年四川省绵阳市南山中学自主招生数学试卷(解析版).pdf

第 1 页（共 28 页）2015 年四川省绵阳市南山中学自主招生数学试卷年四川省绵阳市南山中学自主招生数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.每小题给出的四个选项中，只有一个符每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）合题目的要求）14 的相反数是（）A B C 4D 42绵阳科技城是四川省第二大城市，2012 年国民生产总值约为 14000000 万元，用科学记数法表示应为（）万元 A 14107B 1.4107C 1.4106D 0.141073一次数学测试后，随机抽取九年级某班 5 名学生的成绩如下：91，78，98，85，98关于这组数据说法错误的是（）A 平均数是 91B 极差是 20C 中位数是 91D 众数是 984在一个不透明的盒子中装有 3 个红球、2 个黄球和 1 个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为（）A B C D 15已知 x 是实数，且（x2）（x3）=0，则 x2+x+1 的值为（）A 13B 7C 3D 13 或 7 或 36如图，在四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点若 EF=2，BC=5，CD=3，则 sinC 等于（）A B C D 7如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）第 2 页（共 28 页）A 点（0，3）B 点（2，3）C 点（6，1）D 点（5，1）8将抛物线 y=3x2先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（）A y=3（x+2）2+1 B y=3（x+2）21C y=3（x2）2+1D y=3（x2）219下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数 y=ax2+（a+c）x+c 与一次函数 y=ax+c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）A B C D 10如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，若O 的半径为，AC=2，则 sinB 的值是（）A B C D 11如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4将矩形 ABCD 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90后，得到矩形 FGCE（点 A、B、D 的对应点分别为点 F、G、E）动点 P 从点 B 开始沿 BCCE 运动到点 E后停止，动点 Q 从点 E 开始沿 EFFG 运动到点 G 后停止，这两点的运动速度均为每秒 1 个单位若点 P 和点 Q 同时开始运动，运动时间为 x（秒），APQ 的面积为 y，则能够正确反映 y 与x 之间的函数关系的图象大致是（）第 3 页（共 28 页）A B C D 12如图，在ABC 中，AB=AC=5，CB=8，分别以 AB、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（）A B 2524C 2512D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.请将答案填入答题卡相应的横线上请将答案填入答题卡相应的横线上.）13函数中自变量 x 的取值范围是14分解因式：a34a2+4a=15已知O1与O2的半径分别是方程 x28x+15=0 的两根，且两圆的圆心距 O1O2=t+2，若这两个圆相交，则 t 的取值范围为16在平面直角坐标系 xOy 中，有一只电子青蛙在点 A（1，0）处第一次，它从点 A 先向右跳跃 1 个单位，再向上跳跃 1 个单位到达点 A1；第二次，它从点 A1先向左跳跃 2 个单位，再向下跳跃 2 个单位到达点 A2；第三次，它从点 A2先向右跳跃 3 个单位，再向上跳跃 3 个单位到达点A3；第四次，它从点 A3先向左跳跃 4 个单位，再向下跳跃 4 个单位到达点 A4；依此规律进行，点 A7的坐标为；若点 An的坐标为（2014，2013），则 n=17如图，PA 与O 相切于点 A，PO 的延长线与O 交于点 C，若O 的半径为 3，PA=4弦AC 的长为18在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AB=BC，E 为 AB 边上一点，BCE=15，且AE=AD，连接 DE 交对角线 AC 于 H，连接 BH下列结论：第 4 页（共 28 页）ACDACE；CDE 为等边三角形；，其中结论正确的是三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，共个小题，共 90 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1）计算：+（1）02sin60+31（2）先化简，后计算：（），其中 a=320近年来，北京郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目，京郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高以下是根据北京市统计局 2013 年 1 月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分北京市 20092012 年农业观光园经营年收入增长率统计表年份年增长率（精确到 1%）2009 年12%2010 年2011 年22%2012 年24%请根据以上信息解答下列问题：（1）北京市 2010 年农业观光园经营年收入的年增长率是；（结果精确到 1%）（2）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到 0.1）（3）如果从 2012 年以后，北京市农业观光园经营年收入都按 30%的年增长率增长，请你估算，若经营年收入要不低于 2008 年的 4 倍，至少要到年（填写年份）第 5 页（共 28 页）21如图，已知等腰直角ABC 中，BAC=90，圆心 O 在ABC 内部，且O 经过 B、C 两点，若 BC=8，AO=1，求O 的半径22某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为 2300 元，销售单价定为 3000 元在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过 10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销售单价均不低于 2500 元（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2500 元？（2）设商家一次购买这种产品 x 件，开发公司所获得的利润为 y 元，求 y（元）与 x（件）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围23如图，在ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径作O 交 BC 于点 D，过点 D 作 FEAB 于点 E，交 AC 的延长线于点 F（1）求证：EF 与O 相切；（2）若 AE=6，sinCFD=，求 EB 的长第 6 页（共 28 页）24如图，AB 为O 的直径，AB=4，P 为 AB 上一点，过点 P 作O 的弦 CD，设BCD=mACD（1）已知，求 m 的值，及BCD、ACD 的度数各是多少？（2）在（1）的条件下，且，求弦 CD 的长；（3）当时，是否存在正实数 m，使弦 CD 最短？如果存在，求出 m 的值，如果不存在，说明理由25如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=x+m 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点B（0，），抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B，且与直线 l 的另一个交点为 C（n，）（1）求 n 的值和抛物线的解析式；（2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0tn）DEy 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线 l上，且四边形 DFEG 为矩形（如图 2）若矩形 DFEG 的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90后，得到A1O1B1，点 A、O、B的对应点分别是点 A1、O1、B1若A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求出点 A1的横坐标第 7 页（共 28 页）2015 年四川省绵阳市南山中学自主招生数学试卷年四川省绵阳市南山中学自主招生数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.每小题给出的四个选项中，只有一个符每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）合题目的要求）14 的相反数是（）A B C 4D 4考点：相反数专题：常规题型分析：根据相反数的定义作答即可解答：解：4 的相反数是 4故选 C点评：本题考查了相反数的知识，注意互为相反数的特点：互为相反数的两个数的和为 02绵阳科技城是四川省第二大城市，2012 年国民生产总值约为 14000000 万元，用科学记数法表示应为（）万元 A 14107B 1.4107C 1.4106D 0.14107考点：科学记数法表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数解答：解：将 14000000 万用科学记数法表示为 1.4107万元，故选 B点评：本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3一次数学测试后，随机抽取九年级某班 5 名学生的成绩如下：91，78，98，85，98关于这组数据说法错误的是（）A 平均数是 91B 极差是 20C 中位数是 91D 众数是 98考点：极差；算术平均数；中位数；众数分析：根据平均数、中位数、众数和极差的定义求解解答：解：根据定义可得，极差是 20，众数是 98，中位数是 91，平均数是 90故 A 错误故选 A点评：本题重点考查平均数，中位数，众数及极差的概念及求法4在一个不透明的盒子中装有 3 个红球、2 个黄球和 1 个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为（）第 8 页（共 28 页）A B C D 1考点：概率公式专题：计算题分析：根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数为 6；符合条件的情况数目为 2；二者的比值就是其发生的概率解答：解：黄球共有 2 个，球数共有 3+2+1=6 个，P（黄球）=，故选 B点评：本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）=5已知 x 是实数，且（x2）（x3）=0，则 x2+x+1 的值为（）A 13B 7C 3D 13 或 7 或 3考点：二次根式有意义的条件分析：根据二次根式的性质求出 x1，求出 x 的值，代入求出即可解答：解：要使（x2）（x3）有意义，1x0，x1，x 是实数，且（x2）（x3）=0，x2=0，x3=0，=0，x=2 或 x=3 或 x=1，x=1，x2+x+1=12+1+1=3，故选 C点评：本题考查了二次根式的性质和求代数式的值的应用，关键是求出 x 的值6如图，在四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点若 EF=2，BC=5，CD=3，则 sinC 等于（）第 9 页（共 28 页）A B C D 考点：三角形中位线定理；勾股定理的逆定理分析：如图，连接 BD，由三角形中位线定理得到 BD 的长度，然后利用勾股定理的逆定理推知BCD 为直角三角形，最后由锐角三角函数的定义进行解答解答：解：连接 BD，E、F 分别是 AB、AD 的中点，EFBD，EF=BD，EF=2，BD=4，又BC=5，CD=3，BD2+CD2=BC2，BDC 是直角三角形，sinC=，故选：C点评：此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理，根据已知得出BDC 是直角三角形是解题关键7如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A 点（0，3）B 点（2，3）C 点（6，1）D 点（5，1）考点：切线的判定；坐标与图形性质专题：数形结合分析：先根据垂径定理的推论得到过格点 A，B，C 的圆的圆心 P 点坐标（2，0），连结 PB，过点B 作 PB 的垂线，根据切线的判定定理得 l 为P 的切线，然后利用 l 经过的格点对四个选项进行判断解答：解：作 AB 和 BC 的垂直平分线，它们相交于 P 点，如图，则过格点 A，B，C 的圆的圆心 P 点坐标为（2，0），连结 PB，过点 B 作 PB 的垂线，则 l 为P 的切线，第 10 页（共 28 页）从图形可得点（1，3）和点（5，1）在直线 l 上，故选 D点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可也考查了垂径定理和坐标与图形性质8将抛物线 y=3x2先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（）A y=3（x+2）2+1 B y=3（x+2）21C y=3（x2）2+1D y=3（x2）21考点：二次函数图象与几何变换专题：探究型分析：根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可解答：解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线 y=3x2先向左平移 2 个单位可得到抛物线y=3（x+2）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线 y=3（x+2）2先向下平移 1 个单位可得到抛物线 y=3（x+2）21故选 B点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键9下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数 y=ax2+（a+c）x+c 与一次函数 y=ax+c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）A B C D 考点：二次函数的图象；一次函数的图象专题：压轴题第 11 页（共 28 页）分析：本题可先由一次函数 y=ax+c 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y=ax2+（a+c）x+c 的图象相比较看是否一致，用排除法即可解答解答：解：A、一次函数 y=ax+c 的图象过一、三象限，a0，与二次函数开口向下，即 a0 相矛盾，错误；B、一次函数 y=ax+c 的图象过二、四象限，a0，与二次函数开口向上，a0 相矛盾，错误；C、y=ax2+（a+c）x+c=（ax+c）（x+1），故此二次函数与 x 轴的两个交点为（，0），（1，0），一次函数 y=ax+c 与 x 轴的交点为（，0），故两函数在 x 轴上有交点，错误；排除 A、B、C，故选 D点评：本题考查二次函数与一次函数的图象性质，比较简单10如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，若O 的半径为，AC=2，则 sinB 的值是（）A B C D 考点：锐角三角函数的定义；圆周角定理；三角形的外接圆与外心分析：求角的三角函数值，可以转化为求直角三角形边的比，连接 DC根据同弧所对的圆周角相等，就可以转化为：求直角三角形的锐角的三角函数值的问题解答：解：连接 DC根据直径所对的圆周角是直角，得ACD=90根据同弧所对的圆周角相等，得B=DsinB=sinD=故选 A点评：综合运用了圆周角定理及其推论注意求一个角的锐角三角函数时，能够根据条件把角转化到一个直角三角形中第 12 页（共 28 页）11如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4将矩形 ABCD 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90后，得到矩形 FGCE（点 A、B、D 的对应点分别为点 F、G、E）动点 P 从点 B 开始沿 BCCE 运动到点 E后停止，动点 Q 从点 E 开始沿 EFFG 运动到点 G 后停止，这两点的运动速度均为每秒 1 个单位若点 P 和点 Q 同时开始运动，运动时间为 x（秒），APQ 的面积为 y，则能够正确反映 y 与x 之间的函数关系的图象大致是（）A B C D 考点：动点问题的函数图象分析：先求出点 P 在 BE 上运动是时间为 6 秒，点 Q 在 EFFG 上运动是时间为 6 秒，然后分：当 0 x4 时，根据APQ 的面积为 y=S矩形 MBEFSABPSPEQS梯形 FMAQ，列式整理即可得解；当 4x6 时，根据APQ 的面积为APQ 的面积为 y=S梯形 MBPQSBPASAMQ，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象即可解答：解：如图 1，延长 AD 交 EF 于 H，延长 FG 与 BA 的延长线交于点 M当 0 x4 时，y=64 2x（6x）x（4x+2）6=x2x+6=（x1）2+，此时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，且顶点坐标是（1，）故 C、D 选项错误；点 Q 在 GF 上时，4x6，BP=x，MQ=6+4x=10 x，APQ 的面积为 y=S梯形 MBPQSBPASAMQ，=（x+10 x）4 2x（10 x）2，=10，综上所述，y=，故选：A第 13 页（共 28 页）点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据点 Q 运动时间和位置，分点 Q 在 CEEF、GF 上两种情况，利用割补法求得APQ 的面积，从而得到函数关系式是解题的关键，也是本题的难点12如图，在ABC 中，AB=AC=5，CB=8，分别以 AB、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（）A B 2524C 2512D 考点：扇形面积的计算；等腰三角形的性质分析：设以 AB、AC 为直径作半圆交 BC 于 D 点，连 AD，根据直径所对的圆周角为直角得到ADBC，再根据勾股定理计算出 AD，然后利用阴影部分面积=半圆 AC 的面积+半圆 AB 的面积ABC 的面积计算即可解答：解：设以 AB、AC 为直径作半圆交 BC 于 D 点，连 AD，如图，ADBC，BD=DC=BC=4，AB=AC=5，AD=3，阴影部分面积=半圆 AC 的面积+半圆 AB 的面积ABC 的面积=（）2 83=12故选：D第 14 页（共 28 页）点评：本题考查了不规则图形面积的计算方法：把不规则的图形面积的计算转化为规则图形的面积和差来计算也考查了圆周角定理的推论以及勾股定理二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.请将答案填入答题卡相应的横线上请将答案填入答题卡相应的横线上.）13函数中自变量 x 的取值范围是x2考点：函数自变量的取值范围分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，就可以求解解答：解：依题意，得 x20，解得：x2，故答案为：x2点评：本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数14分解因式：a34a2+4a=a（a2）2考点：提公因式法与公式法的综合运用专题：因式分解分析：观察原式 a34a2+4a，找到公因式 a，提出公因式后发现 a24a+4 是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得解答：解：a34a2+4a，=a（a24a+4），=a（a2）2故答案为：a（a2）2点评：本题考查了对一个多项式因式分解的能力一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法（完全平方公式）要求灵活运用各种方法进行因式分解15已知O1与O2的半径分别是方程 x28x+15=0 的两根，且两圆的圆心距 O1O2=t+2，若这两个圆相交，则 t 的取值范围为0t6考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法分析：首先求得方程的两根，然后根据相交两圆的圆心距的取值范围确定 t 的取值范围即可解答：解：O1与O2的半径分别是方程 x28x+15=0 的两根，解方程得两圆的半径分别为 3 和 5，相交两圆的圆心距 O1O2=t+2，53t+25+3解得：0t6，故答案为：0t6第 15 页（共 28 页）点评：本题考查了两圆半径、圆心距与两圆位置之间的关系，如果设两圆的半径分别为 R 和 r，且Rr，圆心距为 P：外离 PR+r；外切 P=R+r；相交 RrPR+r；内切 P=Rr；内含 PRr16在平面直角坐标系 xOy 中，有一只电子青蛙在点 A（1，0）处第一次，它从点 A 先向右跳跃 1 个单位，再向上跳跃 1 个单位到达点 A1；第二次，它从点 A1先向左跳跃 2 个单位，再向下跳跃 2 个单位到达点 A2；第三次，它从点 A2先向右跳跃 3 个单位，再向上跳跃 3 个单位到达点A3；第四次，它从点 A3先向左跳跃 4 个单位，再向下跳跃 4 个单位到达点 A4；依此规律进行，点 A7的坐标为（5，4）；若点 An的坐标为（2014，2013），则 n=4025考点：规律型：点的坐标分析：根据青蛙在点 A（1，0）的变化情况，得出其中的规律，奇数次横纵坐标每次加一，偶数则每次减一，从而求出点 A7的坐标，再根据点 An的坐标为（2014，2013）在第一象限，以第一次的结果为基础，设为 m，求出 m 的值，即可得出答案解答：解：青蛙在点 A（1，0）处，第一次在点（2，1），第二次在点（0，1），第三次在点（3，2），第四次在点（1，2），第五次在点（4，3），第六次在点（2，3），从上可以看出除去一二两次，奇数次横纵坐标每次加一，偶数则每次减一，A7（5，4），点 An的坐标为（2014，2013），在第一象限，若以第一次的结果为基础，设置为 m，An（2+m2，1+m2），2+m2=2014，m=4024，n=m+1=4024+1=4025故答案为：（5，4，），4025点评：本题考查了点的坐标，用到的知识点是点的移动问题，解题的关键是通过观察，得出其中的规律奇数次横纵坐标每次加一，偶数则两个每次减一17如图，PA 与O 相切于点 A，PO 的延长线与O 交于点 C，若O 的半径为 3，PA=4弦AC 的长为考点：切线的性质专题：压轴题第 16 页（共 28 页）分析：连接 OA，过 A 作 AD 垂直于 C，由 PA 为圆 O 的切线，得到 PA 与 AO 垂直，在直角三角形 AOP 中利用勾股定理求出 OP 的长，利用面积法求出 AD 的长，在直角三角形 APD 中，利用勾股定理求出 PD 的长，由 CPPD 求出 DC 的长，在直角三角形 ADC 中，利用勾股定理即可求出AC 的长解答：解：连接 OA，过 A 作 ADCP，PA 为圆 O 的切线，PAOA，在 RtAOP 中，OA=3，PA=4，根据勾股定理得：OP=5，SAOP=APAO=OPAD，AD=，根据勾股定理得：PD=，CD=PCPD=8=，则根据勾股定理得：AC=故答案为：点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握切线的性质是解本题的关键18在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AB=BC，E 为 AB 边上一点，BCE=15，且AE=AD，连接 DE 交对角线 AC 于 H，连接 BH下列结论：ACDACE；CDE 为等边三角形；，其中结论正确的是第 17 页（共 28 页）考点：直角梯形；全等三角形的判定；等边三角形的判定专题：压轴题分析：AED 与ABC 是等腰直角三角形，根据这个条件就可求得：ACDACE 的条件，就可进行判断解答：解：ABC=90，AB=BC，BAC=ACB=45，又BAD=90，BAC=DAC，又 AD=AE，AC=AC，ACDACE；故正确；同理AED=45，BEC=90BCE=9015=75，DEC=1804575=60，ACDACE，CD=CE，CDE 为等边三角形故正确EAC=DAC，AD=AE，AH=AH，AEHADH，CHE=90，CHE 为直角三角形，且HEC=60EC=2EHECB=15，EC4EB，=2 不成立；作 EC 的中垂线交 BC 于点 F，连接 EF，则 EF=FC，FEC=BCE=15，BFE=30，设 BE=a，则 EF=FC=2a，在直角BEF 中，BF=a，BC=a+2a=（2+）a，SBEC=BEBC=a2；在直角BEC 中，EC=2a，CDE 为等边三角形，SECD=（2+）=（3+2）a2，EH=a，HC=EC=a，又AED 是等腰直角三角形，AH 是高，第 18 页（共 28 页）AH=EH=a，SEHC=a2，=故正确；故答案为：点评：认识到题目中的等腰直角三角形是解决本题的关键三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，共个小题，共 90 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1）计算：+（1）02sin60+31（2）先化简，后计算：（），其中 a=3考点：分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值分析：（1）利用零指数幂，负整数指数幂的法则及特殊角的三角函数值求解即可，（2）先化简，再把 a=3 代入求值即可解答：解：（1）计算：+（1）02sin60+31=2+12+，=+（2）（）=，=，当 a=3 时，原式=点评：本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟记零指数幂，负整数指数幂的法则及特殊角的三角函数值第 19 页（共 28 页）20近年来，北京郊区依托丰富的自然和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主体的多类型休闲旅游项目，京郊旅游业迅速崛起，农民的收入逐步提高以下是根据北京市统计局 2013 年 1 月发布的“北京市主要经济社会发展指标”的相关数据绘制的统计图表的一部分北京市 20092012 年农业观光园经营年收入增长率统计表年份年增长率（精确到 1%）2009 年12%2010 年2011 年22%2012 年24%请根据以上信息解答下列问题：（1）北京市 2010 年农业观光园经营年收入的年增长率是17%；（结果精确到 1%）（2）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（结果精确到 0.1）（3）如果从 2012 年以后，北京市农业观光园经营年收入都按 30%的年增长率增长，请你估算，若经营年收入要不低于 2008 年的 4 倍，至少要到2015年（填写年份）考点：条形统计图；统计表分析：（1）先用 2010 年的年收入减去 2009 年的年收入，得到 2010 年比 2009 年增加的年收入，再除以 2009 年的年收入即可；（2）设 2011 年的年收入为 x 亿元，根据表格中 2011 年的年增长率是 22%，列出方程，解方程即可；（3）设从 2012 年以后，再过 y 年，能够使经营年收入不低于 2008 年的 4 倍，列出不等式26.9（1+30%）y13.64，解不等式即可解答：解：（1）2010 年的年收入为 17.8 亿元，2009 年的年收入为 15.2 亿元，2010 年比 2009 年增加的年收入为：17.815.2=2.6 亿元，2010 年农业观光园经营年收入的年增长率是：100%17%故答案为 17%；（2）设 2011 年的年收入为 x 亿元，第 20 页（共 28 页）由题意，得=22%，解得 x21.7补全统计图如下：（3）设从 2012 年以后，再过 y 年，能够使经营年收入不低于 2008 年的 4 倍，由题意，得 26.9（1+30%）y13.64，解得 y3，2012+3=2015即若经营年收入要不低于 2008 年的 4 倍，至少要到 2015 年故答案为 2015点评：本题考查的是条形统计图与统计表的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决本题的关键21如图，已知等腰直角ABC 中，BAC=90，圆心 O 在ABC 内部，且O 经过 B、C 两点，若 BC=8，AO=1，求O 的半径考点：垂径定理；勾股定理分析：连结 BO、CO，延长 AO 交 BC 于点 D，由于ABC 是等腰直角三角形，故BAC=90，AB=AC，再根据 OB=OC，可知直线 OA 是线段 BC 的垂直平分线，故 ADBC，且 D 是 BC 的中点，在 RtABC 中根据 AD=BD=BC，可得出 BD=AD，再根据 AO=1 可求出 OD 的长，再根据勾股定理可得出 OB 的长第 21 页（共 28 页）解答：解：连结 BO、CO，延长 AO 交 BC 于 DABC 是等腰直角三角形，BAC=90，AB=ACO 是圆心，OB=OC，直线 OA 是线段 BC 的垂直平分线，ADBC，且 D 是 BC 的中点，在 RtABC 中，AD=BD=BC，BC=8，BD=AD=4，AO=1，OD=BDAO=3，ADBC，BDO=90，OB=5点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键22某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为 2300 元，销售单价定为 3000 元在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过 10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销售单价均不低于 2500 元（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2500 元？（2）设商家一次购买这种产品 x 件，开发公司所获得的利润为 y 元，求 y（元）与 x（件）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围考点：二次函数的应用分析：（1）设件数为 x，则销售单价为 300010（x10）元，根据销售单价恰好为 2500 元，列方程求解；（2）由利润 y=（销售单价成本单价）件数，及销售单价均不低于 2600 元，按0 x10，10 x60，x60 三种情况列出函数关系式解答：解：（1）设商家一次购买该种产品 x 件时，销售单价恰好为 2500 元，依题意得 300010（x10）=2500，解得 x=60答：商家一次购买该种产品 60 件时，销售单价恰好为 2500 元；第 22 页（共 28 页）（2）当 0 x10 时，y=（30002300）x=700 x；当 10 x60 时，y=x300010（x10）2300=10 x2+700 x；当 x60 时，y=（25002300）x=200 x；所以 y=点评：本题考查了二次函数的运用关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润23如图，在ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径作O 交 BC 于点 D，过点 D 作 FEAB 于点 E，交 AC 的延长线于点 F（1）求证：EF 与O 相切；（2）若 AE=6，sinCFD=，求 EB 的长考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质分析：（1）如图，欲证明 EF 与O 相切，只需证得 ODEF（2）通过解直角AEF 可以求得 AF=10设O 的半径为 r，由平行线分线段成比例得到=，即=，则易求 AB=AC=2r=，所以 EB=ABAE=6=解答：（1）证明：如图，连接 ODOC=OD，OCD=ODCAB=AC，ACB=BODC=BODABODF=AEFEFABODF=AEF=90ODEFOD 是O 的半径，EF 与O 相切；（2）解：由（1）知，ODAB，ODEF第 23 页（共 28 页）在 RtAEF 中，sinCFD=，AE=6，则 AF=10ODAB，=设O 的半径为 r，=，解得，r=AB=AC=2r=，EB=ABAE=6=点评：本题考查了切线的判定与性质要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可24如图，AB 为O 的直径，AB=4，P 为 AB 上一点，过点 P 作O 的弦 CD，设BCD=mACD（1）已知，求 m 的值，及BCD、ACD 的度数各是多少？（2）在（1）的条件下，且，求弦 CD 的长；（3）当时，是否存在正实数 m，使弦 CD 最短？如果存在，求出 m 的值，如果不存在，说明理由考点：圆的综合题分析：（1）首先求出 m 的值，进而由BCD=2ACD，ACB=BCD+ACD 求出即可；第 24 页（共 28 页）（2）根据已知得出 AD，BD 的长，再利用APCDPB 得出ACDP=APDB=2=，PCDP=APBP=，同理CPBAPD，得出BCDP=BPAD=2=，进而得出 AC，BC 与 DP 的关系，进而利用勾股定理得出 DP 的长，即可得出 PC，DC 的长；（3）由，AB=4，则，得出，要使 CD 最短，则 CDAB 于 P 于是，即可得出POD 的度数，进而得出BCD，ACD 的度数，即可得出 m 的值解答：解：（1）如图 1，由，得 m=2，连结 AD、BDAB 是O 的直径ACB=90，ADB=90又BCD=2ACD，ACB=BCD+ACDACD=30，BCD=60；（2）如图 1，连结 AD、BD，则ABD=ACD=30，AB=4AD=2，APC=DPB，ACD=ABDAPCDPB，ACDP=APDB=2=，PCDP=APBP=同理CPBAPD，BCDP=BPAD=2=，由得，由得，第 25 页（共 28 页），在ABC 中，AB=4，由，得；方法二：由得，在ABC 中，AB=4，AC=，BC=2=由，得由，得；（3）如图 2，连结 OD，由，AB=4，则，则，则，要使 CD 最短，则 CDAB 于点 P于是，POD=30ACD=15，BCD=75m=5，故存在这样的 m 值，且 m=5第 26 页（共 28 页）点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和锐角三角函数关系和圆周角定理等知识，熟练利用圆周角定理以及垂径定理得出是解题关键25如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=x+m 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点B（0，），抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B，且与直线 l 的另一个交点为 C（n，）（1）求 n 的值和抛物线的解析式；（2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0tn）DEy 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线 l上，且四边形 DFEG 为矩形（如图 2）若矩形 DFEG 的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90后，得到A1O1B1，点 A、O、B的对应点分别是点 A1、O1、B1若A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求出点 A1的横坐标考点：二次函数综合题分析：（1）把点 B 的坐标代入直线解析式求出 m 的值，再把点 C 的坐标代入直线求解即可得到n 的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）令 y=0 求出点 A 的坐标，从而得到 OA、OB 的长度，利用勾股定理列式求出 AB 的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得ABO=DEF，再解直角三角形用 DE 表示出 EF、DF，根据矩形的周长公式表示出 p，利用直线和抛物线的解析式表示 DE 的长，整理即可得到 P 与 t 的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；（3）根据逆时针旋转角为 90可得 B1O1x 轴时，A1O1y 轴时，然后分点 O1、B1在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；点 A1、B1在抛物线上时，表示出点 B1的横坐标，再根据两点的纵坐标相差 A1O1的长度列出方程求解即可解答：解：（1）直线 l：y=x+m 经过点 B（0，），第 27 页（共 28 页）m=直线 l 的解析式为 y=x 直线 l：y=x 经过点 c（n，），=n，解得 n=5抛物线 y=x2+bx+c 经过点 C（n，）和点 B（0，），解得抛物线的解析式为 y=x23x；（2）直线 l：y=x 与 x 轴交于点 A，点 A 的坐标为（2，0）OA=2在 RtOAB 中，OB=，AB=，DEy 轴，OBA=FED矩形 DFEG 中，DFE=90，DFE=AOB=90OABFDE=FD=DE=DE，FE=DE=DE，p=2（FD+FE）=2（+）DE=DED（t，t23t），E（t，t）