人教版八年级数学上册13.4最短路径问题(1)课件.pptx

13.4课题学习最短路径问题复习回顾如图，从A点到B点有三条线路，哪条最短？依据：两点之间，线段最短。依据：两点之间，线段最短。复习回顾如图，点A是直线 l 外一点，点A到直线的所有线路中，最短的是？依据：垂线段最短。依据：垂线段最短。依据：垂线段最短。依据：垂线段最短。复习回顾如图，点A，点B是直线l两侧的点，请在直线l上找一点C,使AC+BC最短。新知探究 问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到饮马，然后到B 地到地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl新知探究精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马”。你能将这个问题抽象为数学问题吗？BAl新知探究追问追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 BAl新知探究追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？BAlC如图，在直线如图，在直线l上找一点上找一点C，使，使AC+BC最短。最短。新知探究问题问题转化 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直线上的一个动点，是直线上的一个动点，当点当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？BlA新知探究作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？BlABC新知探究追问追问3 3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABC新知探究若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC+BC，就说明，就说明AC+BC 最小最小 BlABCC追问追问4 4证明证明AC+BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC+BC AC+BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？运用新知练习如图，一个旅游船从大桥练习如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前往山处前往山脚下的脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返上，再返 回回P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥新课推进 问题问题2 如图，如图，A和和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥桥MN.桥造在何处才能使从桥造在何处才能使从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假定河的两最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA新课推进BA 追问追问1 如图假定任选位置造桥，如图假定任选位置造桥，连接和，从连接和，从A到到B的路径是的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下，那么怎样确定什么情况下最短呢？最短呢？追问追问2 利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？如何解决？如何解决？新课推进BAA1MN解：如图，平移解：如图，平移A到到A1，使，使A1等于河等于河宽，连接宽，连接A1交河岸于作桥，交河岸于作桥，此时路径最短此时路径最短.理由；另任作桥理由；另任作桥，连接，连接，.由平移性质可知，由平移性质可知，.AM+MN+BN转化为转化为，而，而转化为转化为.在在中，由线段公理知中，由线段公理知A1N1+BN1A1B因此因此 AM+MN+BN仅供学习交流！仅供学习交流！归纳小结在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。