广东省广州市华南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期1月期末数学试题含答案.pdf
试卷第 1 页 共 4 页 华南师大附中华南师大附中 2022-2023 学年第一学期期末考试学年第一学期期末考试 高二数学高二数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 100 分考试用时 120 分钟 注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂.2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3回答第卷时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内，不准使用铅笔和涂改液不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第第卷卷 一、单选题：一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1过点1,2和点0,3的直线在x轴上的截距为（）A3 B1 C3 D1 2设数列 na的前n项和21nSn，则6a的值为（）A11 B10 C9 D8 3若直线l的方向向量是3,2,1a，平面的法向量是1,2,1u ，则l与的位置关系是（）Al B/l Cl与相交但不垂直 D/l或l 4若直线220 xy为圆22()1xay的一条对称轴，则a（）A12 B12C1D1 5已知等比数列 na的前n项和为nS，若232aa，344aa，则8S（）A80 B85 C90 D95 6已知正项等差数列 na的前n项和为nS，若28793aaa，则158Sa的值为（）A3 B14 C28 D42 7已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，点 M 在抛物线 C 的准线 l上，线段MF与 y轴交于点 A，与抛物线C交于点 B，若|1|3ABMA，则p（）A1 B2 C3 D4 8已知 O为坐标原点，P是椭圆2222:10 xyEabab上位于 x 轴上方的点，F为右焦点.延长 PO，PF交椭圆 E 于Q，R两点，QFFR，3QFFR，则椭圆 E的离心率为（）A33B22C53D104试卷第 2 页 共 4 页 NMC1A1B1CBA二、二、多选题：多选题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得 3 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.9已知数列 na的前 n项和29nSnn，则下列结论正确的是（）A na是等差数列 B460aa C910aa DnS有最大值814 10已知曲线22:1C mxny，则()A若4mn，则曲线C是圆,其半径为2 B若0mn，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上 C若曲线C过点(2,3)，15(,2)3，则C是双曲线 D若0mn，则曲线C不表示任何图形 11意大利人斐波那契于 1202 年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，即从第三项开始，每一项都是它前两项的和后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列下面关于斐波那契数列 na说法正确的是（）A12144a B2022a是偶数 C20221232020aaaaa D2020202420223aaa 12抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C yx O为坐标原点.一束平行于x轴的光线1l从点,11P mm 射入，经过C上的点11,A x y反射后，再经C上另一点22,B xy反射后，沿直线2l射出，经过点Q，则（）A121y y B延长AO交直线14x 于点D，则,D B Q三点共线 C2516AB D若PB平分ABQ，则4116m 第第卷卷 三、三、填空题：填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分 13若双曲线221yxm的一条渐近线方程为3yx，则实数m _ 14如图，直三棱柱111ABCABC中，90BCA，MN，分别是11AB，11AC的中点，1BCCACC，则BM与AN所成角的余弦值为_.试卷第 3 页 共 4 页 15已知正项数列 na前n项和nS满足12nnnaaSm mR，且3510aa，则m _.16如图，已知椭圆222210 xyabab的右顶点和上顶点分别为,A B，左焦点为F，以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于,M N两点.若四边形FAMN是平行四边形，且平行四边形面积为96，则椭圆的长轴长为_.四、解答题：四、解答题：本大题共 6 小题，满分 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.17（本题满分 8 分）在ABC中，7cos8A，3c，sin2sinBA且bc.（1）求b的值；（2）求ABC的面积 18（本题满分 8 分）已知数列 na满足194a 且134nnaa.（1）求数列 na的通项公式；（2）设数列 nb满足30nnbna，求 nb的前n项和为nT.19（本题满分 8 分）如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为 2，D 为1CC中点.（1）求证：1AB 平面1ABD；（2）求二面角1AADB的正弦值.xyFOABCNMDAA1C1CBB1试卷第 4 页 共 4 页 20（本题满分 8 分）如图，已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，且经过点(2Ap，)(0)m m，|5AF （1）求p和m的值；（2）若点M，N在C上，且AMAN，证明：直线MN过定点 21（本题满分 10 分）某高科技企业研制出一种型号为 A 的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为 A 型车床所创造价值的第一年）.若第 1 年 A 型车床创造的价值是 250 万元，且第 1 年至第 6 年，每年 A型车床创造的价值减少 30 万元；从第 7 年开始，每年 A 型车床创造的价值是上一年价值的 50%.现用na（*Nn）表示 A型车床在第 n年创造的价值.（1）求数列(N)nan的通项公式na；（2）记nS为数列 na的前 n 项的和，nT nSn，企业经过成本核算，若100nT 万元，则继续使用 A型车床，否则更换 A 型车床，试问该企业须在第几年年初更换 A 型车床？22（本题满分 10 分）已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为12FF、，右顶点A在圆22:3O xy上，且 121AF AF.（1）求双曲线C的标准方程；（2）动直线l与双曲线C恰有 1 个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M、N，设O为坐标原点.求证：点M与点N的横坐标之积为定值；求MON周长的最小值.xyNOFAM试卷第 1 页 共 10 页 华南师大附中华南师大附中 2022-2023 学年第一学期期末考试学年第一学期期末考试 高二数学参考答案高二数学参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D C B D C B 7解：设 l与 x 轴的交点为 H，由 O 为FH中点，知点 A 为MF的中点，因为|3|3MAAB，所以|6,|2,|4MFBFBM 过点 B作BQl，垂足为 Q，则由抛物线的定义可知|2BQBF，所以|2|BMBQ，则|2|6MFFH，所以|3pFH 8解：如图，设左焦点为1F，连接1PF，1QF，1RF，由题意可知P，Q关于原点对称，所以四边形1PFQF为平行四边形.又因为QFRF，所以四边形1PFQF为矩形.设PFm，则12QFPFam.又因为3QFFR，所以23amFR，143amFR，223amPR，在1Rt FPR中，由22211PFPRFR，即222224233amamam，解得ma或2ma（舍去），故点 P 为椭圆的上顶点.由1FPPF，可得22211FPPFFF，即2222aac，即222ac，也即212ca，故离心率222cceaa.二、多选题 题号 9 10 11 12 答案 AB BC ABD BCD 11.解：易知，数列na满足递推关系21nnnaaa选项 A：12111010998877623253858 13 5 8144aaaaaaaaaaa ；故 A 正确；选项 B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，2022674 3，恰好能被 3 整除，且3a为偶数，所以2022a也为偶数，故 B 正确；试卷第 2 页 共 10 页 选项 C：若选项 C 正确，又202220212020aaa，则2021122019aaaa，同理2020122018aaaa，2019122017aaaa，依次类推，可得412aaa，显然错误，故 C 错误；选项 D：202420232022202220212aaaaa，又202020222021202220202021202220202024223aaaaaaaaa，故 D 正确.12.解：根据题意，由2:C yx得1,04F，又由/PA x轴，得1,1A x，代入2:C yx得11x，则1,1A，所以141314AFk，故直线AF为4134yx，即4310 xy，依题意知AB经过抛物线焦点F，故联立24310 xyyx，解得11614xy，即11,164B，对于 A，因为12141,yy ，故1214y y ，故 A 错误；对于 B，易得AO的方程为yx，故11,44D，又/BQ x轴，所以,D B Q三点的纵坐标都相同，则,D B Q三点共线，故 B 正确；对于 C，计算可得2211251116416AB，故 C 正确.对于 D，若PB平分ABQ，则ABPPBQ，又因为/PA x轴，/BQ x轴，所以/PA BQ，故APBPBQ，所以APBABP 所以2516PAAB，即251,16m 4116m.所以 D 正确.三、填空题 13.9 143010 15-1 16.10 5 14.解：以C为原点，1,CA CB CC的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设12BCCACC，则有2,0,0A，1,0,2N，0,2,0B，1,1,2M，1,0,2AN ，1,1,2BM，公众号：潍坊高中数学试卷第 3 页 共 10 页 因为1 430cos,1056AN BMAN BMAN BM，所有BM与AN所成角的余弦值为3010.15.解：12nnnaaSm，111(1)2nnnaaSm，1111(1)(1)22nnnnnnnaaa aaSS，11()(1)0nnnnaaaa，0na，10na，110nnaa，即11nnaa，所以na是等差数列，公差为 1，35112410aaaa，12a，1111(1)2a aSam，即2(2 1)22m，1m 故答案为：1 16.解：由题意知,0A a，0,Bb，,0Fc，直线:1xyBFcb，即0bxcybc，直线BF与圆O相切，圆O的半径22bcbcrabc，即0,bcCa.四边形FAMN为平行四边形，/MN FA，将bcya代入椭圆方程得xb，即2MNb，又FAac，2acb，222222444acacbac，即225230caca，25230ee，解得1e （舍）或35e.即35ca，22221625baca，223232255296FAMNaabcb cSMNOCbaaa，解得5 5a，椭圆长轴长210 5a.四、解答题 17解：（1）因为sin2sinBA，由正弦定理sinsinabAB可得sin2sinabAA，所以2ba.因为7cos8A，3c，由余弦定理2222cosabcbcA可得227968abb，将2ba代入可得22760aa，解得2a 或32a.试卷第 4 页 共 10 页 当32a 时，23bac，不合题意.当2a 时，24bac，符合题意.故4b.（2）因为7cos8A，(0,)A，所以215sin1 cos8AA，故ABC的面积11153 15sin4 32284SbcA .18解：（1）由题意知数列 na满足194a 且134nnaa，na是首项为94，公比为34的等比数列，19333444nnna ；（2）由30nnnba，得334nnnnban，所以233333234444nnTn ，则234133333321,4444443nnnTnn 两式相减得234113333334444444nnnTn 13143433414nnn 1333344nnn ，所以3123124nnnT.19（1）证明：取BC中点O,连接AO，ABC为正三角形,AOBC,正三棱柱111,ABCABC平面ABC 平面11BCC B且相交于BC,又AO 平面ABC，AO平面11BCC B，取11BC中点1O,则11/OOBB，1BBBC，1OOBC，1OO 平面11BCC B，1AOOO.公众号：潍坊高中数学试卷第 5 页 共 10 页 故以O为原点,建立如图所示空间直角坐标系Oxyz,则(1,0,0),(1,1,0)BD，根据上下底面为正三角形，易得11(0,2,3)(0,0,3),(1,2,0),(1,0,0)AABC，1(1,2,3),(2,1,0)ABBD，1(1,2,3)BA .1110,0AB BDAB BA,111,ABBD ABBA,1BDBAB，且1,BD BA 平面1ABD，直线1AB 平面1ABD.解：（2）设平面1A AD的一个法向量为(,)nx y z，(1,1,3)AD ，1(0,2,0)AA，则100n ADn AA，即3020 xyzy，令1z，得(3,0,1)n .由（1）得1(1,2,3)AB 为平面1ABD的法向量.易得2 364|c|o,2 8s|n ABn ABnAB.设二面角1AADB的平面角为,则2610sin144，二面角1AADB正伭值的大小为104.20解：（1）由抛物线定义知：|252pAFp，则2p，又(4A，)(0)m m在抛物线上，则244m，可得4m （2）证明：设1(M x，1)y，2(N x，2)y，由（1）知：(4,4)A，所以11(4,4)AMxy，22(4,4)ANxy，又AMAN，所以121212121212(4)(4)(4)(4)4()4()320 xxyyx xxxy yyy，令直线:MN xkyn，联立2:4C yx，整理得2440ykyn，且216160kn，所以124yyk，124y yn，则21212()242xxk yynkn，222121212()x xk y ykn yynn，综上，2216121632(48)(44)0nknknknk，当84nk时，:(4)8MN xk y过定点(8,4)B；当44nk时，:(4)4MN xk y过定点(4,4)，即A，M，N共线，不合题意；试卷第 6 页 共 10 页 所以直线MN过定点(8,4)B，得证 21解：（1）由题意知126,a aa构成首项1250a，公差30d 的等差数列，故*280306,Nnan nn（万元）.由题意知*78,7,Nna aann构成首顶761502aa，公比12q 的等比数列，故7*1507,N(2nnann万元).于是，*728030,16(N)150,72nnnnann（万元）.（2）由（1）得 na是单调递减数列，于是，数列 nT也是单调递减数列.当16n时，265 15nnSTnn，因为 nT单调递减，6175100T（万元）.所以100nT（万元）；当7n 时，6611001050 1001115022nnnnSTnnn，当11n 时，11104T（万元）；当12n 时，1296T（万元）.所以，当*12,Nnn时，恒有96nT.故该企业需要在第 11 年年初更换 A 型车床.22：解：（1）由题意可知3,0A，即3a.设双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1,0Fc、2,0Fc，则13,0AFc ，23,0AFc，因为121AF AF，所以231c，即24c.又由222cab可得21b，公众号：潍坊高中数学试卷第 7 页 共 10 页 故双曲线C的标准方程是2213xy.（2）由题意可知直线l与双曲线C相切.（i）当直线l与双曲线C相切于双曲线顶点时，易知两条切线分别是3x ，此时易知点M与点N的横坐标同时为3或3，故点M与点N的横坐标之积为3.（ii）当直线l与双曲线C相切于双曲线顶点之外时，不妨设切点为00,xy，则切线即直线l的方程应为0013x xy y，其中220013xy.双曲线:C2213xy易知其两条渐近线分别是33yx.由003313yxx xy y可得003133xyx，由003313yxx xy y 可得003133xyx，易得00003313333xyxyxx，即22200193xyx，也即2220033xyx，即23x，也即点M与点N的横坐标之积为3.综上，点M与点N的横坐标之积为3.（2）（法 1）设1122,M x yN xy，由知 M、N 在双曲线同侧：22221112222 32 3,33OMxyxONxyx 2222121212122 33MNxxyyxxx x 221212121212122 32 32 32 32 322633333MONOMONMNxxxxx xx xx xx x所以周长为的 当且仅当121233xxxx，即取等.试卷第 8 页 共 10 页 故MON周长的最小值是 6.（2）（法 2）由可知点M与点N的坐标分别是000033,33xyxy，000033,33xyxy，则2200003333OMxyxy002 33xy，2200003333ONxyxy002 33xy，220000000033333333MNxyxyxyxy2016123x.根据图形对称性，不妨设切点00,xy在第一象限或为双曲线的右顶点，则0030 xy，即0030 xy，易知MON周长002 33xy20002 3161233xxy 002 33xy002 33xy2016123x 022004 33xxy2016123x 2004 3161233xx.记200004 31612333f xxxx 显然函数0f x在3,上单调递增，所以036f xf，故MON周长的最小值是 6.（2）（法 3）设直线l与x轴交于点D，双曲线C的渐近线方程为33yx,当直线的斜率不存在时，直线的方程为=3x，所以3,2ODMN,所以132OMON.此时OMN的周长为6OMONMN，此时3MNxx.当直线的斜率存在时，设其方程为(0)ykxm k，则(,0)mDk，公众号：潍坊高中数学试卷第 9 页 共 10 页 联立2213ykxmxy，得222(13)6330kxkmxm，由于直线l与双曲线C恰有 1 个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别相交，所以直线与双曲线的渐近线不平行，所以2130k且0m，所以22222364(13)(33)0130k mkmk，所以22310km.则22310mk,得33k或33k.设1122(,),(,)M x yN xy，由33ykxmyx，解得3333(,),(,)33333333mmmmMNkkkk，则222333()()333333mmmOMkkk，222333()()333333mmmONkkk，22222331333()()1333333333mkmmmmMNkkkkk.又22221331133MNmkx xkk，为定值，所以OMN的周长为2221111333333kOMONMNmkkk，当33k时，周长为 试卷第 10 页 共 10 页 2222222111221212 3113333313333kkkkkmmkkkkk.当33k时，周长为 2222222111221212 3113333313333kkkkkmmkkkkk,因为222222212122113113121111442kkkkkkkkkk，所以当33k时，周长大于2 336.当33k时，周长大于2 336.综上所述，OMN周长的最小值为 6.公众号：潍坊高中数学
