《信号与系统》第二章连续时间系统的时域分析课件.ppt

第第2章章连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析2.1LTI系统的数学模型及其经典法求解系统的数学模型及其经典法求解2.2LTI系统的算子符号表示与传输算子系统的算子符号表示与传输算子2.3LTI因果系统的零输入响应因果系统的零输入响应2.4LTI因果系统的零状态响应因果系统的零状态响应2.5卷积及其性质卷积及其性质2.6LTI因果系统的全响应及其分解因果系统的全响应及其分解2.1LTI系统的数学模型及其经典法求解系统的数学模型及其经典法求解2.1.1建立LTI系统的数学模型建立系统模型的方法1.输入输出描述法连续时间LTI系统常系数线性微分方程离散时间LTI系统常系数线性差分方程2.状态变量描述法例2.1-1如图2.1-1所示的RLC串联电路，e(t)为激励信号，响应为i(t)，试写出其微分方程。解这是有两个独立动态元件的二阶系统，利用KVL定理列回路方程，可得图2.1-1RLC串联电路一般有n个独立的动态元件组成的系统就是n阶系统(或n个一次线性微分方程组)。一般电路系统的阶数等于独立的uC(t)与iL(t)的个数之和，其中独立的uC(t)不能用其它uC(t)(可含电源)表示；独立的iL(t)不能用其它iL(t)(可含电源)表示。例2.1-2如下图所示电路，判断系统阶数。解(1)R1i1(t)+uC1(t)+uC2(t)=e(t)，uC2(t)=uR2(t)，有两个独立的uC(t)，所以该系统是二阶系统。(2)uC1(t)=uC2(t)+uC3(t)，是通过其它uC(t)表示的，是非独立的uC(t)；但uC2(t)uC3(t)，有两个独立的uC(t)，所以该系统也是二阶系统。2.1.2系统微分方程求解经典法一般n阶LTI系统的微分方程为初始条件为y(0+),y(0+),yn-1(0+)。由上式可得系统的特征方程为 n+a1n-1+.+a n-1+an=0(-1)(-2).(-n)=0(2.1-1)由特征方程可求得特征根。假设特征根均为单根1、2、.、n，由其得到通解yh(t)的一般形式(2.1-2)式中i为特征根。微分方程特解的形式与激励形式相同，如表2-1所示，代入原方程中得到具体系数。微分方程的解由通解与特解两部分组成，即完全解为(2.1-3)由n个初始条件y(0+),y(0+),.,yn-1(0+)确定n个Ci系数。表2-1典型激励对应的特解2.2LTI系统的算子符号表示与传输算子系统的算子符号表示与传输算子2.2.1用算子符号表示微分方程 n阶LTI系统的数学模型是n阶常系数线性微分方程。将方程中的微、积分运算用算子符号p与1/p表示，可得到算子方程。微分算子积分算子这样，例2.1-1电路的微分方程可以表示为 p2i(t)+5pi(t)+6i(t)=pe(t)式(1.6-6)的n阶线性微分方程可以用算子表示为a0pny(t)+a1pn-1y(t)+.+an-1py(t)+any(t)=b0pmf(t)+b1pm-1f(t)+.+bm-1pf(t)+bmf(t)(2.2-4)算子方程中的每一项表示的是运算关系，不是代数运算。模仿代数运算，还可以将上式简化为(a0pn+a1pn-1+.+an-1p+an)y(t)=(b0pm+b1pm-1+.+bm-1p+bm)f(t)(2.2-5)若再令 D(p)=a0pn+a1pn-1+.+an-1p+ao(2.2-6a)N(p)=b0pm+b1pm-1+.+bm-1p+bm (2.2-6b)则称D(p)、N(p)为算子多项式，式(2.2-5)可进一步简写为 D(p)y(t)=N(p)f(t)(2.2-7)式(2.2-7)是n阶线性微分方程的算子方程。在这里，我们利用了提取公因子的代数运算规则。式(2.2-7)还可以进一步改写为(2.2-8)式中分母多项式D(p)表示对输出y(t)的运算关系，分子多项式N(p)表示对输入f(t)的运算关系，而不是两个多项式相除的简单代数关系。算子表示的是微、积分运算，因此代数运算规则不能简单照套，下面具体讨论算子的运算规则。(1)可进行类似代数运算的因式分解或因式相乘展开。(p+a)(p+b)x=p2+(a+b)p+abx(2.2-9)这样例2.1-1的算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)还可以表示为(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)(2)算子方程左、右两端的算子符号p不能随便消去。由，解出x=y+C而不是x=y，两者相差一个任意常数C，所以不能由px=py得到x=y，即px=py，但xy。这一结论可推广到一般的算子方程：D(p)x=D(p)y，但xy(3)p、1/p位置不能互换。因为所以(2.2-10)而形式上先“除”后“乘”即先积分后微分的运算次序，算子可消去；形式上先“乘”后“除”即先微分后积分的运算次序，算子不可消去。2.2.2用算子电路建立系统数学模型先将电路中所有动态元件用算子符号表示，得到算子电路；再利用广义的电路定律，建立系统的算子方程；最后将算子方程转换为微分方程。电感的算子表示可由其电压电流关系得到，因为(2.2-12)式中,Lp是电感算子符号，可以理解为广义的电感感抗值，式(2.2-12)可以理解为广义欧姆定律。同理，由电容上的电压电流关系得到(2.2-13)式中,1/Cp 是电容算子符号，可以理解为广义的电容容抗值，式(2.2-13)也可以理解为广义欧姆定律。例2.2-1如图2.1-1所示RLC串联电路，输入为e(t)，输出为电流i(t),用算子法列出算子方程与微分方程。解 将图2.1-1中的电感、电容用算子符号表示，得到算子电路如图2.2-1所示，利用广义的KVL,列出算子方程式两边同时作微分运算（“前乘”p），得算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)图2.2-1例2.2-1的算子电路由上面的算子方程写出微分方程为克莱姆法则克莱姆法则有有n个未知数个未知数n个方程的线性方程组个方程的线性方程组设设为未知数系数构成的行列式。为未知数系数构成的行列式。为为D的第的第j列的系数列换为方程组右端的常数项所得。列的系数列换为方程组右端的常数项所得。如果如果，则方程组有唯一解，则方程组有唯一解例2.2-2 如图2.2-2(a)电路，f(t)为激励信号，响应为i2(t)，试用算子法求其算子方程与微分方程。解将图2.2-2(a)中的电感用算子符号表示如图2.2-2(b)所示，利用广义网孔法列出两个算子方程(3p+1)i1(t)-pi2(t)=f(t)-pi1(t)+(p+3)i2(t)=0 图2.2-2例2.2-2电路与算子电路利用克莱姆法则，解出(p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t)微分方程为也可以写成 y(t)+5y(t)+1.5y(t)=0.5f(t)例2.2-3如图2.2-3(a)所示电路输入为e(t)，输出为i1(t)、i2(t)，用算子法求其算子方程与微分方程。已知L1=1H，L2=2H，R1=2，R2=1，C=1F。图2.2-3例2.2-3电路与算子电路解将图2.2-3中的电感、电容分别用算子符号表示如图2.2-3(b)所示，利用广义网孔法,列算子方程组为避免在运算过程中出现p/p因子，可先在上面的方程组两边同时作微分运算,即“前乘”p（当分子分母同时出现p时可约），得到 (p2+2p+1)i1(t)-i2(t)=pe(t)-i1(t)+(2p2+p+1)i2(t)=0 利用克莱姆法则，解出由式(2.2-6)与(2.2-7)，可得(2p3+5p2+5p+3)i1(t)=(2p2+p+1)e(t)微分方程为用相同的方法，可以得到微分方程为2.2.3传输（转移）算子H(p)我们定义传输（转移）算子H(p)为(2.2-14)这样，系统的输出可以表示为 y(t)=H(p)f(t)(2.2-15)例2.2-4求例2.2-1激励为e(t)，响应为i(t)的系统传输算子H(p)。解 例2.2-1的算子方程为(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)则由 得到 例2.2-5求例2.2-2激励为f(t)，响应为i2(t)的系统传输算子H(p)。解 例2.2-2的算子方程为(p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t)则由得到例2.2-6求例2.2-3激励为f(t)，响应为i1(t)时的系统传输算子H1(p)；激励为f(t)，响应为i2(t)时的系统传输算子H2(p)。解 由可得v由H(p)的定义，系统传输算子的分母多项式是系统的特征多项式。它仅与系统的结构、参数有关，与激励以及激励加入的端口无关。v同一系统，系统的结构、参数一定，无论激励以及激励加入的端口如何改变，其传输算子的分母多项式都不会改变。2.3LTI因果系统的零输入响应因果系统的零输入响应2.3.1零输入响应零输入响应与激励无关，数学模型是齐次微分方程。f(t)=0，算子方程为 D(p)y(t)=0式中D(p)是系统的特征多项式，D(p)=0是特征方程，使D(p)=0的值是特征方程的根，称为系统的特征根。由系统的特征方程p-=0，得特征根p=，其解（零输入响应）的一般形式为 y(t)=y(0-)e tt0(2.3-3)由式(2.3-3)可知，此时解的一般模式取决于特征根，而解的系数由初始条件确定。一阶齐次微分方程为(p-)y(t)=0 y(0-)(2.3-2)由p2+a1p+a0=(p-1)(p-2)=0，得到二阶系统的两个特征根1、2。与一阶齐次微分方程相同，二阶齐次微分方程解的模式取决于两个特征根1、2，其表达式为 (2.3-5)式中,系数C1、C2由两个初始条件y(0-)、y(0-)确定。二阶齐次微分方程的一般算子形式为(p2+a1p+a0)y(t)=0 y(0-),y(0-)(2.3-4)y(0-)=C1+C2 y(0-)=1C1+2C2(2.3-6)如果p2+a1p+a0=(p-)2=0，特征根相同，则是二阶重根，此时二阶齐次微分方程解的形式为 y(t)=C1et+C2tett0(2.3-7)系数C1、C2仍由两个初始条件y(0-),y(0-)确定 y(0-)=C1 y(0-)=C1+C2式中，y(0),y(0),y(0),，yn-1(0)为第二类标准初始条件。由特征方程 D(p)=pn+an-1pn-1+.+a1p+a0=(p-1)(p-2).(p-n)=0得到n个特征根1、2、.、n，n阶齐次方程解的模式取决于这n个特征根，表达式为(2.3-9)n个系数C1、C2、.、Cn由n个初始条件y(0)、y(0)y(0)、.、yn-1(0)确定。n阶齐次微分方程的算子形式为(pn+an-1pn-1+.+a1p+a0)y(t)=0 y(0),y(0)y(0),.,yn-1(0)(2.3-8)y(0)=C1+C2+.+Cn y(0)=1C1+2C2+.+nCn yn-1(0)=1n-1C1+2n-1C2+.+nn-1Cn 可用矩阵形式表示为(2.3-10)(2.3-11)常数C1、.、Cn可用克莱姆法则解得，或用逆矩阵表示为例2.3-1已知系统的传输算子H(p)=2p/(p+3)(p+4)，初始条件yzi(0)=1，试求系统的零输入响应。解 特征根1=-3,2=-4零输入响应形式为 yzi(t)=C1e-3t+C2e-4tt0将特征根及初始条件y(0)=1，y(0)=2代入 1=C1+C2 2=-3C1-4C2 解出 C1=6 C2=-5 yzi(t)=6e-3t-5e-4tt0例2.3-2已知电路如下图所示，开关K在t=0时闭合，初始条件i2(0-)=0，i2(0-)=-1A/s。求零输入响应i2(t)。解 先求e(t)i2(t)时的H(p)(p+1)i1-i2=e(t)-pi1+(p+1)i2=0 解出代入初始条件2.3.2初始条件标准化全响应初始条件第一类标准初始条件y(0+)、y(0+)、.、yn-1(0+)标准零输入初始条件yzi(0+)、yzi(0+)、.、yn-1zi(0+)标准零状态初始条件yzs(0+)、yzs(0+)、.、yn-1zs(0+)利用电容电压及电感电流一般不会突变，即iL(0-)=iL(0+)、vC(0-)=vC(0+)，以及具体电路方程，可将系统的非标准初始条件转变为标准化初始条件。例2.3-3 已知电路如下图，iL(0-)=1A，vC(0-)=10V，求izi(t)。解D(p)=(p+2)(p+3),1=-2,2=-3 izi(t)=C1e-2t+C2e-3tt0 标准初始条件应为izi(0+)与izi(0+)，需将非标准的初始条件iL(0-)=1A，vC(0-)=10V标准化，即将iL(0-)、vC(0-)转变为完全响应的初始条件i(0+)、i(0+)。因为i(t)=iL(t)，并且电感电流一般不会突变，所以有iL(0-)=iL(0+)=i(0+)=1A；而i(0+)就要由0+电路解出，列0+电路方程为令t=0+代入上式，得5i(0+)+i(0+)+vC(0+)=0将vC(0-)=vC(0+)，且f(t)=0代入上式，有5+10+i(0+)=0由上式解得标准初始条件为i(0+)=1A及i(0+)=-15A/s，解出代入izi(t)得到 izi(t)=-12e-2t+13e-3tt0例2.3-4 电路如下图所示，已知iL(0-)=1A，vC(0-)=1V，求i2zi(0+)，i2zi(0+),i2zi(t)。解 此题也有非标准化初始条件转化为标准化初始条件的问题。由回路方程组：将e(t)=0、t=0+、i1=iL以及R、L、C参数值代入，得到 i1(0+)+i1(0+)-i2(0+)=0(A)-i1(0+)+i2(0+)+vC(0+)=0(B)由式(B)，i2(0+)=i1(0+)-vC(0+)=0,代入式(A)i1(0+)+i1(0+)=0 i1(0+)=-i1(0+)=-1A/s对式(B)求导-i1(0+)+i2(0+)+vC(0+)=0因为，代入上式得到标准化初始条件：与例2.3-2的标准化初始条件相同，解得结果相同，不再重复。例2.3-5电路如图2.3-4(a)所示，开关在t=0时，由“1”到“2”。求i(0)，i(0)及电流i(t)的零输入响应。解图2.3-4(a)是有两个动态元件的二阶系统，其中图2.3-4例2.3-5电路换路后的算子电路如图2.3-4(b)所示。列网孔算子方程整理将i1(t)=i(t)代入上式，解得因是二阶系统，所以因为所给出的是非标准初始条件，所以要将非标准初始条件转化为标准初始条件。初始值等效电路如图2.3-5所示（电容相当于短路，电感相当于开路）。图2.3-5例2.3-5零输入等效电路由图2.3-5可得由 izi(0+)=C1+C2=-1.2 izi(0+)=-2C1-5C2=2 解出最后 2.4LTI因果系统的零状态响应因果系统的零状态响应 2.4.1单位冲激响应h(t)输入为单位冲激信号(t)时，系统的零状态响应。h(t)由传输算子表示为 h(t)=H(p)(t)(2.4-1a)或记为(t)h(t)(2.4-1b)n阶线性系统的传输算子假设H(p)的分母多项式D(p)均为单根，得到将其展开为部分分式之和系数k1kn由待定系数法确定。一个n阶系统可以分解为n个一阶子系统之和。在式(2.4-4b)的等式两边同时乘以(2.4-4a)(2.4-4b)得到了hi(t)的全微分，即对上式两边同时积分由于因果系统的hi(0-)=0，因此一阶子系统冲激响应的一般项为(2.4-5)代入式(2.4-3b)，得到n阶系统的单位冲激响应为(2.4-6)例2.4-1求例2.2-2系统单位冲激响应h(t)。解 例2.2-2的传输函数由待定系数法分解为利用式(2.4-5)，可得 h(t)=(3e-3t-2e-2t)u(t)例2.4-2如下图所示电路，输入为电流源i(t)，输出为电容电压vC(t)，试求系统的冲激响应h(t)。解 由广义KCL列算子节点方程表2-2H(p)所对应的h(t)2.4.2系统的零状态响应yzs(t)系统的初始状态（储能）为零时的响应。根据LTI系统的时不变性 (t-)h(t-)根据LTI系统的比例性 f()(t-)f()h(t-)利用LTI系统的积分特性f(t)分解为冲激信号之和，yzs(t)为冲激响应之和是数学卷积运算的一种形式，因此也称卷积法。积分变量为，t仅是参变量，计算时按常数处理。卷积计算步骤第一步，变量转换，将f(t)变为f()，h(t)变为h(t-)；第二步，将f()与h(t-)两个函数相乘；第三步，确定积分上、下限，也就是找到f()h(t-)相乘后的非零值区；最后，对f()h(t-)积分得出零状态响应yzs(t)。例2.4-3 如下图所示电路，已知激励f(t)=u(t)，用时域法求i(t)。解(pL+R)i(t)=f(t)2.5卷积及其性质卷积及其性质 2.5.1卷积卷积积分指的是两个具有相同自变量t的函数f1(t)与f2(t)相卷积后成为第三个相同自变量t的函数y(t)。(2.5-1)设f1(t)为因果信号，即f1(t)=f1(t)u(t)，而f2(t)不受此限。设f2(t)为因果信号，即f2(t)=f2(t)u(t)，但f1(t)不受此限。设f1(t)、f2(t)均为有始信号，即f1(t)=f1(t)u(t)，f2(t)=f2(t)u(t)2.5.2任意函数与(t)、u(t)卷积 v f(t)*(t)=f(t)(t)是卷积的单位元。证vf(t)*(t-t1)=f(t-t1)证任意函数与(t-t1)卷积，相当于通过一个延时（移位）器。任意函数与u(t)卷积，相当于信号通过一个积分器。2.5.3卷积的性质 1.时移 f(t-t0-t1)=f1(t-t0)*f2(t-t1)=f1(t-t1)*f2(t-t0)=f1(t-t0-t1)*f2(t)=f1(t)*f2(t-t0-t1)2.交换律f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)图2.5-3交换律的实用定义 3.分配律 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)图2.5-4分配律的实用定义 4.结合律 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)图2.5-5结合律的实用定义 2.5.4卷积的图解法v计算卷积的基本方法v可以直观确定积分限、积分条件，并且作图方便。v具体步骤(1)f(t)f()，函数图形不变，仅t。(2)h(t)h(t-)，它包括两部分运算:折叠h(t)h()h(-)；移位，t是h(-)与h(t-)之间的“距离”。(3)将折叠移位后的图形h(t-)与f()相乘。(4)求h(t-)与f()相乘后其非零值区的积分（面积）。t0右移例2.5-1 f(t)、h(t)如图2.5-6所示，求y(t)=f(t)*h(t)。图2.5-6例2.5-1的f(t)、h(t)解具体计算如图2.5-7所示。图2.5-7例2.5-1图解法示意图图2.5-7例2.5-1图解法示意图2.5.5卷积的微分、积分性质卷积的微分、积分运算信号的微分、积分运算。(1)微分(2)积分(3)微、积分性。若 y(t)=f1(t)*f2(t)则 y(i)(t)=f(j)1(t)*f(i-j)2(t)其中,i、j取正整数时为导数的阶次；i、j取负整数时为重积分的阶次。特别地,利用式(2.5-14)的结果，可由f(t)与h(t)的卷积公式，推出f(t)与阶跃响应g(t)的卷积公式，即g(t)是系统对单位阶跃信号的零状态响应，简称单位阶跃响应。例2.5-2 f(t)、h(t)如图2.5-6所示，用微、积分性质求y(t)=f(t)*h(t)。y(t)=f(t)*h(t)=f(t)*g(t)=E(t-1)-(t-2)*1/2(1-e-2t)u(t)=E/2(1-e-2(t-1)u(t-1)-E/2(1-e-2(t-2)u(t-2)=E/2(1-e-2(t-1)u(t-1)-u(t-2)+E/2(e-2(t-2)-e-2(t-1)u(t-2)E/2(1-e-2(t-1)1t2 0其它=结果与例2.5-1相同。2.6LTI因果系统的全响应及其分解因果系统的全响应及其分解2.6.1全响应系统的储能系统的激励系统的全响应y(t)=yzi(t)+yzs(t)例2.6-1已知某线性系统的传输算子 ，激励f(t)=u(t)，初始条件y(0-)=1，y(0-)=2,求系统的全响应y(t)。解由特征根及初始条件y(0-)=1，y(0-)=2,求得零输入响应为 yzi(t)=(C0+C1t)e-t u(t)y(0-)=1=C0 y(0-)=-C0+C1=2,得C1=3 yzi(t)=(1+3t)e-t u(t)传输算子得 h(t)=e-t u(t)零状态响应yzs(t)=f(t)*h(t)=u(t)*e-t u(t)利用例2.4-3的结果 yzs(t)=(1-e-t)u(t)全响应y(t)=yzi(t)+yzs(t)=(1+3t)e-t u(t)+(1-e-t)u(t)=(1+3te-t)u(t)2.6.2全响应及其分解从响应与系统或激励的关系自然（由）响应由系统特征根决定模式的响应定义为自然（由）响应；受（强）迫响应与激励模式相同的响应定义为受（强）迫响应。零输入响应是自然（由）响应；零状态响应是既有受（强）迫响应，也有自然（由）响应。从响应随时间t趋于无穷是否消失瞬态响应响应中随着时间增长而消失的部分。例如e-t u(t)。稳态响应响应中随时间增长不会消失的部分。例如3sintu(t)、u(t)。例2.6-2 试指出例2.4-3各响应分量。解 i(t)=(1-e-t)u(t)=u(t)-e-t u(t)受迫、稳态 自然、瞬态零状态响应即例2.4-3响应i(t)是零状态响应，其中的e-t u(t)是自然（由）响应、瞬态响应；u(t)是受（强）迫响应、稳态响应。例2.6-3 试指出例2.6-1各响应分量 解 y(t)=(1+3t)e-t u(t)+(1-e-t)u(t)=(1+3te-t)u(t)零输入响应零状态响应受迫、稳态 自然、瞬态即例2.6-1全响应y(t)中的零输入响应 yzi(t)=(1+3t)e-t u(t)零状态响应 yzs(t)=(1-e-t)u(t)u(t)是受（强）迫响应、稳态响应；3te-t u(t)是自然（由）响应、瞬态响应。