天津市耀华中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题含答案.pdf

第 1页/共 6页天津市耀华中学天津市耀华中学 2023 届高三年级第三次月考数学试卷届高三年级第三次月考数学试卷本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分考试用时分考试用时 120 分钟第分钟第 I 卷（选择题共卷（选择题共 45 分）一、选择题（本大题共分）一、选择题（本大题共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的将答案填在规定位置）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的将答案填在规定位置）1.设集2,1,0,1,2A.集合2|20Bx xx.则AB（）A.1,0,1B.0,1C.1,2D.1,0,1,22.在ABC 中，“sinsinAB”是“AB”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数3341xyx的图像大致是（）A.B.C.D.第 2页/共 6页4.2022 年 12 月 4 日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪法”，耀华园结合线上教育教学模式，开展了云升旗，云班会等活动其中由学生会同学制作了宪法学习问卷，收获了有效答卷 2000 份，先对其得分情况进行了统计，按照50,60、60,70、90,100分成 5 组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法不正确的是（）A.图中x的值为 0.02B.由直方图中的数据，可估计 75%分位数是 85C.由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为 77D.90 分以上将获得优秀，则全校有 20 人获得优秀5.已知M：222220 xyxy，直线l：220 xy，P为l上的动点，过点P作M 的切线,PA PB，切点为,A B，当|PMAB最小时，直线AB的方程为（）A.210 xy B.210 xy C.210 xy D.210 xy 6.设函数 2sincoscos2fxxxx，则下列结论错误的是（）A.f x的最大值为21B.f x的一个零点为8x C.f x的最小正周期为D.yf x的图象关于直线38x 对称7.双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点分别是1F，2F，离心率为e，过1F的直线交双曲线的左支于M，N两点，若2MF N是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则2e等于（）A.52 2B.52 2C.3D.2 32第 3页/共 6页8.已知0.5xx，0.5logyyx，log0.5zxz，则（）A.yxzB.zxyC.xzyD.zyx9.已知定义在R上的偶函数()f x，满足3222()()()0f xf xx f xx对任意的实数x都成立，且值域为0,1.设函数()1g xxmx，（1m），若对任意的11(2,)2x ，存在21xx，使得21()()g xf x成立，则实数m的取值范围为（）A.6,1)B.51,22C.0,1)D.1,02第第卷（非选择题共卷（非选择题共 105 分）二、填空题（本大题共分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分将答案填在答题纸相应位置上）分将答案填在答题纸相应位置上）10.若13iz ，则1zzz_.11.5323xx展开式中的常数项为_12.“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录我国古代天文学和数学著作周牌算经中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长依次成等差数列若冬至的日影子长为 15.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是_尺13.在三棱锥PABC中，2 5PAPBPC，2 3ABBCAC，则三棱锥PABC外接球的体积是_14.已知正数,x y满足22831322xxyxyy，则xy的最小值是_15.已知 O 为矩形 ABCD 内一点，满足5OA ，4OC，7AC，则OB OD _三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤将答案填在答题纸上）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤将答案填在答题纸上）16.已知在ABC中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，22(sinsin)sinsinsinABCAB.（）求角 C 的大小；（）若3ab，求cos(2)BC的值.17.如图，在四棱锥EABCD中，平面ABCD平面ABE，/ABDC，ABBC，第 4页/共 6页222ABBCCD，3AEBE，点 M 为BE的中点.（1）求证：CM 平面ADE；（2）求平面EBD与平面BDC夹角的正弦值；（3）在线段AD上是否存在一点 N，使直线MD与平面BEN所成的角正弦值为4 621，若存在求出AN的长，若不存在说明理由.18.已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为F，上顶点为B，离心率为53，且过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为83.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线:l ykxm与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若458MP BFm ，求直线l的方程.19.已知数列 na是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 64 数列 nb是公比大于 0 的等比数列，13b，3218bb（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）记21nnnca，*Nn，求数列 nc的前2n项和2nS；（3）设223nndbn，记11nniiTd，证明：当*nN时，23722322nnnTab20.已知函数 1lne0 xf xaxa有最大值2，（1）求实数a的值；（2）若lnyx与ex my有公切线1lnyk xa，求k mk的值第 5页/共 6页（3）若有ln1lnex mxk xa，求k mk的最大值第 1页/共 23页天津市耀华中学天津市耀华中学 2023 届高三年级第三次月考数学试卷届高三年级第三次月考数学试卷本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分考试用时分考试用时 120 分钟第分钟第 I 卷（选择题共卷（选择题共 45 分）一、选择题（本大题共分）一、选择题（本大题共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的将答案填在规定位置）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的将答案填在规定位置）1.设集2,1,0,1,2A.集合2|20Bx xx.则AB（）A.1,0,1B.0,1C.1,2D.1,0,1,2【答案】B【解析】【分析】解不等式得到集合B，再利用集合的交集求解.【详解】2|20|210|12Bx xxxxxxx 又2,1,0,1,2A，所以AB 0,1故选：B2.在ABC 中，“sinsinAB”是“AB”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先利用大角对大边得到ab，进而利用正弦定理将边边关系得到sinsinAB，即证明了必要性，再同理得到充分性【详解】在三角形中，若 AB，则边 ab，由正弦定理sinsinabAB，得sinsinAB若sinsinAB，则由正弦定理sinsinabAB，得 ab，根据大边对大角，可知 AB，即sinsinAB是 AB 的充要条件 故选 C.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题解决此题的关键是利用“大边对大角，大角对大边”进行sinsinAB与AB的转化.第 2页/共 23页3.函数3341xyx的图像大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用2x 时0y 排除选项 D，利用2x 时0y 排除选项 C，利用12x 时0y 排除选项 B，所以选项 A 正确.【详解】函数3341xyx的定义域为1x x 当2x 时，33342801521y，可知选项 D 错误；当2x 时，33432801521y，可知选项 C 错误；当12x 时，33431122060112y，可知选项 B 错误，选项 A 正确.故选：A第 3页/共 23页4.2022 年 12 月 4 日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪法”，耀华园结合线上教育教学模式，开展了云升旗，云班会等活动其中由学生会同学制作了宪法学习问卷，收获了有效答卷 2000 份，先对其得分情况进行了统计，按照50,60、60,70、90,100分成 5 组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法不正确的是（）A.图中x的值为 0.02B.由直方图中的数据，可估计 75%分位数是 85C.由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为 77D.90 分以上将获得优秀，则全校有 20 人获得优秀【答案】D【解析】【分析】根据统计学的有关原理逐项分析.【详解】对于 A，0.0050.0350.0300.010101,0.020 xx ，正确；对于 B，0.0050.0200.035100.6，0.0050.0200.0350.030100.9，75%分位数=0.750.68010850.3，正确；对于 C，平均数=55 0.0565 0.275 0.35 85 0.3 95 0.177，正确；对于 D，90 分以上的人数为2000 0.1200，错误；故选：D.5.已知M：222220 xyxy，直线l：220 xy，P为l上的动点，过点P作M 的切线,PA PB，切点为,A B，当|PMAB最小时，直线AB的方程为（）A.210 xy B.210 xy C.210 xy D.210 xy【答案】D【解析】第 4页/共 23页【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,A P B M共圆，且ABMP，根据44PAMPMABSPA可知，当直线MPl时，PMAB最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程【详解】圆的方程可化为22114xy，点M到直线l的距离为222 1 1 25221d ，所以直线l与圆相离依圆的知识可知，四点,A P B M四点共圆，且ABMP，所以14442PAMPMABSPAAMPA，而24PAMP，当直线MPl时，min5MP，min1PA，此时PMAB最小1:112MP yx 即1122yx，由1122220yxxy解得，10 xy 所以以MP为直径的圆的方程为1110 xxy y，即2210 xyy，两圆的方程相减可得：210 xy，即为直线AB的方程故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题6.设函数 2sincoscos2fxxxx，则下列结论错误的是（）A.f x的最大值为21B.f x的一个零点为8x C.f x的最小正周期为D.yf x的图象关于直线38x 对称【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式，然后利用三角函双 E 图象与性质进行判定.第 5页/共 23页【详解】2()(sincos)cos21 sin2cos212sin 24f xxxxxxx ，所以()f x的最小正周期为，()f x的最大值为21，C，A 正确；当38x 时，3sin 2184，所以()yf x的图象关于直线38x 对称，D 正确；因为108f，所以8x 不是函数()f x的零点，B 错误，故选：B.7.双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点分别是1F，2F，离心率为e，过1F的直线交双曲线的左支于M，N两点，若2MF N是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则2e等于（）A.52 2B.52 2C.3D.2 32【答案】A【解析】【分析】根据双曲线性质设1MFm，则22MFma，12NFa，24NFa，计算得到2 22ma，根据勾股定理解得答案.【详解】2MF N是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设1MFm，则22MFma，12NFa，2224NFaaa，则222NFMF，即422ama，解得2 22ma，在直角12MFF中：22242 222 2caa，化简得到222208 252 24cea.故选：A.8.已知0.5xx，0.5logyyx，log0.5zxz，则（）A.yxzB.zxyC.xzyD.zyx【答案】A【解析】【分析】将0.5xx变形为0.5logxx，然后从对数函数的定义域及单调性考虑，结合指数函数的值域，第 6页/共 23页得到0.51x，进而得到1xz，0.5,1y，yxx，结合0.5logxx，0.5logyyx，得到0.50.5loglogxy，xy，求出yxz.【详解】要比较0.5xx，0.5logyyx，log0.5zxz 中的,x y z大小，等价于比较0.5logxx，0.5logyyx，log0.5zxz 中的,x y z大小，0.5logxx，由定义域可知0 x，故0.50.51log0logx，0.5logyx在定义域上单调递减，0.501,0log1xx，0.51x，0.50z，1log0logxxz，0.51x，01z，故0.50,1z，则log0,1xz，1xz，0.5logyyx，由定义域可知：0y，又0.51x，0,1yx，则0.5log0,1y，0.5,1y，故yxx，0.5logxx，0.5logyyx，0.50.5loglogxy，xy，yxz.故选：A.【点睛】方法点睛：对数比较大小的方法有：（1）对于真数相同的对数，可利用倒数法加以解决，有时也可把对数转化为指数式进行比较；第 7页/共 23页（2）当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与 0 或 1 的关系，从而确定所比两值的大小关系9.已知定义在R上的偶函数()f x，满足3222()()()0f xf xx f xx对任意的实数x都成立，且值域为0,1.设函数()1g xxmx，（1m），若对任意的11(2,)2x ，存在21xx，使得21()()g xf x成立，则实数m的取值范围为（）A.6,1)B.51,22C.0,1)D.1,02【答案】D【解析】【分析】先根据函数 f x满足的关系式及奇偶性，值域，得到 1,1,111,1xf xxxx ，再写出1,()21,11,1mxmg xxmmxmx，在同一坐标系中画出两函数图象，结合当1x 时，1 1g xm 及1,2 x时，g x的图象要位于 f x的下方，得到1122gf，求出实数m的取值范围.【详解】3222()()()0f xf xx f xx变形为22()()10fxxf x，所以()1f x 或22()fxx，即()1f x 或()f xx，因为 f x为偶函数，且值域为0,1，所以 1,1,111,1xf xxxx ，因为1m，所以1,()121,11,1mxmg xxmxxmmxmx，在同一坐标系中画出两者的函数图象，如下图：第 8页/共 23页要想满足若对任意的11(2,)2x ，存在21xx，使得21()()g xf x成立，则当1x 时，1 1g xm ，所以0m，且1,2 x时，g x的图象要位于 f x的下方，故只需1122gf，即12m，解得：12m ，综上：实数m的取值范围是1,02.故选：D【点睛】对于函数恒成立或有解问题，要画出函数图象，对比函数值域，数形结合，列出不等式，求出参数的取值范围.第第卷（非选择题共卷（非选择题共 105 分）二、填空题（本大题共分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分将答案填在答题纸相应位置上）分将答案填在答题纸相应位置上）10.若13iz ，则1zzz_.【答案】13i33【解析】【分析】代入后利用复数的乘法运算法则计算即可.【详解】由于13iz ，所以131313133313131zzz iiiii.故答案为：13i33.第 9页/共 23页11.5323xx展开式中的常数项为_【答案】270【解析】【分析】写出二项展开式的通项531523CrrrrTxx，令3(5)2rr即可得3r，代入计算可得其常数项.【详解】由题意可知，其通项为533(5)1552231C3CrrrrrrrrTxxxx，令3(5)2rr，得3r；则常数项为3233335523C3C270 xx .故答案为：27012.“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录我国古代天文学和数学著作周牌算经中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长依次成等差数列若冬至的日影子长为 15.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是_尺【答案】40【解析】【分析】把对应的十二节气分别对应成等差数列的前12项，相当于已知11215.5,4.5aa，求解5678aaaa.【详解】设从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长以此成等差数列 na，设公差为d，则11215.5,4.5aa所以15.5 114.5d，则1d ，所以雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和为567811.5 10.59.58.540aaaa故答案为：4013.在三棱锥PABC中，2 5PAPBPC，2 3ABBCAC，则三棱锥PABC外接球的体积是_第 10页/共 23页【答案】1256【解析】【分析】作出图形，取等边ABC的中心G，连接PG，可知三棱锥PABC外接球球心在直线PG上，设三棱锥PABC外接球的半径为R，根据几何关系列出关于R的方程，解出R的值，进而可求得三棱锥PABC外接球的体积.【详解】取等边ABC的中心G，连接PG、AG，如下图所示：2 5PAPBPC，2 3ABBCAC，所以，三棱锥PABC为正三棱锥，所以，三棱锥PABC外接球球心O在直线PG，设该球的半径为R，由正弦定理得22sin3ABAG，所以，224PGPAAG，由勾股定理得222OAOGAG，即2244RR，解得52R，因此，三棱锥PABC外接球的体积为334451253326VR.故答案为：1256.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，要分析出球心的位置，并结合几何关系列等式求解，考查计算能力，属于中等题.14.已知正数,x y满足22831322xxyxyy，则xy的最小值是_【答案】52【解析】【分析】根据题意，将等式22831322xxyxyy化简变形，得到xy的表达式，根据表达式特征利用换元法构造函数，求导得出函数单调性即可得出最小值.第 11页/共 23页【详解】根据题意，由22831322xxyxyy可得22228(2)3(32)1(32)(2)xyyxxyxxy xyy，即322223221)6914384384yxxyxx yxyyxxyyyx所以22222222169 1416914383844yyyxxyxxyyyxxyxxxy；又因为,x y均是正数，令0,ytx，则221614983()4xyfttttt所以，22221831()4444316149348388183tttttttttf tt令2384)183(gtttt，则1616162112110211018999()29271839618327961832727g ttttttt当且仅当1621996183tt，即12t 时，等号成立；所以2181455()44184182718332f tttt所以()f t的最小值为min5()2f t;即当1,252ytxyx时，即55,2xy时，等号成立.故答案为：52【点睛】关键点点睛：根据等式特征可知，利用基本不等式条件不明显，所以首先得出xy的表达式，根据222241691438yxyxyyxxxy可利用齐次式特征构造函数，再进行化简凑成基本不等式求解即可.15.已知 O 为矩形 ABCD 内一点，满足5OA ，4OC，7AC，则OB OD _【答案】4【解析】第 12页/共 23页【分析】根据平面向量的线性运算、数量积的运算律以及余弦定理可求出结果.【详解】OB OD OAABOCCD OA OC OA CD AB OC AB CD OA OC OA AB AB OC AB CD OA OC ()ABOCOAAB CD OA OC AB ACAB CD OA OC ABACCD OA OC AB AD OA OC|cos,OAOCOA OC 222|2|OAOCACOAOCOAOC 222|2OAOCAC 25 164924.故答案为：4.三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤将答案填在答题纸上）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤将答案填在答题纸上）16.已知在ABC中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，22(sinsin)sinsinsinABCAB.（）求角 C 的大小；（）若3ab，求cos(2)BC的值.【答案】（）3；（）17.【解析】【分析】（）利用正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.第 13页/共 23页（）利用正弦定理的边角互化可得sin3sinAB，再由23AB求出3tan5B，再利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】（）22(sinsin)sinsinsinABCAB由正弦定理得22()abcab，即222abcab1cos2C，又(0,)C3C；（）3ab，由正弦定理得sin3sinAB，23AB，2sin3sin3BB，3tan5B，0,2B215 7sin,cos1414BB，5 311sin22sincos,cos21414BBBB1cos(2)cos2cossin2 sin7BCBCBC 17.如图，在四棱锥EABCD中，平面ABCD平面ABE，/ABDC，ABBC，222ABBCCD，3AEBE，点 M 为BE的中点.（1）求证：CM 平面ADE；（2）求平面EBD与平面BDC夹角的正弦值；（3）在线段AD上是否存在一点 N，使直线MD与平面BEN所成的角正弦值为4 621，若存在求出AN的第 14页/共 23页长，若不存在说明理由.【答案】（1）见解析（2）2 55（3）22【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理证明（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解（3）待定系数法表示N点坐标，由空间向量求解【小问 1 详解】取AE中点F，连接,DF MFM是BE的中点，/MF AB，12MFAB，故/MF CD，MFCD，四边形MFDC为平行四边形，/MC FD，而MC 平面ADE，FD 平面ADE，CM平面ADE【小问 2 详解】因为平面ABCD平面ABE，ABBC，BC平面ABCD，平面ABCD平面ABEAB，所以BC平面ABE，取AB中点O，连接,OD OE，易得DO 平面ABE，OBOE以O为原点，,OE OB OE所在直线分别为,x y z轴建立空间直角坐标系则有(2,0,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)EBCD，(0,1,1),(2,1,0)BDBE ，设平面EBD的一个法向量为1(,)nx y z，第 15页/共 23页由1100nBDnBE 得020yzxy，取1x，得1(1,2,2)n，易知平面BDC的一个法向量为2(1,0,0)n ，则1212|15cos=5|1+2+2n nn n ，2 5sin5，故平面EBD与平面BDC夹角的正弦值为2 55【小问 3 详解】(0,1,0)A，(0,1,1)AD，设(0,)ANtADt t，0,1t则(0,1,)Ntt，(0,2,)BNtt，(2,1,0)BE ，设平面BEN的一个法向量为(,)nx y z，由00n BNn BE 得(2)020tytzxy，得2(,2)2nt tt，而21(,1)22MD ，故22211|2|4 622sin21|111(2)1224tttMD nMD nttt ，21634130tt，解得12t 或138t（舍去）故1222ANAD18.已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为F，上顶点为B，离心率为53，且过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为83.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线:l ykxm与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交第 16页/共 23页x轴于点P.若458MP BFm ，求直线l的方程.【答案】（1）22194xy（2）510944yx【解析】【分析】（1）通过通径和离心率联立方程可得；（2）分别计算出,M P B F的坐标，再根据直线与椭圆相切求出,m k之间的关系式，代入458MP BFm 可求得,k m,进而求出直线方程.【小问 1 详解】,0F c，则过F的垂线为xc，联立椭圆方程得：22222222221,cyb cbybyabaa 弦长=282,3ba又53cea，联立222abc解之得：3,2,5abc所以，椭圆的标准方程为22194xy【小问 2 详解】由（1）知250,2,5,0,0,(0)25BFNPBFkkNmm，52:,025NPlyxmPm将直线与椭圆联立222214936094xyxkxmykxm整理得：22294189360kxkmxm相切22222184 949360,94.kmkmmk代入22294189360kxkmxm解得：9Mkxm 299,kkMmmm第 17页/共 23页22995,2,5kkBFMPmmmm 222999 518525458kkkkmMP BFmmmmmm 解之：51095109,:4444kml yx【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题19.已知数列 na是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 64 数列 nb是公比大于 0 的等比数列，13b，3218bb（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）记21nnnca，*Nn，求数列 nc的前2n项和2nS；（3）设223nndbn，记11nniiTd，证明：当*nN时，23722322nnnTab【答案】（1）21nan；3nnb（2）28n（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式、前n项和公式进行计算可求出结果；（2）根据221222128(21)12 211141nnnnccnnn 进行并项求和可求出结果；第 18页/共 23页（3）转化为证明2731422 31nnTn，根据21213112 2 32 31nnndnn进行裂项求和可证明不等式成立.【小问 1 详解】因为 na是公差为 2 的等差数列，且864S，所以18 782642a，解得11a，所以1 2121nann；设等比数列 nb的公比为0q q，因为13b，3218bb，所以23318qq，即260qq，解得2q （舍去）或3q，所以13 33nnnb【小问 2 详解】由（1）得 221121nnnncan ，则2212221212 211141nnnnccnn 22222214314141431688(21)nnnnnnnn ，21234212nnnScccccc21218 1 3521882nnnn 【小问 3 详解】由（1）可知：212232 3nnndnnb又3nnb，21nan，所以要证明原不等式成立，只需证明：2731422 31nnTn成立当1n 时，左边=1，右边=1，左边=右边当2n时，因为2122122 31112 32 32 31nnnnnndnnn第 19页/共 23页221122 31114 3212 32 31nnnnnnnn，因为22 3(1)nn22(1 2)(1)nn012222(CC2C2C2)(21)nnnnnnnn 012222(CC2C2)(21)nnnnn 222(1 222)(21)nnnnn2321(32)10nnnn ，所以22 3(1)0nn，因为14 3(21)nn14(1 2)(21)nn01111114(CC2C2)(21)nnnnnn 01114(CC2)(21)nnn650n，所以14 3(21)0nn，因为2231121022nnnn，所以2221(1)3nn，所以22122 312 3(1)0224 3212 3(1)33nnnnnnnn 23，即212 31304 3212nnnn所以当2n时，有21213112 2 32 31nnndnn，所以122121113 11111112 299382 32 3(1)nnndddnn 23 1112 22 3(1)nn 即12111nddd23 1112 22 3(1)nn，所以273142 2 3(1)nnTn，第 20页/共 23页于是，当*nN时，2731422 31nnTn成立综上所述：当*nN时，23722322nnnTab【点睛】关键点点睛：通过放缩得到21213112 2 32 31nnndnn，并利用它进行裂项求和是解题关键.20.已知函数 1lne0 xf xaxa有最大值2，（1）求实数a的值；（2）若lnyx与ex my有公切线1lnyk xa，求k mk的值（3）若有ln1lnex mxk xa，求k mk的最大值【答案】（1）1ea（2）1k mk（3）1【解析】【分析】（1）求导根据导函数的正负确定原函数的单调性，进而根据最大值为2求解即可；（2）分别对两函数求导，设切点，并结合导数的几何意义列式，分别得出lnkk 与1lnkmk即可求解；（3）转化可得mine10 x mkxk在R上恒成立，构造函数 e1Rx mu xkxkx，求导分情况讨论k的范围，从而分析 u x的最小值可得1lnmkkk；同理maxln10 xkxk在0,上恒成立，构造 ln10v xxkxkx，求导分析最大值可得lnkk，从而得到21mkk即可.【小问 1 详解】由题意 11exfxx为减函数，且 10f，故在0,1上()0fx，f x单调递增，在1,上 0fx，f x单调递减.故()12f=-，即ln12a ，解得1ea，第 21页/共 23页经检验，1ea符合题意故1ea【小问 2 详解】由（1）ln1a ，故 1lne1xf xx，公切线公切线1ykxk.设lnyx上切点为11,lnxx，则11kx，代入切线1111111ln1111xk xxxx ，解得lnkk.设ex my上切点为22,exmx，2exmk，切线方程222eexmxmyxx，222ee1xmxmyxx由于公切线222ee11xmxmkxk 解得21111kxkk，21xk因此代回，可得1emkk，1lnkmk再代入，得1kmk，1k mk【小问 3 详解】对于e1x mkxk，可得不等式e10 x mkxk 在R上恒成立，即mine10 x mkxk在R上恒成立，设 e1Rx mu xkxkx，则 ex muxk，若0k，则 0ux，函数 u x在R上单调递增，且 e10 x mu xkxk，符合题意；若0k，令 0lnuxxmk，令 0lnuxxmk，所以 u x在,lnmk上单调递减，在ln,mk上单调递增，所以 minlnln1u xu mkmkkk，由 min0u x，得ln10mkkk，即1lnmkkk；对于1lnkxkx，可得不等式ln10 xkxk 在0,上恒成立，即maxln10 xkxk在0,上恒成立，第 22页/共 23页设 ln10v xxkxkx，则 1v xkx，若0k，则 11 20vk，不符合题意；若0k，令 100v xxk，令 10v xxk，所以 v x在10,k上单调递增，在1,k上单调递减，所以 max1lnv xvkkk，由 max0v x，得ln0kk，即lnkk当0k 时，由得，22221ln11mkkkkkkk ，即21mkk，设 lnh kkk，则22e2e0h ，110h，故 h k存在零点0k，故21mkk当且仅当0kk，0001lnkkmk时等号成立综上，2mkk的最大值为 1【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义解决切线的问题，同时也考查了构造函数解决不等式恒成立的问题.需要根据题意将不等式转化到一边，构造函数，求导分情况讨论分析函数的最值，并结合前后问的关系推导.属于难题.