垂径定理及其推论(精品).ppt

垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并且平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧 知识要点知识要点DOABEC垂径定理AEBEACBCADBDCD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB直径过圆心直径过圆心垂直于弦垂直于弦平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧题设题设结论结论DOABEC垂径定理将题设与结论调换将题设与结论调换过来，还成立吗？过来，还成立吗？这五条进行排这五条进行排列组合，会出现多列组合，会出现多少个命题？少个命题？直径过圆心直径过圆心 平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （1）平分弦平分弦（不是直径）的（不是直径）的直径直径垂直于弦垂直于弦，并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧垂径定理的推论1DOABEC已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CD平分平分AB求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立OABMNCD注意注意为什么强调这里的弦为什么强调这里的弦不是直径不是直径？直径过圆心直径过圆心 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧垂径定理的推论1 （2）平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直径直径，垂直平垂直平分弦分弦，并且，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ACBC 求证：求证：CD平分平分AB，CD AB，ADBDDOABEC 直径过圆心直径过圆心 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 垂直于弦垂直于弦垂径定理的推论1 （2）平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直径直径，垂直平垂直平分弦分弦，并且，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD 求证：求证：CD平分平分AB，CD AB，ACBCDOABEC 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 直径过圆心直径过圆心 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （3）弦的）弦的垂直平分垂直平分线线 经经过圆心过圆心，并且，并且平分平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧 垂径定理的推论1已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB，求证：求证：CD是直径，是直径，ADBD，ACBCDOABEC 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 直径过圆心直径过圆心 平分弦平分弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径过圆心直径过圆心 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 （4）垂直于弦垂直于弦并且并且平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直径过圆心直径过圆心，并且并且平分弦和所对的另一条弧平分弦和所对的另一条弧 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 直径过圆心直径过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （5）平分弦平分弦并且并且平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直径过直径过圆心圆心，垂直于弦垂直于弦，并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧 平分弦平分弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径过圆心直径过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径过圆心直径过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 （6）平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧的的直径过圆心直径过圆心，并且并且垂直平分弦垂直平分弦AMBM，CMDM垂径定理的推论2圆的两条圆的两条平行弦平行弦所夹的所夹的弧相等弧相等MOABNCD证明：作直径证明：作直径MN垂直于弦垂直于弦AB ABCD 直径直径MN也垂直于弦也垂直于弦CDAMCM BMDM 即即 ACBDABCD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论2有这两种情况：有这两种情况：OOABCDCDABE已知：已知：AB求作：求作：AB的的中点中点点点E就是所求就是所求AB的中点的中点作法：作法：1 连结连结AB2 作作AB的垂直的垂直平分线平分线 CD，交，交AB于点于点E小练习小练习ABCDE已知：已知：AB求作：求作：AB的四等分点的四等分点作法：作法：1 连结连结AB3 连结连结AC2 作作AB的垂直的垂直平分线平分线，交，交AB于点于点E4 作作AC的垂直的垂直平分线平分线，交，交AC于点于点F5 点点G同理同理点点D、C、E就是就是AB的四等分点的四等分点ABC作作AC的垂直平分线的垂直平分线作作BC的垂直平分线的垂直平分线 等分弧时一等分弧时一定要作定要作弧所夹弦弧所夹弦的垂直平分线的垂直平分线CABO你能确定你能确定AB的圆心吗？的圆心吗？作法：作法：1 连结连结AB2 作作AB的垂直的垂直平分线平分线，交，交AB于点于点C3 作作AC、BC的的垂直平分线垂直平分线4 三条垂直平分三条垂直平分线交于一点线交于一点O点点O就是就是AB的圆心的圆心你你能能破破镜镜重重圆圆吗吗？ABCmnO 作弦作弦AB、AC及它们的垂直平分线及它们的垂直平分线m、n，交于交于O点；以点；以O为圆心，为圆心，OA为半径作圆为半径作圆作法：作法：依据：依据：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧垂径定理三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？有哪些等量关系？在在a，d，r，h中，已知其中任中，已知其中任意两个量，可以意两个量，可以求出其它两个量求出其它两个量课堂小结课堂小结1 圆是轴对称图形圆是轴对称图形任何一条直径任何一条直径所在的直线所在的直线都是它的对称轴都是它的对称轴O 垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并且平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧 2 垂径定理垂径定理DOABEC条件条件结论结论命题命题 平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦3垂径定理的推论垂径定理的推论 经常是过圆心作弦的经常是过圆心作弦的垂线垂线，或作，或作垂直于弦垂直于弦的直径的直径，连结半径连结半径等辅助线，为应用垂径定理等辅助线，为应用垂径定理创造条件创造条件4 解决有关弦的问题解决有关弦的问题 1 判断：判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧的两弧 （）（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧对的另一弧 （）（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦）经过弦的中点的直径一定垂直于弦（）（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 （）（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 （）随堂练习随堂练习 2 在在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE解：解：答：答：O的半径为的半径为5cm 4 已知在已知在 O中，弦中，弦AB的的长为长为16cm，圆心，圆心O到到AB的距离的距离为为6cm，求，求 O的半径的半径解：连结解：连结OA过过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则OE3cm，AEBE AB16cm AE8cm 在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA10cm O的半径为的半径为10cmAEBO4 4、如图，、如图，CDCD是是O的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直径，求直径CDCD的长。的长。OABECD解：解：连接连接OAOA，CD CD是直径，是直径，OEABOEAB AE=1/2 AB=5 AE=1/2 AB=5设设OA=xOA=x，则，则OE=x-1OE=x-1，由勾股定理得，由勾股定理得x x2 2=5=52 2+(x-1)+(x-1)2 2解得：解得：x=13x=13 OA=13 OA=13 CD=2OA=26 CD=2OA=26即直径即直径CDCD的长为的长为26.26.9 在以在以O为圆心的两个同为圆心的两个同心圆中，大圆的弦心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点两点 求证：求证：ACBD证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE AECEBEDE 所以，所以，ACBDEACDBO