年全国卷2理科数学试题及答案.pdf

12014 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二理科（新课标卷二）第卷一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 M=0,1,2，N=，则=()2|320 x xx MNA.1B.2C.0，1D.1，2【答案】D【解析】把 M=0,1,2中的数,代入不等式经检验 x=1,2 满足。所以选 D.,023-2+xx2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（）1z2z12zi1 2z z A.-5B.5 C.-4+iD.-4-i【答案】B【解析】.,5-4-1-,2-,2212211Bzzizzziz故选关于虚轴对称，与=+=+=Q3.设向量 a,b 满足|a+b|=，|a-b|=，则 a b=()106A.1B.2C.3D.5【答案】A【解析】.,1,62-102,6|-|,10|2222Abababababababa故选联立方程解得，=+=+=+Q4.钝角三角形 ABC 的面积是，AB=1，BC=，则 AC=()122A.5B.5C.2D.1【答案】B【解】2.5,cos2-43ABC4.43,4,22sin21sin1221sin21222ABCBbBaccabBBBBBBacS故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+=Q5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【答案答案】A【解析】.,8.0,75.06.0,Appp故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.B.C.D.172759102713【答案答案】C【解析】.27105434-54.342944.2342.54696321Cvv故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，高加工前的零件半径为=+=QQ7.执行右图程序框图，如果输入的 x,t 均为 2，则输出的 S=（）A.4 B.5 C.6 D.7 【答案答案】C【解析】3.3 7 2 2 5 2 1 3 1 ,2,2CKSMtx故选变量变化情况如下：=8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a=A.0 B.1 C.2 D.3 【答案答案】D【解析】.3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(Daffxaxfxaxxf故选联立解得且=+=+=Q9.设 x,y 满足约束条件，则的最大值为（）7031 0350 xyxyxy2zxyA.10 B.8 C.3 D.2【答案答案】B【解析】.8,)2,5(07-013-2Bzyxyxyxz故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为=+=+=10.设 F 为抛物线 C:的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A,B 两点，O 为坐标原点，23yx则OAB 的面积为（）A.B.C.D.3 349 38633294【答案答案】D【解析】4.49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2OABDnmSnmnmnnmmnBFmAFBA故选，解得直角三角形知识可得，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+=+=+=+=11.直三棱柱 ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（）A.B.C.D.11025301022【答案答案】C【解析】.10305641-0|cos2-1-,0(2-1,1-().0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,111111CANBMANBMANBMNMBACCBCACZYXCCACBC故选）。，），则轴，建立坐标系。令为，如图，分别以=+=12.设函数.若存在的极值点满足，则 m 的取值范 3sinxf xm f x0 x 22200 xf xm围是（）A.B.C.D.,66,44,22,14,【答案答案】C【解析】5.2.|,3434)(,2|,3)(3sin3)(2222020020Cmmmmxfxmxxfmxxf故选解得，即的极值为+=+=xxxxxfxxffxfyQ616.设点 M（,1），若在圆 O:上存在点 N，使得OMN=45，则的取值范围是0 x221xy0 x_.【答案答案】1,1-【解析】.1,1-x.1,1-x.,1)M(x1,yO000故形外角知识，可得由圆的切线相等及三角在直线上其中和直线在坐标系中画出圆=三三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知数列满足=1，.na1a131nnaa（）证明是等比数列，并求的通项公式；12na na（）证明：.1231112naaa+【答案答案】(1)无无（2）无无【解析】（1）的等比数列。公比为是首项为3,232121).21(3211321a.*N.n13,111n11=+=+=+=+aaaaaaannnnnQ(2)（证毕），所以，）（时，当，知，由.*231111.2331-12331-131-131313111111.311-3211,11.1-32121-3,2321)1(3211-213211-1Nnaaaaaaaaanaaaannnnnnnnnnnnnn+=+=+LLL18.（本小题满分 12 分）7如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点.（）证明：PB平面 AEC；（）设二面角 D-AE-C 为 60，AP=1，AD=，求三棱锥 E-ACD 的体积.3【答案答案】(1)无无（2）无无【解析】（1）设 AC 的中点为 G,连接 EG。在三角形 PBD 中，中位线 EG/PB,且 EG 在平面 AEC 上，所以PB/平面 AEC.（2）设 CD=m,分别以 AD,AB,AP 为 X,Y,Z 轴建立坐标系，则。的体积为所以，三棱锥的高即为三棱锥面且的中点，则为设解得解得一个则法向量为同理设平面解得一个则法向量为设平面83-.8321323213131.-,212,/.23,21333|,cos|3cos).3-,3-,(,0,0),().0,1,0(,0,0),().0,3(),21,0,23(),0,0,3().0,3(),21,0,23(),0,0,3(),0,0,0(-2222222222222221111111ACDEEFSVACDEACDEFEFPAEFPAADFmmmnnnnnnmmnAEnACnzyxnACEnAEnADnzyxnADEmACAEADmCEDAACDACDE=+=ybQ20.（本小题满分 12 分）设,分别是椭圆的左右焦点，M 是 C 上一点且与 x 轴垂直，直线1F2F222210yxabab2MF9与 C 的另一个交点为 N.1MF（）若直线 MN 的斜率为，求 C 的离心率；34（）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且，求 a,b.15MNFN【答案答案】(1)21（2）72,7=ba【解析】（1）.21.2102-32.,43214322222211的离心率为解得，联立整理得：且由题知，CeeecbacabFFMF=+=Q（2）72,7.72,7.,1:4:)23-(,:.23-,.4,.42222211111122=+=+=+=babacbaaceNFMFceaNFecaMFccNMmMFmNFabMF所以，联立解得，且由焦半径公式可得两点横坐标分别为可得由两直角三角形相似，由题可知设，即知，由三角形中位线知识可21.（本小题满分 12 分）已知函数=f x2xxeex（）讨论的单调性；f x（）设，当时，,求的最大值；24g xfxbf x0 x 0g x b（）已知，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001）1.414221.414310【答案答案】(1)上单增在Rxf)(（2）2【解析】（1）.)(.02-122-12-)(2-)(-上单增在所以，RxfeeeeeexfRxxeexfxxxxxxxx=+=+=Q（2）2220-0)-(-)(0)-(2-2-2.0)(0,tt),(0,x)-(2-2-2)(.0)0(,0mm),(0,x)2-(2-2-)(.0)2-(2-2-0)2-(4-4-22.0)(0,mm),(0,x)2-(4-4-22)(.0)0(,0),2-(4-4-)(.0,0)2-(4-4-)(4-)2()(-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2的最大值为，所以，即即，且，即即使，则，同理，令即即使，则令bbeeeebeeeeeebeeeeeebeexmeebeexmmeebeexmeebeeeebeexheebeexhhxxeebxeexhxxeebxeexbfxfxgxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx=+=+=+=（3）.222ln41-232.41-2322ln23-242ln6),2ln2-21-282ln2-21-2)2(ln8)2(ln)2(ln8)2ln2(,02ln),(8)2()2(.222ln.02ln-222ln2-21-2)2(ln,0)2(ln,02ln=所以，即解得（，即即，则令知，由解得即则设ffffxxfxfffx请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分 10）选修 41：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与O 相ee11交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的延长线交O 于点 E.证明：e（）BE=EC；（）AD DE=22PB【答案答案】(1)无无（2）无）无【解析】（1）EC.BEBECEBEBE,BEDEBPDA.AECE,EB,2=+=+=+=+=，所以，即即则连接为等腰三角形。，DBDDDPADBADPABBCEPABBBDPABABPADPDPADCPDPAPCQQ（2）222PAPA-PAPB-PB)PA-(PADCBD,PADC,BDDEADPBPBPBPBPCPBPCPBPADCPDPCPB=）（Q23.（本小题满分 10）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为，2cos.0,2（）求 C 的参数方程；（）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线垂直，根据（）中你得到的参数方:32l yx程，确定 D 的坐标.12所以 D 点坐标为或。3 1(1,)2231(1,)2224.（本小题满分 10）选修 4-5：不等式选讲设函数=f x1(0)xxa aa（）证明：2；f x（）若，求的取值范围.35fa