延长BD交面于点M，易知DMBD=32，在AMD中，ADM135o,由余弦定理求得AM35，过D作DNAM于N，由面积法求得DN35，如图二延长D1D交面于点E，过D作DHEN于H，则DH面于H，RtEDH中，DN35，DH1，HN25，EH52，ED23，ED122393，故D1到平面的距离是3，C1到平面的距离是5，B错；正方体底面ABCD与平面夹角的平面角为DNE，cosDNE=23,C对；如图三，分别过B，D1作BP面于P，D1Q面于Q，过B作BF/PQ交D1Q于F，BP2，D1Q3，D1B33，PQBF26，AP5，D1P35，由余弦定理求得118+53510cos5253 2D AP=，则AB在平面内射影AP与AD1所成角的余弦值是105，D对正确答案ACD 公众号：潍坊高中数学永州市 2023 年高考第二次适应性考试数学答案 第3页 共 9 页 12解：构造函数()lnxf xx=，()=lng xxx，2ln1()lnxf xx=，()f x在区间()1e，上递减，在区间(,+)e 上递增，ln1()=xg x，()g x在10e，上递减，在1e，+上递增，由极值点偏移知 A 错 B 对，1aeb，c1ed1，1()fx1()g x，1()fd1()g d，11,1 a，ad1，()f x在(,+)e 上递增，1()fc1()g c，1,e b ec，1()fc1()g c2.8572.86()f b，1bc，1bc，选 BCD 16解：依题知PB=2|PA|，2|PD|+|PB|2|PD|2|PA|2AD2 10，设点 D 关于圆 C 对应的阿波罗点为 E（0，m），依题知点（0，2），（0，2）分别到点 E，D 的距离之比为 22+323+2mm=，求得43m=，23，E（0，43），|PE|=23|PD|，3|PA|2|PD|3（|PA|23|PD|）3（|PA|PE|）3AE=5.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本题满分 10 分）解：（1）向量(2,)mba c=与向量(cos,cos)nAC=共线，(2)coscos0baCcA=，1 分 即(2sinsin)cossincos0BACCA=，2 分 2sincossin(+)sinBCA CB=，sin0B，1cos2C=，4 分 又()0,C，3C=5 分（2）由已知1sin2ABCSabC=6 分 3342ab=，所以2ab=7 分 永州市 2023 年高考第二次适应性考试数学答案 第4页 共 9 页 由余弦定理得222cos33abab+=，即225ab+=，联立2ab=8 分 解得21ab=或12ab=，9 分 所以3ab+=10 分 18（本题满分 12 分）解：（1）当2n时，11nnnnnaSSaa+=，即有12nnaa+=，1 分 所以2n时232nna=，2 分 因为12a=不符合上式，4 分 所以数列na的通项公式为22,13 2,2nnnan=.6 分（2）由（1）知，当是奇数时,，记bn的前10项的奇数项和为，则；7分 当是偶数时,，（或者），9分 记bn的前10项的偶数项和为，则，11分 所以数列 nb的前10项和.（注：写成952311也可）12分 19（本题满分 12 分）解：（1）由题可知四边形ABCD是正方形，E 是BC的中点，所以2,90ABBEABE=，1 分 又5AE=，2222554ABBEABAE+=，所以2AB=，2 分 又2 3PA=，60ABP=，由余弦定理可得:4PB=3 分 222ABAPPB+=，即ABPA，4 分 又AEPA且AEABA=，PAABCD 平面，6 分（2）由(1)知APABAD、两两垂直以 B 为原点，APABAD、所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则 A(0，0，0)，E(0，2，1)，)00,32(，P，(0,2,0)B，)2,0,0(D，于是(0,2 1)AE=，)0,0,32(=AP，(2 3,0,2)PD=，7 分 设0,1PFPD=，（），nnnba=T奇13579Taaaaa=+奇35723(2222)512=+=n222+11222(1)411+22()1+1(1)(1)111nnnnnbnnnnnnn+=+1112121122()111111nnnnnbnnnnnn+=+=+=+T偶11111111120252(1)10335577991111T=+=+偶10205762512101111TTT=+=+=奇偶公众号：潍坊高中数学永州市 2023 年高考第二次适应性考试数学答案 第5页 共 9 页 则2 32 302AFAPPFAPPD=+=+=（，），8 分 设平面AEF的法向量为(,)nx y z=，则00AE nAF n=20(2 32 3)20yzxz+=+=，令1y=，则332,2=xz，)2,1,332(=n，9 分 可知平面 PAB 的一个法向量(0,0,1)m=，10 分 所以223|cos,|2|2533m nm nm n=+（），解得13=或者1=（舍去）11 分 又224PDPAAD=+=，所以43PF=，即当平面AEF与平面PAB所成的夹角为30时，段PF长度为43.12 分 20（本题满分 12 分）解：（1）因为椭圆 C：2222+1xyab=的离心率是22，所以22112bea=，即 a=2b，2 分 因为2222+12xybb=过点 P（2,1），有2241+12bb=，3 分 联立 a=2b 解得6a=，3b=，故椭圆 C 的方程是22+163xy=5 分 法二：法二：因为椭圆 C：2222+1xyab=的离心率是22，所以22ca=，1 分 联立222abc=+可得 a=2b，2 分 因为2222+12xybb=过点 P（2,1），所以2241+12bb=，3 分 联立 a=2b 解得6a=，3b=，故椭圆 C 的方程是22+163xy=5 分 （2）依题意，直线 AB 存在斜率，设直线 AB 方程是ykxb=+，永州市 2023 年高考第二次适应性考试数学答案 第6页 共 9 页 联立22+163xy=，消去 y 得，()222124260kxkbxb+=，()()2222164 26 120k bbk=+设 A（x1，y1），B(x2，y2)，则 x1x2241+2kbk，x1x222621+2bk-，6 分 直线 PA：1111(2)2yyxx，令 x=0，得1122+12Myyx=-，同理2222+12Nyyx=-，依题意知+0MNyy=，即12122222+2022yyxx=-，7 分 122112(1)(2)+(1)(2)+(2)(2)0yxyxxx=-，122112(1)(2)+(1)(2)+(2)(2)0kxb xkxb xxx=-，1 212(1 2)+(21)(+)+40k x xkbxxb=-，8 分 22(1 2)(26)+(21)(4)+4(1+2)0kbkbkbbk=-，整理得226230bkbkb+=，即()()3210bkb+=，9 分 若210kb+=，则直线 AB 过点 P（2，1），不合题意，舍去，10 分 若30b+=，则直线 AB 过点（0,3），令 D（0,3），则点 Q 在以 PD 为直径的圆上，11 分 所以当 R 为 PD 的中点，即以 PD 为直径的圆的圆心时，|RQ|等于圆的半径，故存在定点()1,1R，使得|RQ|为定值5.12 分 21（本题满分 12 分）解：甲，乙，丙第 i 轮次感染分别记为事件 Ai，Bi，Ci()*Ni,且参会前的感染为第 1 轮感 染，无症状记为事件 E.（1）依题意，参会前甲已感染事件1A即是无症状感染事件 A1|E，1 分 所以 P(A1）P(A1|E)=1()()P A EP E 2 分 111221113222+=4 分（2）丙感染记为事件 F，111111()1326()=(|)2115()53326P B EP BP BEP E=+，14()5BP，5 分 公众号：潍坊高中数学永州市 2023 年高考第二次适应性考试数学答案 第7页 共 9 页 则2112211223|+(|)+FC ABC CAB B C C=，2112211223()(|+(|)+)P FP C AB C CAB B C C=21121211212132(|)()(|)(|)+()(|)(|)(|)P C AP B P C B P CAP B P B A P C A P C B=11124121+35335333=59135=，6 分 病毒由乙传染丙记为事件 M121223+BCB B C C，P(M)121223(+)P BCB B C C 1211212132()(|)+()(|)(|)(|)P B P C BP B P B A P C A P C B 114121+535333=17135=，7 分 丙感染是因为乙传染的事件即为 M|F，1717135(|)5959135P M F=故丙感染是因为乙传染的概率是1759 8 分（3）X的取值为0，1，2 P(X0)P(22B C)224339=，9分 P(X1)P(223223+B C CC B B)1221228+33333327=，10分 P(X2)P(22223223+B CB C CC B B)111211217+3333333327=，11分 X的分布列为：X 0 1 2 P 49 827 727()=+81422272727E X=12分 22（本题满分 12 分）解：（1）由2(2)()xtxxtf xe+=，可得 2(22)2(1)(2)()xxtxtxtxtxtfxee+=，1 分 当 t=0 时，()()21exxfx=，由()0fx得1x，由()0fx得1x，故()fx在(),1单调递增，在()1,+单调递减；2 分 当0t 时,令()0fx=，可得()0fx=的两根分别是 1 和21t，i）当0t 时，211t，由()0fx，得211xt，永州市 2023 年高考第二次适应性考试数学答案 第8页 共 9 页 由()0fx，得21xt 或1x 故()fx在区间21,1t（）上单调递增，在区间2(,1)t和(1,)+上单调递减.3 分 ii）当0t 时，211t 由()0fx，得1x 或21xt，由()0fx，得211xt.故()fx在区间21 1()t，上单调递减，在区间,1)（和2(1,)t+上单调递增.4 分 综上所述，当 t=0 时，()f x在区间(),1上单调递增，在区间()1,+上单调递减；当0t 时，()f x在区间21,1t（）上单调递增，在区间2(,1)t和(1,)+上单调递减；当0t 时，()f x在区间211t（，）上单调递减，在区间(,1)和2(1,)t+上单调递增.5分（2）由3222(ln22)0 xtxxtxexxxx+，0 x，可得：3222(ln22)xtxxtxxxxxe+，即222ln2xtxxtxxex+，6 分 构造函数2()ln2g xxxx=+，则原不等式转化为0 x 时，()()fxg x恒成立.2222122(2)(1)()1xxxxg xxxxx+=+=，7 分 当01x时，()0gx，当1x 时，()0gx，所以函数()g x在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+上单调递增，所以()()min11g xg=，8 分 当0t 时，()fx在21 1()t，上单调递减，在区间(,1)和2(1,)t+上单调递增，又222(1)1tfee+=，且当x趋向正无穷时，()fx的值趋于 0，故()()fxg x成立；9 分 当 t=0 时，()f x在(),1上单调递增，在()1,+上单调递减，故max2()1f xe=，又()min1g x=，故()()fxg x成立；10分 当0t 时，()fx在2(1,1)t单调递增，在2(,1)t和(1,)+上单调递减，i)若02t，则210t，公众号：潍坊高中数学永州市 2023 年高考第二次适应性考试数学答案 第9页 共 9 页 当01x时，则()0fx，当1x 时，则()0fx，所以()fx在()0,1单调递增，在()1,+单调递减，所以max22()(1)tf xfe+=又因为()1g x，()()fxg x恒成立，所以221te+，解得22et，所以202et，11 分 ii)若2t，则2011t，由（1）可知()fx在21,1t（）单调递增，在2(,1)t和(1,)+上单调递减，此时有22(1)1tfe+=，()()fxg x不恒成立 所以2t 不符合题意.综上，实数m的取值范围为2,2e.12 分