2019中考数学试题分项版解析汇编（第02期）专题5.1 图形的平移对称与旋转（含解析）.doc

1专题专题 5.15.1 图形的平移对称与旋转图形的平移对称与旋转一、单选题1点 A（2，5）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）A （2，5） B （2，5） C （2，5） D （5，2）【来源】湖北省武汉市 2018 年中考数学试卷【答案】A【解析】 【分析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”进行解答即可.【详解】因为点（m，n）关于 x 轴的对称的点的坐标为（m，-n） ，所以点 A（2，5）关于 x 轴的对称点 B 的坐标为（2，5） ，故选 A【点睛】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数2下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A B C D 【来源】湖南省张家界市 2018 年初中毕业学业考试数学试题【答案】C点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）2A B C D 【来源】湖北省宜昌市 2018 年中考数学试卷【答案】D点睛：本题考查了轴对称图形的定义，能够正确观察图形和理解轴对称图形的定义是解此题的关键4在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D 【来源】湖北省恩施州 2018 年中考数学试题【答案】D【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解详解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确故选：D点睛：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合5如图，在平面直角坐标系中，把ABC 绕原点 O 旋转 180°得到CDA，点 A，B，C 的坐标分别为（5，2） ， （2，2） ， （5，2） ，则点 D 的坐标为（ ）3A （2，2） B （2，2） C （2，5） D （2，5）【来源】湖北省宜昌市 2018 年中考数学试卷【答案】A点睛：本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标6如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M，N 分别是 AB，BC 边上的中点，则MP+PN 的最小值是（ ）A B 1 C D 2【来源】新疆自治区 2018 年中考数学试题4【答案】B【解析】分析：先作点 M 关于 AC 的对称点 M，连接 MN 交 AC 于 P，此时 MP+NP 有最小值然后证明四边形 ABNM为平行四边形，即可求出 MP+NP=MN=AB=1详解：如图，点睛：本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键7如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1） ， （6，1） ，BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若ABC与ABC关于点P成中心对称，则点A的坐标为（ ）A （4，5） B （5，4） C （3，4） D （4，3）5【来源】四川省内江市 2018 年中考数学试题【答案】A【解析】分析：先求得直线 AB 解析式为 y=x-1，即可得出 P（0，-1） ，再根据点 A 与点 A'关于点 P 成中心对称，利用中点公式，即可得到点 A的坐标令 x=0，则 y=-1，P（0，-1） ，又点 A 与点 A'关于点 P 成中心对称，点 P 为 AA'的中点，设 A'（m，n） ，则=0，=-1，m=-4，n=-5，A'（-4，-5） ，故选：A点睛：本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线 AB 的解析式是解题的关键8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（4，0） ，B（0，3） ，C（4，3） ，I 是ABC 的内心，将ABC 绕原点逆时针旋转 90°后，I 的对应点 I'的坐标为（ ）6A （2，3） B （3，2） C （3，2） D （2，3）【来源】湖北省荆门市 2018 年中考数学试卷【答案】A【解析】 【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出 I 点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标则 I（3，2） ，ABC 绕原点逆时针旋转 90°，I 的对应点 I'的坐标为：（2，3） ，故选 A7【点睛】本题考查了直角三角形的内心、旋转的性质，根据直角三角形内心的性质得出其内心 I 的坐标是解题的关键.9下列图形中的五边形 ABCDE 都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（ ）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个【来源】江苏省无锡市 2018 年中考数学试题【答案】D【解析】分析：直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案详解：如图所示：直线 l 即为各图形的对称轴，故选：D点睛：此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键10如图直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=3，将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转 90°至 ED，连 AE、CE，则ADE 的面积是（ ）A 1 B 2 C 3 D 不能确定【来源】浙江省杭州市临安市 2018 年中考数学试卷【答案】A8在DCG 与DEF 中，DCGDEF（AAS） ，EF=CG，AD=2，BC=3，CG=BCAD=32=1，EF=1，ADE 的面积是： ×AD×EF= ×2×1=1，故选 A【点睛】本题考查梯形的性质和旋转的性质，熟知旋转变换前后，对应点到旋转中心的距离相等、每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等是解题的关键同时要注意旋转的三要素：定点为旋转中心；旋转方向；旋转角度11图中由“”和“”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ ）9A l1 B l2 C l3 D l4【来源】河北省 2018 年中考数学试卷【答案】C【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴12如图，一段抛物线 y=x2+4（2x2）为 C1，与 x 轴交于 A0，A1两点，顶点为 D1；将 C1绕点 A1旋转 180°得到 C2，顶点为 D2；C1与 C2组成一个新的图象，垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，与线段 D1D2交于点 P3（x3，y3） ，设 x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则 t 的取值范围是（ ）A 6t8 B 6t8 C 10t12 D 10t12【来源】广西壮族自治区玉林市 2018 年中考数学试卷【答案】D10【点睛】本题考查二次函数与 x 轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，熟练掌握和灵活应用二次函数的相关性质以及旋转的性质是解题的关键. 二、填空题13在平面直角坐标系中，将点 A（2，3）向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，那么平移后对应的点 A的坐标是_【来源】湖南省长沙市 2018 年中考数学试题【答案】 （1，1）【解析】分析：直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案详解：将点 A（-2，3）向右平移 3 个单位长度，得到（1，3） ，再向下平移 2 个单位长度，平移后对应的点 A的坐标是：（1，1） 故答案为：（1，1） 点睛：此题主要考查了平移，正确掌握平移规律：上加下减，左加右减，是解题关键14有五张卡片（形状、大小、质地都相同） ，上面分别画有下列图形：线段；正三角形；平行四边形；等腰梯形；圆将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是_【来源】四川省内江市 2018 年中考数学试卷【答案】11点睛：此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与情况总数之比.15如图，将绕点A逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为_【来源】湖南省张家界市 2018 年初中毕业学业考试数学试题【答案】15【解析】分析：先判断出BAD=150°，AD=AB，再判断出BAD 是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论详解：将ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°，得到ADE，BAD=150°，AD=AB，点 B，C，D 恰好在同一直线上，BAD 是顶角为 150°的等腰三角形，B=BDA，B= （180°-BAD）=15°，故答案为：15°点睛：此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形 ABD是等腰三角形是解本题的关键16如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 A 与原点重合，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 D 在 x 轴的负半轴上，将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°至正方形 AB'CD的位置，B'C与 CD 相交于点 M，则点 M 的坐标为_12【来源】山东省潍坊市 2018 年中考数学试卷【答案】 （1，）【详解】如图，连接 AM，将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°得到正方形 AB'CD，AD=AB=1，BAB=30°，BAD=60°，在 RtADM 和 RtABM 中，RtADMRtABM（HL） ，DAM=BAM= BAD=30°，DM=ADtanDAM=1×=，点 M 的坐标为（1，） ，故答案为：（1，） 【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用1317点O是平行四边形ABCD的对称中心，ADAB，E、F分别是AB边上的点，且EFAB；G、H分别是BC边上的点，且GHBC；若S1,S2分别表示EOF和GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是_【来源】陕西省 2018 年中考数学试题【答案】2S13S2【详解】过点 O 分别作 OMBC，垂足为 M，作 ONAB，垂足为 N，点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心，S平行四边形 ABCD=AB2ON， S平行四边形 ABCD=BC2OM，ABON=BCOM，S1= EFON，S2= GHOM，EF AB，GH BC，S1= ABON，S2= BCOM，2S13S2，故答案为：2S13S2.【点睛】本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准确表示出图形面积是解题的关键.18如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A（6，0） ，C（0，2） 将矩形 OABC 绕点 O 顺时针方向旋转，使点 A 恰好落在 OB 上的点 A1处，则点 B 的对应点 B1的坐标为_14【来源】四川省达州市 2018 年中考数学试题【答案】 （-2，6） 【解析】分析：连接 OB1，作 B1HOA 于 H，证明AOBHB1O，得到 B1H=OA=6，OH=AB=2，得到答案详解：连接 OB1，作 B1HOA 于 H，由题意得，OA=6，AB=OC-2，则 tanBOA=，BOA=30°，OBA=60°，由旋转的性质可知，B1OB=BOA=30°，B1OH=60°，在AOB 和HB1O，AOBHB1O，B1H=OA=6，OH=AB=2，点 B1的坐标为（-2，6） ，故答案为：（-2，6） 点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键19如图，在ABCD 中，AD=7，AB=2，B=60°E 是边 BC 上任意一点，沿 AE 剪开，将ABE 沿 BC 方向平移到DCF 的位置，得到四边形 AEFD，则四边形 AEFD 周长的最小值为_15【来源】吉林省长春市 2018 年中考数学试卷【答案】20【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是确定出当 AEBC 时，四边形 AEFD 的周长最小20如图，在 RtABC 中，ACB=90°，AC=BC=2，将 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 30°后得到 RtADE，点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积为_【来源】黑龙江省大庆市 2018 年中考数学试卷【答案】【解析】 【分析】先根据勾股定理得到 AB=2，再根据扇形的面积公式计算出 S扇形 ABD，由旋转的性质得到RtADERtACB，于是 S阴影部分=SADE+S扇形 ABDSABC=S扇形 ABD16【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到 S阴影部分 =S扇形 ABD是解题的关键.三、解答题21 【来源】吉林省长春市 2018 年中考数学试卷图、图均是 8×8 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 OM、ON 的端点均在格点上在图、图给定的网格中以 OM、ON 为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形（2）所画的两个四边形不全等【答案】作图见解析.【解析】 【分析】结合网格特点以及轴对称图形的定义进行作图，然后用全等四边形的定义判断即可得符合题意的图形【详解】如图所示：17【点睛】本题考查了作图轴对称变换，以及全等形的判定，熟练掌握各自的性质是解本题的关键22如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别是 A（1，1） ，B（4，1） ，C（3，3） （1）将ABC 向下平移 5 个单位后得到A1B1C1，请画出A1B1C1；（2）将ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后得到A2B2C2，请画出A2B2C2；（3）判断以 O，A1，B 为顶点的三角形的形状 （无须说明理由）【来源】广西钦州市 2018 年中考数学试卷【答案】 （1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形【详解】 （1）如图所示，A1B1C1即为所求；18【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形23在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的A1B1C1， 并写出点 C1的坐标；作出ABC 关于原点 O 对称的A2B2C2， 并写出点 C2的坐标； （2）已知ABC 关于直线 l 对称的A3B3C3的顶点 A3的坐标为（4，2） ，请直接写出直线 l 的函数解析式.【来源】四川省眉山市 2018 年中考数学试题19【答案】(1)作图见解析，C1的坐标 C1（-1,2）, C2的坐标 C2（-3,-2） ；（2）y=-x. 详解：（1）如图所示， C1的坐标 C1（-1,2）, C2的坐标 C2（-3,-2）（2）解：A（2,4） ，A3（-4，-2） ，直线 l 的函数解析式：y=-x. 点睛：本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了轴对称变换和平移变换24如图，矩形 ABCD 中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点 B 顺时针方向旋转 （0°90°）得到矩形A1BC1D1，点 A1在边 CD 上（1）若 m=2，n=1，求在旋转过程中，点 D 到点 D1所经过路径的长度；（2）将矩形 A1BC1D1继续绕点 B 顺时针方向旋转得到矩形 A2BC2D2，点 D2在 BC 的延长线上，设边 A2B 与 CD交于点 E，若=1，求的值20【来源】江苏省无锡市 2018 年中考数学试题【答案】 （1）D 到点 D1所经过路径的长度为；（2）（负根已经舍弃） 详解：（1）作 A1HAB 于 H，连接 BD，BD1，则四边形 ADA1H 是矩形AD=HA1=n=1，在 RtA1HB 中，BA1=BA=m=2，BA1=2HA1，ABA1=30°，旋转角为 30°，BD=，D 到点 D1所经过路径的长度= （2）BCEBA2D2，21点睛：本题考查轨迹，旋转变换、解直角三角形、弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型25如图，在中，D 是 AB 边上一点 点 D 与 A，B 不重合 ，连结 CD，将线段CD 绕点 C 按逆时针方向旋转得到线段 CE，连结 DE 交 BC 于点 F，连接 BE求证：；当时，求的度数【来源】浙江省宁波市 2018 年中考数学试卷【答案】证明见解析；.【解析】 【分析】由题意可知：，由于，从而可得，根据 SAS 即可证明；由可知：，从而可求出的度数【详解】由题意可知：，22，在与中， ；【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质26如图 1，一副直角三角板满足 AB=BC，AC=DE，ABC=DEF=90°，EDF=30°操作：将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕点 E 旋转，并使边DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q探究一：在旋转过程中，（1）如图 2，当时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图 3，当时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据你对（1） 、 （2）的探究结果，试写出当时，EP 与 EQ 满足的数量关系式为 ，其中m 的取值范围是 （直接写出结论，不必证明）探究二：若且 AC=30cm，连接 PQ，设EPQ 的面积为 S（cm2） ，在旋转过程中：（1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由（2）随着 S 取不同的值，对应EPQ 的个数有哪些变化，求出相应 S 的值或取值范围23【来源】江苏省徐州巿 2018 年中考数学试卷【答案】探究一：（1）EP=EQ；证明见解析；（2）1:2，证明见解析；（3）EP：EQ=1：m，0m2+；探究二：（1）当 x=10时，面积最小，是 50cm2；当 x=10时，面积最大，是 75cm2 （2）50S62.5 时，这样的三角形有 2 个；当 S=50 或 62.5S75 时，这样的三角形有一个（3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求 m 的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析；探究二：（1）设 EQ=x，结合上述结论，用 x 表示出三角形的面积，根据 x 的最值求得面积的最值；（2）首先求得 EQ 和 EB 重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论【详解】探究一：（1）连接 BE，根据 E 是 AC 的中点和等腰直角三角形的性质，得BE=CE，PBE=C，又BEP=CEQ，则BEPCEQ，得 EP=EQ；（2）作 EMAB，ENBC 于 M，N，EMP=ENC，MEP+PEN=PEN+NEF=90°，MEP=NEF，24MEPNEQ，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；（3）过 E 点作 EMAB 于点 M，作 ENBC 于点 N，在四边形 PEQB 中，B=PEQ=90°，EPB+EQB=180°（四边形的内角和是 360°） ，又EPB+MPE=180°（平角是 180°） ，MPE=EQN（等量代换） ，RtMEPRtNEQ，在 RtAMERtENC，EP 与 EQ 满足的数量关系式为 EP：EQ=1：m，0m2+；（当 m2+时，EF 与 BC 不会相交） 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线，熟练运用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质进25行求解是关键27在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点 为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点 ， ， 的对应点分别为 ， ， .（）如图，当点 落在边上时，求点 的坐标；（）如图，当点 落在线段上时，与交于点 .求证；求点 的坐标.（）记 为矩形对角线的交点， 为的面积，求 的取值范围（直接写出结果即可）.【来源】天津市 2018 年中考数学试题【答案】 （）点 的坐标为.（）证明见解析；点 的坐标为.（）.详解：（）点，点，.四边形是矩形，.矩形是由矩形旋转得到的，26.在中，有， .点 的坐标为.（）.27点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键. 28在中，过点 作直线，将绕点 顺时针得到（点 ， 的对应点分别为，） ，射线，分别交直线于点 ， . （1）如图 1，当 与重合时，求的度数；（2）如图 2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；（3）在旋转过程时，当点分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由.【来源】四川省成都市 2018 年中考数学试题【答案】 （1）60°；（2） ；（3）详解：（1）由旋转可得：AC=A'C=2，ACB=90°，AB=，AC=2，BC=，ACB=90°，mAC，A'BC=90°，cosA'CB=，28A'CB=30°，ACA'=60°；（2）M 为 A'B'的中点，A'CM=MA'C，由旋转可得，MA'C=A，A=A'CM，tanPCB=tanA=，PB=BC= ，tanQ=tanA=，BQ=BC×=2，PQ=PB+BQ= ；点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；29旋转前、后的图形全等29如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD=，P 是 BC 边上的一点，且 BP=2CP（1）用尺规在图中作出 CD 边上的中点 E，连接 AE、BE（保留作图痕迹，不写作法） ；（2）如图，在（1）的条体下，判断 EB 是否平分AEC，并说明理由；（3）如图，在（2）的条件下，连接 EP 并廷长交 AB 的廷长线于点 F，连接 AP，不添加辅助线，PFB能否由都经过 P 点的两次变换与PAE 组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）【来源】贵州省贵阳市 2018 年中考数学试卷【答案】 （1）作图见解析；（2）EB 是平分AEC，理由见解析； （3）PFB 能由都经过 P 点的两次变换与PAE 组成一个等腰三角形，变换的方法为：将BPF 绕点 B 顺时针旋转 120°和EPA 重合，沿 PF折叠，沿 AE 折叠【详解】 （1）依题意作出图形如图所示；（2）EB 是平分AEC，理由：四边形 ABCD 是矩形，30C=D=90°，CD=AB=2，BC=AD=，点 E 是 CD 的中点，DE=CE= CD=1，在ADE 和BCE 中，ADEBCE，AED=BEC，在 RtADE 中，AD=，DE=1，tanAED=，AED=60°，BCE=AED=60°，AEB=180°AEDBEC=60°=BEC，BE 平分AEC；在 RtABP 中，tanBAP=，PAB=30°，EAP=30°=F=PAB，CBAF，AP=FP，AEPFBP，31PFB 能由都经过 P 点的两次变换与PAE 组成一个等腰三角形，变换的方法为：将BPF 绕点 B 顺时针旋转 120°和EPA 重合，沿 PF 折叠，沿 AE 折叠【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，图形的变换等，熟练掌握和灵活应用相关的性质与定理、判断出AEPFBP 是解本题的关键30已知 RtOAB，OAB=90°，ABO=30°，斜边 OB=4，将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 60°，如题图1，连接 BC（1）填空：OBC= °；（2）如图 1，连接 AC，作 OPAC，垂足为 P，求 OP 的长度；（3）如图 2，点 M，N 同时从点 O 出发，在OCB 边上运动，M 沿 OCB 路径匀速运动，N 沿 OBC 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 M 的运动速度为 1.5 单位/秒，点 N 的运动速度为 1 单位/秒，设运动时间为 x 秒，OMN 的面积为 y，求当 x 为何值时 y 取得最大值？最大值为多少？【来源】广东省 2018 年中考数学试题【答案】 （1）60；（2）；（3）.【详解】 （1）由旋转性质可知：OB=OC，BOC=60°，OBC 是等边三角形，OBC=60°，故答案为：60；32（3）当 0x 时，M 在 OC 上运动，N 在 OB 上运动，此时过点 N 作 NEOC 且交 OC 于点 E，如图，则 NE=ONsin60°=x，SOMN= OMNE= ×1.5x×x，y=x2，x= 时，y 有最大值，最大值=；当 x4 时，M 在 BC 上运动，N 在 OB 上运动，33当 4x4.8 时，M、N 都在 BC 上运动，作 OGBC 于 G，如图，MN=122.5x，OG=AB=2，y= MNOG=12x，当 x=4 时，y 有最大值，最大值=2，综上所述，y 有最大值，最大值为 【点睛】本题考查了旋转变换综合题，涉及到二次函数的最值，30 度的直角三角形的性质、等边三角形的 判定和性质、三角形的面积等知识，仔细分析，正确添加辅助线，分类讨论的思想思考问题是解题的关键.