《插值法概述》PPT课件.ppt
插值法插值法插值法 插值法的一般理论插值法的一般理论 Lagrange插值插值Newton插值插值分段低次插值分段低次插值Hermite插值、样条插值插值、样条插值实际问题实际问题期望期望试验数据试验数据观测数据观测数据期望期望内在规律内在规律期望期望函数关系函数关系一、数学的期望一、数学的期望 插值法概述插值法概述实验数据是否存在内在规律实验数据是否存在内在规律?实验数据的内在规律是什么实验数据的内在规律是什么?实验数据的内在规律是否有函数解析式实验数据的内在规律是否有函数解析式?反映内在规律的解析式是什么反映内在规律的解析式是什么?二、数学的苦恼二、数学的苦恼数学的苦恼实例实例1标准正态分布函数标准正态分布函数 (x)求求(1.014)查查 函函 数数 表表三、插值引例三、插值引例插值引例实例实例2xy机翼下轮廓线求机翼下轮廓线上一点的近似数值求机翼下轮廓线上一点的近似数值该点的值是多少?插值引例求任一插值点求任一插值点处的函数值处的函数值或无解析形式或无解析形式,节点可视为由节点可视为由产生，产生，表达式复杂表达式复杂,或未知。或未知。已知已知 n+1个节点个节点其中其中互不相同，不妨设互不相同，不妨设四、插值问题的提法四、插值问题的提法插值问题的提法 构造一个构造一个(相对简单的相对简单的)函数函数通过全部节点通过全部节点,即即再用再用计算插值，即计算插值，即五、求解插值问题的基本思路五、求解插值问题的基本思路求解插值问题的基本思路插值的基本原理插值的基本原理常见的插值方法常见的插值方法 拉格朗日插值，拉格朗日插值，分段线性插值，分段线性插值，三次样条插值三次样条插值 牛顿插值牛顿插值 Hermite插值插值插值多项式插值多项式:存在性、唯一性、收敛性存在性、唯一性、收敛性误差估计误差估计六、本章主要内容六、本章主要内容主要内容七、插值法的一般定义七、插值法的一般定义插值法的一般定义插值法的一般定义定理定理1证明设有设有n+1个互不相同的节点个互不相同的节点则存在唯一的多项式：则存在唯一的多项式：使得使得构造方程组构造方程组 一般插值多项式的原理一般插值多项式的原理令：令：方程组的矩阵形式如下：方程组的矩阵形式如下：所以方程组（所以方程组（4）有唯一解。）有唯一解。证毕证毕 此定理说明只要此定理说明只要n+1个节点互异，满足上述插值条件个节点互异，满足上述插值条件的多项式是唯一存在的。的多项式是唯一存在的。一般插值多项式的原理 我们的问题是如何确定我们的问题是如何确定 进而求得进而求得 事实上，方程组的解事实上，方程组的解 a0,a1,an 存在且唯一。存在且唯一。解出解出ai(i=0,1,2,n),Pn(x)就可构造出来了。但遗憾就可构造出来了。但遗憾的是此方程组是病态方程组的是此方程组是病态方程组,当阶数当阶数n越高时，病态越越高时，病态越重。为此我们从另一途径来寻求获得重。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x)的方法的方法-用程序和用程序和Lagrange插值、插值、Newton插值等。插值等。一般插值多项式的原理第一节第一节 Lagrange插值法插值法插值法 Lagrange插值法的一般理论插值法的一般理论 Lagrange插值基函数插值基函数Lagrange插值余项和误差估计插值余项和误差估计Lagrange插值多项式的构造插值多项式的构造已知已知 n+1个节点个节点其中其中互不相同，不妨设互不相同，不妨设的插值多项式的插值多项式一、一、Lagrange插值多项式的构造插值多项式的构造Lagrange插值多项式的构造线性插值线性插值基函数基函数称为线性插值多项式称为线性插值多项式Lagrange插值多项式的构造Lagrange插值多项式的构造Lagrange插值多项式的构造基基函函数数的的图图形形Lagrange插值多项式的构造Lagrange插值多项式的构造拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值多项式插值多项式 二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)插值插值优点优点:结构紧凑结构紧凑,理论分析方便理论分析方便 缺点缺点:改变一个节点则全改变一个节点则全部的插值基函数都改变部的插值基函数都改变,即节点增加即节点增加,基函数失效基函数失效 Lagrange插值三、拉格朗日插值的余项与误差估计三、拉格朗日插值的余项与误差估计定理定理2证明Lagrange插值余项与误差估计Lagrange插值余项与误差估计证毕证毕更有更有特别地特别地,当当n=1时时,线性插值余项为线性插值余项为:Lagrange插值余项与误差估计当当n=2时时,抛物插值的余项为抛物插值的余项为:误差估计误差估计Lagrange插值余项与误差估计注意注意1、此结论适合所有插值多项式。证明、此结论适合所有插值多项式。证明过程并未涉及插值多项式的形式。过程并未涉及插值多项式的形式。2、形式上与泰勒余项形式上与泰勒余项很相象，但很相象，但Taylor多项式要求在同一点上各阶导数值相多项式要求在同一点上各阶导数值相等，而插值多项式要求在等，而插值多项式要求在n+1个不同点上函数值相等。个不同点上函数值相等。Lagrange插值余项与误差估计例例1解解Lagrange插值余项与误差估计Lagrange插值余项与误差估计 这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。其截断误差为其截断误差为Lagrange插值余项与误差估计其中其中于是于是Lagrange插值余项与误差估计将将0,/2 n等分，用等分，用g(x)=cos(x)产生产生n+1个节点，个节点，作作Ln(x)（取（取n=1,2),计算计算cos(/6)。若若n=1,则则(x0,y0)=(0,1),(x1,y1)=(/2,0),例例2解解 cos(/6)=0.6667Lagrange插值余项与误差估计cos(/6)=L2(/6)=0.8508 精确值：精确值：cos(/6)=0.8660Lagrange插值余项与误差估计Runge现象现象:四、拉格朗日插值多项式的振荡四、拉格朗日插值多项式的振荡x0=0;x1=1.5;x2=5.1;y0=-1;y1=4.25;y2=35.21;m0=(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2);m1=(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)(x1-x2);m2=(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)(x2-x1);Lx_,n_:=y0*m0+y1*m1+y2*m2Lx,nSimplify%/NLagrange程序程序1因式分解形式的因式分解形式的化简或展开化简或展开Lagrange插值多项式的振荡x0=1;x1=10;x2=11;x3=15;x4=16;wx=Productx-xi,i,0,4;l0 x=wx/(Dwx,x/.x-x0)/(x-x0);l1x=wx/(Dwx,x/.x-x1)/(x-x1);l2x=wx/(Dwx,x/.x-x2)/(x-x2);l3x=wx/(Dwx,x/.x-x3)/(x-x3);l4x=wx/(Dwx,x/.x-x4)/(x-x4);程序程序2Lagrange插值多项式的振荡y0=1;y1=2;y2=3;y3=4;y4=5;Lx_,n_:=y0*l0 x+y1*l1x+y2*l2x+y3*l3x+y4*l4x;Lx,nExpand%展开乘积与幂，即把多项展开乘积与幂，即把多项式写成单个项的和的形式式写成单个项的和的形式Lagrange插值多项式的振荡fx_:=ExpxA=Tablex,fx,x,0,0.8,0.2/Ng1=ListPlotTableA,Prolog-AbsolutePointSize18;InterpolationA,InterpolationOrder-3g2=Plot%x,x,0,0.8Showg1,g2N%0.12,20N%0.72,20Nf0.12,20Nf0.72,20 插值法主程序插值法主程序Lagrange插值多项式的振荡内容小结内容小结1.插值法概述；插值法概述；内 容 小 结2.一般插值多项式原理；一般插值多项式原理；3.拉格朗日插值；拉格朗日插值；4.拉格朗日插值余项和误差估计；拉格朗日插值余项和误差估计；5.拉格朗日插值多项式的构造。拉格朗日插值多项式的构造。X=x0,x1,x2,x3=10,11,12,13;y=y0,y1,y2,y3=2.3026,2.3979,2.4849,2.5649;A=TransposeTablex0j,x1j,x2j,x3j,j,0,3;MatrixForm%;AA=LinearSolveA,y/NX1=1,x,x2,x3;X1.AAN%/.x-11.75,10可产生向量、可产生向量、矩阵等矩阵等一般插值多项式的原理A=0,-1,1.5,4.25,5.1,35.21g1=ListPlotTableA,Prolog-AbsolutePointSize10;InterpolationA,InterpolationOrder-2g2=Plot%x,x,0,5.1;Showg1,g2N%3.66,5绘制点图绘制点图点的绝对点的绝对直径直径插值、插入插值、插入一般插值多项式的原理插插值值法法Lagrange插值插值Newton插值插值样条插值样条插值误差估计误差估计分段插值分段插值两点式两点式点斜式点斜式等距节点等距节点算法算法比较比较推广方法推广方法均差均差差分差分知识结构框图知识结构框图
