2023届广东省大湾区高三第一次联合模拟考试数学试题含答案.pdf
20232023 届大湾区普通高中毕业班联合模拟考试届大湾区普通高中毕业班联合模拟考试数学参考答案数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.题号题号1 12 23 34 45 56 67 78 8答案答案B BD DC CB BA AB BC CA A二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.题号题号9 9101011111 12 2答案答案ACACADADBCBCACAC三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.1311451512162 3四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10 分）解答：(1)由题可得1233,7,11aaa，2 分故*34(1)41()nannnN.4 分(2)116(1)(5)nnnbaa且41nan，故1614(4415)(2)nbnnn n 5 分11122nn.7 分11111111111232435112nTnnnn8 分3111342124nn.10 分18.（12 分）解：（）由条件及正弦定理可得(sinsin)cossincossincos0BCAABAC1 分即sincoscossinsincoscossin0BABACACA故sin()sin()0BACA则有sin()sin()BAAC3 分又(,),(,)BACA 故有BAAC，或()()BAAC（舍去），或()()BAAC（舍去）.5 分则2BCA，又ABC所以3A.6 分（）设ACB,在ABD和ACD中,由正弦定理可得,2sin()sin()sin()sin3434BDADCDAD8 分2sin()sin()3sin()sin344BDCD9 分3sinsin()42sin()sin()34310 分3sin3 131cossin22211 分tan96 3 12 分19（12 分）解：（）连接11,AB AB交于点O,连接OD2 分111ABCABC为三棱柱11ABB A为平行四边形,点O为1AB的中点又D为11BC的中点1ACOD4 分又111,ODABD ACABD平面平面11ACABD平面.6 分（2）解解法法 1 1：AAAABAACAABCA11 11 AABBCA面111 AABBAB面1 CAAB，2222 222211ACCBAB22,2,211BBABAB121212 ABABBBABAB即7 分以A为坐标原点，ACABAB,1分别为zyx,建立空间直角坐标系，(0,0,0)A,1(2,2,0)A,(2,0,0)B,1(0,2,0)B,1(2,2,2)C,(1,2,1)D 1,0,1 0,2,2 11DAAA8 分AACABACABABAB11 CABAB1 面即平面CAB1的一个法向量为0,0,11n9 分设平面DAA1的法向量为zyxn,2，则12120220 00AA nxyxzAD n 即1,11zyx，令)1,1,1(2n10 分设平面CAB1与平面DAA1所成夹角为，122121 1 0 1 0(1)13cos3311 11n nnn 11 分平面CAB1与平面DAA1所成夹角的余弦值是33.12 分解法解法 2 2：设点E为BC的中点,点F为AC的中点,连接DE交1BC于点Q,连接,AE AQ EF,设点P为AQ的中点,连接,EP FP.点E为BC的中点,点D为11BC的中点111=22EQBBEQBBQ且,点为1BC的中点11ACC A为矩形，1ACAA又1,ACAB ABAAA，11ACABB A平面7 分1ACAB1ACB 在中,11,2,2 2ACAB ACBC,可得12AB 1ABC 为等腰直角三角形,其中112,2 2ACABBC而点Q为1BC的中点，12AQBCAQ且8 分点P为AQ的中点,点F为AC的中点QEPF11112242FPBCFPCQBC且FPAQ9 分又RtABC 在中,2ABAC,点E为BC的中点2AEAEQ 在中,2AEEQAQ，且点P为AQ的中点62EPAQEP且EPF 即为平面1ABC与平面1AAD所成的夹角10 分EFP 在中,1261,222EFABFPEP11 分2223cos23EPFPEFEPFEP FP12 分20（12 分）解：（1）由已知1(6,)2XB，2 分所以(2)(0)(1)(2)P XP XP XP X061522466611111161511()()()()2222264646432CCC；5 分（2）由已知1(,)2XB n，所以()0.5E Xn，()0.25D Xn，7 分若0.40.6Xn，则0.40.6nXn，即0.10.50.1nXnn，即0.50.1Xnn.8 分由切比雪夫不等式20.2510.5(0.10).1nnnP Xn 1，10 分要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在 0.4 与 0.6 之间，则20.2510.98(0.1)nn1，解得1250n，所以估计信号发射次数n的最小值为 1250.12 分21（12 分）解：（1）令1122(,),(,)A x yB xy，22yx，2yx，1yy，11PAky1111:()PAlyyxxy2 分又(1,2)P 1111111:2(1)(1)2PAlyxyxy 3 分1112111(1)2622yxyyx 4 分同理可得226y .5 分1212122 6,2()4 6yyxxyy ，22221212|()()(4 6)(2 6)2 30ABxxyy.6 分（2）令33(,)C xy，由条件知1230yyy.7 分1sin2(1)(1)1sin2ABCBMNAB BCABCSABBCAMCNSBMBNBMBNBM BNABC8 分31313122222(1)(1)1yyyyyyyyyy 213112112222222()222yyyyyyy yyyy2211122219224yyyyyy 10 分4|3|AMBM，12|3|4yAMBMy12304yy 11 分当1212yy 时,ABCBMNSS取得最大值94.12 分22（12 分）解：（1）证明：（1）1()xef xx的定义域为(,0)(0,)1 分121()xxefxx，令()0fx，得：1x，2 分当x变化时()()f xf x，的关系如下表：x(,0)0(0,1)1(1,)()fx0()f x()f x在(,0)，(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增.4 分（2）证明：要证ln2abab，只需证：lnln2abba根据lnlnabba，只需证：ln1ba6 分不妨设ab，由lnlnabba得：lnlnaabb；两边取指数，lnlnaabbee，化简得：abeeab7 分令：(),()()xeg xg ag bx则，1()()xe eg xef xx,根据（1）得()g x在(,0)，(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增（如下图所示），由于()g x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，要使()()g ag b且ab，则必有01,1ab，即01ab 由01ab 得：1,1 ln1ba.8 分要证ln1ba，只需证：1 lnba，由于()g x在(1,)上单调递增，要证：1 lnba,只需证：()(1 ln)g bga，9 分又()()g ag b，只需证：()(1 ln)g aga，10 分只需证：1 ln1 ln1 lnaaeeeaaaa，只需证：1 lnaeae，只需证：1 ln1aaee，只需证：1 ln10aaee，即证1 ln0aaee，令1 ln(),(01)xxxexe，(1)0，1 ln()aaaee只需证：()0,(01)xx，111()xxxxeexxeexexeex e ，令(),xh xeex(1)0,()0,(01)xhh xeex，()(0,1)h x 在上单调递减，所以()10h xh，所以()0 xxeexxex e 所以()(0,1)x在上单调递减，所以()10 x所以()0a所以：ln2abab.12 分
