《被积函数有界》PPT课件.ppt

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂第四节第四节 反常积分反常积分一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂常义积分积分限有限被积函数有界 解决许多实际问题要求我们将函数f(x)从有限区间推广到无限区间,将有界函数推广到无界函数.从而得到两种反常积分(也称广义积分).山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例.曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为 yox山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂定义定义1.设若存在,则称此极限为 f(x)的无穷限反常积分反常积分,记作这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若则定义山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂则定义(c 为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分.并非不定型,说明说明:上述定义中若出现 它表明该反常积分发散.山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂引入记号则有类似牛 莱公式的计算表达式:山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例1.计算反常积分解解:思考思考:分析分析:原积分发散!注意注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例2.讨论反常积分解解:当 p=1 时有 当 p 1 时有 的敛散性.因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为当 p1 时,反常积分发散.山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例3.计算反常积分解解:山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线所围成的与 x 轴,y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 yox山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂定义定义2.设而在点 a 的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散发散.类似地,若而在 b 的左邻域内无界,若极限数 f(x)在 a,b 上的反常积分,记作则定义则称此极限为函 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点瑕点(奇点奇点).例如,间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂注意注意:若瑕点的计算表达式:则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则则可相消吗可相消吗?设F(x)是f(x)的原函数,山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂所以点a为被积函数的瑕点 解 例4 解 例5 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例6.证明反常积分证证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1 时发散.当 q1 时所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为当 q 1 时,该广义积分发散.山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂内容小结内容小结 1.反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2.两个重要的反常积分山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 作业：作业：p-260习题习题5-4 1(4),(5),(6),(9),(10);2