几种分式型递推数列的通项求法.doc

几种分式型递推数列的通项求法几种分式型递推数列的通项求法李云皓(湖北省宜昌市夷陵中学，湖北 宜昌 443000）1。1 引言数列是高中数学中的重要内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容。数列中蕴含着丰富的数学思想，递推数列的通项问题也具有很强的逻辑性和一定的技巧性，因此此类问题也经常渗透在高考试题和数学竞赛中。本文对分式型递推数列求通项问题作一些探求，希望对大家有所启发。2.1 基本概念设数列的首项为，且其中为常数，同时,我们称这个递推公式为分式递推式,而数列称为由分式递推式给定的数列.显然，该数列的递推式也可写成2.2 递推式的特征方程与特征根我们先来看一个引例:首项为,由递推式给定的数列的通项公式我们是会求的：即为常系数等比差数列(由递推式给定的数列，其中为常数），该数列的通项是熟知的，为于是考虑能不能变型后让中的没有,即让中的没有。我们可以利用递推式的特征方程来解决这个问题。下面给出特征方程推导过程：数列的递推式为两边同时减去得通分后得令即方程保留了原递推式的特征，故称为该递推式的特征方程，为特征根。3.1 例题（第一部分）下面我们通过几个例题来说明特征方程的应用。两式相除得故当方程有两不等实根时,可用此方法求出通项公式.两边同乘3得两边取倒数故当方程有两相等实根时，也可用此方法求出通项公式。两式相除得由此，当方程有两虚数根时，用此方法求通项公式也是正确的。3.2 例题（第二部分）下面我们来看另一类型的分式递推式。还要两边再取倒数还原，请读者自己完成化简令令下面的递推请读者自己完成4.1 练习