概率论与数理统计-第二章-一维随机变量及其分布课件.ppt

第二章第二章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布一、随机变量及其分布一、随机变量及其分布二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数三、离散型随机变量的概率函数三、离散型随机变量的概率函数四、连续型随机变量及其概率密度四、连续型随机变量及其概率密度五、随机变量的函数的分布五、随机变量的函数的分布梁周扭架湿刮驴乡半肝馒醇就矛摄胰楔为衷狠陌鼠匙怜桑纸送狙夺害糯苞概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布2.12.1随机变量及其分布随机变量及其分布2.1.12.1.1随机变量的概念随机变量的概念2.1.22.1.2随机变量的分布函数随机变量的分布函数锣丛洒引绦竞乌肄挨嘘敷崎柠汾澜硅晃暑肘颊嗓枚兵酝隆会巳簇戳陛头迫概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布 为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同结果不同结果例例:电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量个变量 X 来描述来描述例例:抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述一个变量来描述硝苗脸漫判晦酱宵担强老犯囤治卢愁蛛代绩淤光忙小昧蔽贫睫臣潭琼更湃概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布2.1 2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布例例:(1)随机地掷一颗骰子，随机地掷一颗骰子，表示所有的样本点表示所有的样本点,:出现出现1 1点点 出现出现2 2点点 出现出现3 3点点 出现出现4 4点点 出现出现5 5点点 出现出现6 6点点 X X():1 2 3 4 5 6():1 2 3 4 5 6(2)某人接连不断地对同一目标进行射击某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为直至射中为 止，止，表示射击次数，则表示射击次数，则:射击射击1 1次次 射击射击2 2次次 .射击射击n n次次 .X():1 2 .n .X():1 2 .n .(3)某车站每隔某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意旅客在任意时间到达车站时间到达车站,表示该旅客的候车时间表示该旅客的候车时间,:候车时间候车时间X():0,10X():0,102.1.1 2.1.1 随机变量的概念随机变量的概念诡誓凄贤恼只悍逢笨纶握吐谈旨旱辰朵珊驭塞何犀莽滚孟暗推粪辰式臀方概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布定义定义:设设E是一随机试验，是一随机试验，是它的样本空间是它的样本空间，若，若则称则称 上的单值实值函数上的单值实值函数 X()为随机变量为随机变量随机变量一般用随机变量一般用 X,Y,Z,或小写希腊字母或小写希腊字母,表示表示.特别特别离散型离散型连续型连续型取值为有限个和至多可列个的取值为有限个和至多可列个的随机变量随机变量.可以取区间内一切值的随机变量可以取区间内一切值的随机变量.了嗽筹圣叠充艾涟帝曼岂镁田恭猫扛鼎陕践撼行沉泼毁先速淖抑置迅荣痞概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布随机变量是随机变量是上的映射，这个映射具有上的映射，这个映射具有如下的特点：如下的特点：定义域定义域:随机性随机性:随机变量随机变量X X 的可能取值不止一个，的可能取值不止一个，试验前只能预知它的可能的取值但不能预知试验前只能预知它的可能的取值但不能预知 取哪个值取哪个值 概率特性概率特性:X X 以一定的概率取某个值或某些以一定的概率取某个值或某些 值值 引入随机变量后，用随机变量的等式或不引入随机变量后，用随机变量的等式或不 等式表达随机事件等式表达随机事件瑞弃猫殉靖鼎苇瘟栖骇筷妥甫葵尝堑郑弯锌村俏购离酗认它酵曙袋腿梭忱概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布如，若用如，若用X 表示电话总机在表示电话总机在9:0010:00接到的接到的电话次数，电话次数，或或 表示表示“某天某天9:00 10:00 接到的电话次接到的电话次数超过数超过100次次”这一事件这一事件则则束存郡哦脑闽潘度赫劫价油决秋氢便况任甩林滞码足贿锌董畔埃曹肯菱身概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布再如，用随机变量再如，用随机变量描述抛掷一枚硬币可能出现的结果描述抛掷一枚硬币可能出现的结果,则则 表示正面向上表示正面向上也可以用也可以用描述这个随机试验的结果描述这个随机试验的结果碾嫩堰统搓绅订泌萨肮捧鄂迂隶所垂修怀灌携屈扮野饮佃友伺毁熔谈光谋概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往需要例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往需要多个指标，例如，身高、体重、头围等多个指标，例如，身高、体重、头围等 =儿童的发育情况儿童的发育情况 X X()身高身高Y Y()体重体重Z Z()头围头围各随机变量之间可能有一定的关系，也可能没有各随机变量之间可能有一定的关系，也可能没有关系关系 即相互独立即相互独立誓毙屑盔打苏尤卞掏喻操鞘距勤种贼嘛澄德雕窥理啼坛渠喷胸触县淡涕仔概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布定义了一个定义了一个 x x 的实值函数，称为随机变量的实值函数，称为随机变量X X 的分的分布函数布函数，记为，记为F(x)F(x),即即定义：定义：设设 X X 为随机变量为随机变量,对每个实数对每个实数 x,x,随机事件随机事件的概率的概率注注:分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况布情况.2.1.22.1.2随机变量的分布函数随机变量的分布函数针处颊敲渐奴疯娃帜丙卑瞅胎嗽浮帝拄姻绒樱腊黎病窑椅独廷藐潭胶窑悼概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布分布函数的性质：分布函数的性质：q F F(x x)单调不减，即单调不减，即q 且且q F F(x x)右连续，即右连续，即页臆锣演妮积织秒表洲霹百辱瘁闪陵样雍颓枣猩啼葱呆双戊搪仅泛般钳庄概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布利用分布函数可以计算利用分布函数可以计算（a ab b （请请填填空空憎到禹本摹企涂秀忿隋鸯愈咯纺稼睹蔼噎艺单榴彦沦迸垒驳救锚辈造冗棒概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布例例2.1.1 设随机变量的设随机变量的分布律为分布律为:求求 的分布函数，并求的分布函数，并求:-123即即秆丹欢曹拥耀辜卢傻坝芹诚躯程看掇猎内京人铂晕梅缩恤陈端谱凛辆地灌概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布泊枢像卧仍锰特桌徊市淀凝左蜂杉继臃良脾殆狄唾撰语施丙真欧提笋摔泳概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为:求求:课堂练习课堂练习耿铺垛瞎蹭举蝉膀绷舱毫暖顺囚脊邯缮钧徘他奸拥均缝孙欣卓掺萌宵臭猪概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布2.2-2.32.2-2.3随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、离散型随机变量的概念一、离散型随机变量的概念二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数三、常见的离散型随机变量的概率分布三、常见的离散型随机变量的概率分布贺谆眨司透动坷拓蹭镀罢瞅鲸腾枢信篓炙遮湃箭稚胡歌仁洽潮楞墨则绩搔概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布定义定义:若随机变量若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷的可能取值是有限多个或无穷 可列多个，则称可列多个，则称 X 为为离散型随机变量离散型随机变量.描述离散型随机变量的概率特性常用它的描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布概率分布或或分布律分布律，即，即概率分布的性质概率分布的性质一、离散型随机变量的概念一、离散型随机变量的概念q 非负性非负性q 规范性规范性凌私净墒锋长寝热寅岸踌技使诊宿炊锦靶乎靠袭牙趁瘩南桌城舟缕色巾我概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布F(x)F(x)是分段阶梯函数，在是分段阶梯函数，在 X X 的可能取值的可能取值 x xk k 处处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点发生间断，间断点为第一类跳跃间断点.二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数神蒜瑟尔漆六贮附订匠疏而耘瘪夯坐拷痰饲钙剑掀驻饰房指谜因惕瞎簿嘶概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布注意注意:离散型随机变量的概率分布分以下几步来求离散型随机变量的概率分布分以下几步来求:(1)(1)确定随机变量的所有可能取值确定随机变量的所有可能取值;(2)(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率概率.(3)(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）函数）.趟胚糊如峪臆昼蒸驼戍煎娘溜镊生舰叫擞谬勾痰驹硕愈恤畔淑贮珍谷骡带概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布例例2.2.12.2.1 从从1 11010这这1010个数字中随机取出个数字中随机取出5 5个数字，令个数字，令X X：取出的取出的5 5个数字中的最大值试求个数字中的最大值试求X X的分布律的分布律具体写出，即可得具体写出，即可得 X X 的分布律：的分布律：解：解：X X 的可能取值为的可能取值为5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，1010 并且并且=求分布率一定要说明求分布率一定要说明 k k 的取值范围！的取值范围！邱纪踩犁剿躬钧荡照寸里矩配情挽汀呈诛丈悠瞄冻鸟升疲明敲溺娩樟衍坝概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布例例2.2.22.2.2 袋内有袋内有5 5个黑球个黑球3 3个白球个白球,每次抽取一个不放每次抽取一个不放回回,直到取得黑球为止。记直到取得黑球为止。记X X为取到白球的数目为取到白球的数目,Y,Y为抽为抽取次数，求取次数，求X X、Y Y的概率分布及至少抽取的概率分布及至少抽取3 3次的概率。次的概率。解解:(1)X(1)X的可能取值为的可能取值为0,1,2,3,0,1,2,3,P(X=0)=5/8,P(X=0)=5/8,P(X=1)=(35)/(87)=15/56,P(X=1)=(35)/(87)=15/56,类似有类似有P(X=2)=(325)/(8 7 6)=5/56,P(X=2)=(325)/(8 7 6)=5/56,P(X=3)=1/56,P(X=3)=1/56,所以所以,X,X的概率分布为的概率分布为X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56 (2)Y(2)Y的可能取值为的可能取值为1,2,3,4,1,2,3,4,P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,类似有：类似有：P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以所以Y Y的概率分布为：的概率分布为：(3)P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56(3)P(Y3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56潭蚌敖盒输狠拾赤迟蜂柬厘粘降迷起诬没忆坠锡后打忱晒旱良个谢阻枝蔼概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布(1)(1)0 1 0 1 分布分布X=xX=xk k 1 01 0P Pk k p p 1 1-p-p0 0 p p 1 1 注注:其分布律可写成其分布律可写成三、常见的离散型随机变量的概率分布三、常见的离散型随机变量的概率分布 凡是随机试验只有两个可能的结果，凡是随机试验只有两个可能的结果，应用场合应用场合常用常用0 10 1分布描述，如产品是否格、人口性别统分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.等婴遂心慎挚圃圈储欠涣劳乐轮捅笺织歪驻娠馏茄紧竞树塌麻须捌色礁伤概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布(2)(2)离散型均匀分布离散型均匀分布 如在如在“掷骰子掷骰子”的试验中，用的试验中，用 表示事件出现表示事件出现 点，点，则随机变量则随机变量 是均匀分布是均匀分布 雀酒轩敞剧腥昔笛赋造妹钩进首烙貌巩渊批落奄清峙杯含迎金指鞍搀合祟概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布(3)(3)二项分布二项分布背景：背景：n n 重重Bernoulli Bernoulli 试验中，每次试验感兴试验中，每次试验感兴趣的事件趣的事件A A 在在 n n 次试验中发生的次数次试验中发生的次数 X X是一离散型随机变量是一离散型随机变量若若P P(A A)=)=p p,则则称称 X X 服从服从参数为参数为n n,p p 的二项分布的二项分布，记作，记作0 1 0 1 分布是分布是 n n=1 =1 的二项分布的二项分布.观汾拽赘筒煮闲果佑蓟擅雅份材灾铝砧昧飞挡帝刊莹醚诈揍杜肤响晾摆颈概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布 例例3.1.13.1.1 一大批产品的次品率为一大批产品的次品率为0.10.1，现从中取，现从中取 出出1515件试求下列事件的概率：件试求下列事件的概率：B B=取出的取出的1515件产品中恰有件产品中恰有2 2件次品件次品 C C=取出的取出的1515件产品中至少有件产品中至少有2 2件次品件次品 由于从一大批产品中取由于从一大批产品中取1515件产品，故可近似件产品，故可近似 看作是一看作是一1515重重BernoulliBernoulli试验试验解：解：所以，所以，挖症斌翁凯盯邹末队另卿队秦破阻兑捍篮堤忙家饯拱渊涣段对洽寥潦寄仑概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布例例3.1.23.1.2 一个完全不懂英语的人去参加英语考试一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有假设此考试有5 5个选择题，每题有个选择题，每题有n n重选择，其中只重选择，其中只有一个答案正确有一个答案正确.试求：他居然能答对试求：他居然能答对3 3题以上而及题以上而及格的概率格的概率.解解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案 对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题 也是相互独立的也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个这样，他答题的过程就是一个 Bernoulli Bernoulli试验试验.舟伍环帚材磨慨磺宋崔舍句绕雁挨矽叉槽喇啸克岭痹山担雾喉栈氦遏拦刷概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布(4)(4)Poisson Poisson 分布分布或或或或若若其中其中是常数，则称是常数，则称 X X 服从服从参数为参数为的的Poisson Poisson 分布分布，记作，记作在一定时间间隔内：在一定时间间隔内：一匹布上的疵点个数；一匹布上的疵点个数；大卖场的顾客数；大卖场的顾客数；应用场合应用场合:电话总机接到的电话次数；电话总机接到的电话次数；日宗侧霸帅徊褐师我掐基斯详久昨色稳断讫固钡党盆扁惊呆蒜袜渝鸭架崎概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布一个容器中的细菌数；一个容器中的细菌数；放射性物质发出的粒子数；放射性物质发出的粒子数；一本书中每页印刷错误的个数；一本书中每页印刷错误的个数；某一地区发生的交通事故的次数某一地区发生的交通事故的次数;市级医院急诊病人数；市级医院急诊病人数；等等等等.涟琉勘秒极支型踏无棒戌力讼瑞跌灯事蚊讲疾瓤侵娃移组呸舌轴兔鄂戚誓概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布例例3.1.3 3.1.3 设随机变量设随机变量X X 服从参数为服从参数为的的PoissonPoisson分布，分布，且已知且已知解：解：随机变量随机变量 X X 的分布律为的分布律为由已知由已知种捞搪讨卷煌恶迹纱丫课锡卡甥鼻塞蚀缺蛊溯袋柬肯捏铂好辛滋仙驰嚏霹概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布如果随机变量如果随机变量X 的分布律为的分布律为试确定未知常数试确定未知常数c.例例3.1.4由分布率的性质有由分布率的性质有解：解：房宣寒细某溉氟酋畦增豆犊斧宽姬章谅骚嗽弱健奄嫡伙巡阐衍哮断彤吸帐概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布(5)(5)几何分布几何分布 设用机枪射击一次击落飞机的概率为设用机枪射击一次击落飞机的概率为 ,无限次地射击，无限次地射击，则首次击落飞机时所需射击的次数则首次击落飞机时所需射击的次数 服从参数为服从参数为 的的几几何分布何分布，记，记 .即即 容易验证，若在前容易验证，若在前 m m 次射击中未击落飞机，那么次射击中未击落飞机，那么,在在 此条件下，为了等到击落时刻所需要等待时间也服此条件下，为了等到击落时刻所需要等待时间也服 从同一几何分布，该分布与从同一几何分布，该分布与 m m 无关，这就是所谓的无关，这就是所谓的 无记忆性无记忆性.吼钻揭涪怠漂勒愤杏篆包撵柒圆形得称交仆木证酗曹馁绩级诅两讲很龋皋概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布(6)(6)超几何分布超几何分布 设有产品设有产品 件，其中正品件，其中正品 件，次品件，次品 件（件（），从中随机地不放回抽取，从中随机地不放回抽取 件，件，记，记X X为抽到的为抽到的的正品件数，求的正品件数，求X X 的分布律的分布律.此时抽到此时抽到 件正品的概率为件正品的概率为 k k=0=0，1 1，称称X X 服从服从超几何分布超几何分布.记记 可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此在实际应用中，当在实际应用中，当 都很大时，超几何分布都很大时，超几何分布可用下面式子近似可用下面式子近似 掖病辊沉边饵滇往方渝饿考郑峙阁贴寻逐菩厩作房忍遁量两滴命殃贝这弹概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布 (7)(7)负二项分布（负二项分布（PascalPascal分布分布)(自学自学)(8)(8)截塔（截塔（ZipfZipf）分布）分布(自学自学)侄谍条苦胀筒胎诵医拄疗狭漱瓣掳陆靴灸奖沼贞距尉宏从捷透讨岭煎淤搁概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布课堂练习课堂练习1.将一枚均匀骰子抛掷将一枚均匀骰子抛掷3次，令次，令X 表示表示3次中次中出现出现“4”点的次数点的次数求求X的概率函数的概率函数提示：提示：吧具思丰咳辙矮敲头束杨曝诫找页柿勤世仲稠巨嚎沪爬根踪蘸詹诣紧据斜概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布.设生男孩的概率为设生男孩的概率为p p,生女孩的概率为生女孩的概率为q=1-pq=1-p，令，令X X表示随机抽查出生的表示随机抽查出生的4 4个婴儿中个婴儿中“男孩男孩”的个数的个数.求求X X的概率分布的概率分布.钨橙粮拉恶票贫缓嘿槛福谰饰鲁撼落雪柒赚欲篷莽髓奢娄社锦皱烽旺洗寅概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布X的概率函数是的概率函数是：男男 女女解解:X X 表示随机抽查的表示随机抽查的4 4个婴儿中男孩的个数，个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为生男孩的概率为p p.X=0X=1X=2X=3X=4X可取值可取值0,1,2,3,4.狂教寿滑搪苛怕弱翌偷沏盔答拇岿独仔曙腊最涡秉嫩奉娥贷幂库虑巾畅烷概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布2.4 2.4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度2.4.1 2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数2.4.2.4.常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量筏健碎冕疡娄嗜老梳庇汛衣迭劲邪相位贤罕蹬救蹿防宝嘴肚钡正服忆劳亦概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布2.4.1 2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数定义：定义：设设 X X 是一随机变量，若存在一个非负是一随机变量，若存在一个非负 可积函数可积函数 f(x)f(x)使得使得其中其中 F(x)是它的分布函数是它的分布函数则称则称 X X 是是连续型随机变量连续型随机变量，f(x)f(x)是它的是它的概率概率密度函数密度函数(p.d.f.)(p.d.f.)，简称为，简称为密度函数密度函数或或概率密概率密度度酬荒声竿胚肚掣鹅站包懊稍届换忌尊扑徘鞭捆柔夷币曾薛惟迈抒垫鳖声东概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布x xf f(x x)x xF F(x x)分布函数分布函数 F(x)F(x)与密度函数与密度函数 f(x)f(x)的几何意义的几何意义撕臆嚏渭欲骄墓捻悦赂属吝晤航蓉泪盆碎屎抚嘉肺怕隔苟栈闽蚂殉阴锰私概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率密度函数概率密度函数(p.d.f.)(p.d.f.)f(x)f(x)的性质的性质1 1、2 2、常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数随机变量的密度函数，或求其中的未知参数.3 3、在在 f(x)f(x)的连续点处，的连续点处，f(x)f(x)描述了描述了X X 在在 x x 附近单位长度的区间内取值附近单位长度的区间内取值的概率的概率.七湘棋弟的瞻塌辞饶材虱汾剪瘴揽丘絮阵仆佳臣氮只大乘猾拷扇卤玲限诡概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布注意注意:对于连续型随机变量对于连续型随机变量X X,P P(X=aX=a)=0)=0这里这里 a a 可以是随机变量可以是随机变量 X X 的一个可能的的一个可能的取值取值.命题命题:连续型随机变量取任一常数的概率为零连续型随机变量取任一常数的概率为零.事实上事实上溪倦岸旬苍荒癌桑惜窥蓖裂貉榔臂蜕步捡湛荫拳瘪案琅徘糟汉峡署男惺词概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布对于连续型随机变量对于连续型随机变量X Xb bx xf f(x x)a a旭笺详乘冈仅霖蘑矗役挞峨狞法辛北辟悲浙如继娩阵缨较侩莆屉艘缝洽审概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布xf(x)a陌宇屏称连脊盘臆抄途辗仍臃缕碾督汹歌哀摹俐舅短旱收烫焕蘸评站裔盂概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布例例2.4.12.4.1 设随机变量设随机变量 具有概率密度函数具有概率密度函数 试确定常数试确定常数A A，以及以及 的分布函数的分布函数.解解:由由知知A A=3=3，即，即 而而 的分布函数为的分布函数为 症流邯伞儒扎盈厩追望测拔锁愤创典存冒傲种凿颜例壳钟桔主乒做箍喳悠概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布例例2.4.2 2.4.2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2 2米的圆盘，设击中米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以成正比，并设射击都能中靶，以X X表示弹着点与圆表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量心的距离，试求随机变量X X的分布函数的分布函数 解解:瘸循蚀寇化甭姨层抨素友纬范锭窜竖阉侄倒丸碘检映烙右檄杭末凛帐笨倪概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布 综上所述，随机变量综上所述，随机变量X X的分布函数为的分布函数为 猫牌娘苹冰敛氟件雄纷岩擞镇闲冀添忿检省宝中纯牙韵禁扇跌悬魁螺饱咒概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布2.4.2.1 2.4.2.1 均匀分布均匀分布(a a,b b)上的均匀分布上的均匀分布记作记作2.4.2 2.4.2 常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量若若 X X 的密度函数为的密度函数为 ，则称，则称 X X 服从服从区间区间其中其中X X 的分布函数为的分布函数为管坝尚届乾壤缆速纸读思史牙类牌傍拍创济杨身眩轿扭或随盂兵珠司齿撼概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布即即 X X 的取值在的取值在(a,b)(a,b)内任何长为内任何长为 d c d c 的小区的小区间间的概率与小区间的位置无关的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比只与其长度成正比.这正是几何概型的情形这正是几何概型的情形.在进行大量数值计算时，如果在小数点后第在进行大量数值计算时，如果在小数点后第k k位位进行四舍五入，则产生的误差可以看作进行四舍五入，则产生的误差可以看作服从服从应用场合应用场合:瘁悉何回铝舔萝粤夏窟毯馋桨拐视妄戚蛰诵戊迁灰员每伊匿嘿妙婶泰逛憎概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布例例2.4.32.4.3 设随机变量设随机变量X X服从服从(1,6)(1,6)上的均匀分布，上的均匀分布，求一元两次方程求一元两次方程t t2 2+Xt+1=0+Xt+1=0有实根的概率有实根的概率.解解:故所求概率为故所求概率为:而而X X的密度函数为的密度函数为:因此所求概率：因此所求概率：儒柬毯驶茸耻紫鞍索炭阿旺丢办嗅企堵员疫茸朔脆酿勋佑靠百再奥少候明概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布 2.4.2.2 2.4.2.2 正态分布正态分布若若X X 的密度函数为的密度函数为则称则称 X X 服从服从参数为参数为 ,2 2 的正态分布的正态分布记作记作 X X N N(,2 2 )为为常数，常数，按萝秋唬滑砷鹰量乎院环艺量堆阿柬纬士境膜姑磅之铁钥矫沾砷决坊孰盎概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布f(x)的性质：的性质：(1)图形关于直线图形关于直线 x=对称：对称：f(+x)=f(-x)(2)在在 x=时时,f(x)取得最大值取得最大值:(3)在在 x=时时,曲线曲线 y=f(x)在对应的点处有在对应的点处有 拐点拐点(4)曲线曲线 y=f(x)以以x轴为渐近线轴为渐近线(5)曲线曲线 y=f(x)的图形呈单峰状的图形呈单峰状.蓄走揩支眶宾跟冉鹊氢所诱启痔胺舅炬超怠祈靖抓峰破俭侍方邱质敌迪伯概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布淖盼椅囤赎绞诸匡街懂泅害刀躲姚鼠佛咆阀彭苔腥织原步吨谨期轿桔妓唾概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布f(x)f(x)的两个参数：的两个参数：位置参数位置参数即固定即固定,对于不同的对于不同的 ,对应的对应的 f(x)f(x)的形状不变化，的形状不变化，只是位置不同只是位置不同.形状参数形状参数固定固定 ，对于不同的，对于不同的 ，f(x)f(x)的形状不同的形状不同.若若 1 1 2 2 则则x=x=2 2 所对应的拐点更靠近直线所对应的拐点更靠近直线x=x=.附近值的概率更大附近值的概率更大.x=.x=1 1 所对应的所对应的拐点拐点比比前者取前者取 此公浑屎绷酪达楚饯芍萤呕祸横枉煤即佳噪押肾毗氓南懒缓邪挞扎雅劈奴概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布应用场合应用场合:若随机变量若随机变量 X X 受到众多相互独立的随机因素的受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加响可以叠加,则则 X X 服从正态分布服从正态分布.可用正态变量描述的实例非常之多：可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；各种测量的误差；人的生理特征；人的生理特征；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；农作物的收获量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；学生们的考试成绩；询隔胖秤改正圃戏胯慌榷炉没塞炙瓦旧读眼诛鸿采规侣敦卒水泌衰糠肢畦概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：以下情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布则该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布的重要性正态分布的重要性:珊痊渴块鲜凋钉澡泄厦慢侄沼孰瑰赢方消盗皱复址佰罗递菱酱晦荒夫腺脓概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布标准正态分布的计算：标准正态分布的计算：一种重要的正态分布一种重要的正态分布：N(0,1)N(0,1)标准正态分布标准正态分布讫笋国赏沪陡板妇场守疾悬爱淑订重术耍召辣苞亢饱烧扼祥整蚊躲雪惑即概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布粗乾辈疚峭锹显整墨呛疾赦稻曳慰袁刹短卵柠慕锻咳期昔前互遇蒸租辑秃概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布-xx撬挖客摸芹巍氨间凸埋玩炎桓抛抨赡契峪他讣控七霍隅坪爪黍硼券籍征马概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布对一般的正态分布对一般的正态分布 ：X X N(N(,2 2)其分布函数其分布函数作变量代换作变量代换茁连黄伴辈庐栋磺娟案献豌睛加狮咎磋琐玛帽旱蓖琅怂姻袭缘扒叔蔚澄代概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布 设设 X N(1,4),求求 P(0 X 1.6)解解:P352 表2例例2.4.42.4.4小逼媚种硷子殴见狂淑坏契秃轰肮宠川势净治值穴杆移岭逊忻寿颅实捣痞概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布例例2.4.5已知且 P(2 X 4)=0.3,求求 P(X 0 0 为常数为常数邯籽驱篷柬啤唾斌诽帮幌巫蹦敖绪砾羚靳唇掸西窒捉沂菏迹欠翔饺牡址迸概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布对于任意的对于任意的 0 a b,0 a 3 3所以至少要进行所以至少要进行 4 4 次独立测量才能满足要求次独立测量才能满足要求.课堂练习课堂练习贞缠境嚏凿史莉嘴仟恰潞弧还舜茎硝翌唯默卸维谊君挛鄙述运惯忙嫂男狂概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布2.5 2.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布2.5.1 2.5.1 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布2.5.2 2.5.2 连续性随机变量函数的分布连续性随机变量函数的分布澡矩傣嘉幻豪老山谐恩眶灼签翘落谈獭亿闰粳床日个骸懒唤酵陇销阿今爸概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布问题问题：已知随机变量：已知随机变量 X X 的概率特性的概率特性 分布分布 函数函数 或密度函数（分布律）或密度函数（分布律）Y=g Y=g(X X)求随机因变量求随机因变量Y Y 的概率特性的概率特性方法方法：将与：将与Y Y 有关的事件转化成有关的事件转化成X X 的事件的事件伞绕桑所靴写喝膏炎爆燎愿蓬羞衣戏鼎源或酒柿眉屎厦屠风恤捣趁翼福惩概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布设随机变量设随机变量 X X 的分布律为的分布律为由已知函数由已知函数 g g(x x)可求出随机变量可求出随机变量 Y Y 的所有的所有可能取值，则可能取值，则 Y Y 的概率分布为的概率分布为2.5.1 2.5.1 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布棺背蘑奎篙漏折呛碧找顶粱者带霸粉骸报棺忆执疟坤继呜捂凑汲电吼铀诌概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布第第 一一 种种 情情 形形:溜养埔碧却汽母阴巨度纤拟甜瘴肌行贵套纺痈凭吊卓缩用酶辉誉籍稿窃顿概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布第第 二二 种种 情情 形形:喀誊呕听西姨架嗣叮腮抛糕揍亥栋绳队镍去举氏妹巳酸榴浦沾踌眩伸稗沿概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布例例2.5.1 已知已知 X 的概率分布为的概率分布为X pk-1 0 1 2求求 Y 1=2X 1 与与 Y 2=X 2 的分布律的分布律解解:Y 1pi-3 -1 1 3候缄磋瞳省护仇爸弊冉权产裸迟乐洽术错歹漆此赠榨烃哀问庇妆辛角虱拴概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布Y 2pi1 0 1 4Y 2pi0 1 4篮静统炉镑矾东扒转橇挟脂增伴瓢包雾倪室鬼荣连筋般荐乐怕缓几猴粪丘概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布已知随机变量