(精品)2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 (3).ppt
平面向量的正交分解及坐标表示和运算平面向量的正交分解及坐标表示和运算藁城区第九中学藁城区第九中学 范英华范英华 人教人教A版必修版必修4复习复习:平面向量基本定理平面向量基本定理如果如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有有且只有一对实数一对实数 1,2 使得使得a=1 e1+2 e2.不共线的两向量不共线的两向量 e1,e2 叫做这一平面内所叫做这一平面内所有向量的一组有向量的一组基底基底.什么叫平面的一组基底什么叫平面的一组基底?平面的基底有多少组平面的基底有多少组?无数组无数组引入引入:1.1.我们知道平面内建立了直角坐标系我们知道平面内建立了直角坐标系,点点A A就可以就可以用坐标表示用坐标表示.2.2.在直角坐标系中，平面向量是否也有类似的坐在直角坐标系中，平面向量是否也有类似的坐标表示呢标表示呢?A(a,b)ab平面向量的正交分解定义平面向量的正交分解定义:走进新课走进新课:把一个向量分解为两个互相垂直的向把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量量，叫作把向量正交分解正交分解其中其中x叫做叫做a在在x轴上的轴上的坐标坐标，y叫做叫做a在在y轴上的轴上的坐标坐标.(1)(1)取基底取基底:与与x x轴方向轴方向,y,y轴方向相轴方向相同的两个单位向量同的两个单位向量i i、j j作为基底作为基底.xyoa式叫做向量的坐标表示式叫做向量的坐标表示.如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。(2)(2)任作一个向量任作一个向量a a，由平面向量基本定理，由平面向量基本定理，有且只有且只有有一对实数一对实数x x、y y，使得使得a=a=xi+yjxi+yj.我们把我们把(x,y)(x,y)叫做向量叫做向量a a的坐标，的坐标，记作记作得到实数对得到实数对:在直角坐标系内，我们分别在直角坐标系内，我们分别a其中其中x叫做叫做a在在x轴上的轴上的坐标坐标，y叫做叫做a在在y轴上的轴上的坐标坐标.(1)(1)取基底取基底:与与x x轴方向轴方向,y,y轴方向相轴方向相同的两个单位向量同的两个单位向量i i、j j作为基底作为基底.xyoa如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。(2)(2)任作一个向量任作一个向量a a，由平面向量基本定理，由平面向量基本定理，有且只有且只有有一对实数一对实数x x、y y，使得使得a=a=xi+yjxi+yj.我们把我们把(x,y)(x,y)叫做向量叫做向量a a的坐标，的坐标，记作记作得到实数对得到实数对:在直角坐标系内，我们分别在直角坐标系内，我们分别a-4 -3 -2 -1 1 2 3 4例例1.用基底用基底 i,j 分别表示向量分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标并求出它们的坐标.AB12-2-1xy453练习练习:在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量.解：解：1.已知已知a ，b ，求，求a+b，a-b解：解：a+b=(i+j)+(i+j)=（+)i+（+)j即即a+b同理可得同理可得a-b 结论结论1：两个：两个向量和与差的坐标向量和与差的坐标分别等于这两向量分别等于这两向量相相应坐标的和与差应坐标的和与差平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算练习已知练习已知a=（2，1），），b=（-3，4），求），求a+b，a-b的的坐标坐标解：解：a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；）；结论结论1：两个：两个向量和与差的坐标向量和与差的坐标分别等于这两向量分别等于这两向量相相应坐标的和与差应坐标的和与差平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2已知已知 求求xyO解：解：结论结论2：一个向量的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的等于表示此向量的有向线段的终点的终点的坐标坐标减去减去始点的坐标始点的坐标 结论结论2：一个向量的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的等于表示此向量的有向线段的终点的终点的坐标坐标减去减去始点的坐标始点的坐标 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算结论结论3：实数与向量的：实数与向量的积的坐标积的坐标等于这个等于这个实数乘原实数乘原来的向量的相应坐标来的向量的相应坐标结论结论3：实数与向量的：实数与向量的积的坐标积的坐标等于这个等于这个实数乘原实数乘原来的向量的相应坐标来的向量的相应坐标练习已知练习已知a=（2，1），），b=（-3，4），求），求3a，3a+4b的坐标的坐标 对向量坐标表示的几点说明对向量坐标表示的几点说明(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标;(2)(2)有向线段表示的向量坐标等于有向线段的有向线段表示的向量坐标等于有向线段的终点坐标减去起点坐标；终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标时，向量终点的坐标即为向量的坐标.(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标.例例2：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的的坐标分别为（坐标分别为（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标。的坐标。xyOA(-2,1)B(-1,3)C(3,4)D(x,y)课堂总结课堂总结:1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念:2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解:3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算:(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标;(2)(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标.课堂练习：课堂练习：4.平行四边形平行四边形ABCD的对角线交于的对角线交于O，且且则则 的坐标为的坐标为_-12(2,4)（-3，9）（-5，5）
