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数学教学案例平面向量的数量积及运算律 苏州市陆慕高级中学 蒋智东【目标定位】知识与能力目标 1 正确理解平面向量数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件求向量的夹角 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 会用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题 过程及方法目标 向量数量积是物理学中的功的概念的抽象，使学生经历概念的抽象过程，经历性质和运算律的发现过程 情感态度与价值观 通过对平面向量数量积的重要性质及运算律的猜想与证明，培养学生探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力【多向对比】向量的数量积在新教材中的地位“向量的数量积及运算律”是平面向量中的基础知识与重点内容向量在数学和物理学中应用很广,在解析几何中应用更为直接，用向量的方法特别便于研究涉及空间里直线和平面的各种问题 与老大纲要求上的差异 教学目标在知识和技能领域可分为三个层次：掌握应用第一层次；理解独立操作第二层次；知道了解第三层次 教学目标 老要求 水平层次 新要求 水平层次 平面向量的数量积的含义 掌握 一 理解 二 向量的数量积的物理意义 无 理解 二 向量的数量积的几何意义 掌握 一 感悟、体会 三 向量的数量积的重 要性质及运算律 掌握 一 掌握 一 用向量的数量积解决 有关角度和垂直问题 了解 初步学会 三 会用 初步应用 二 与老教材内容处理上的差异（）增加了对平面向量的数量积的物理意义的理解 实际上是要求学生从原来的用“功”、弃“功”，到现在的说“功”、算“功”、用“功”、弃“功”，增加了说“功”、算“功”的环节，目的是让学生充分经历、体验从“功”抽象出向量“乘法”、“发现定义”的过程，同时，也对平面向量的数量积的物理意义有了深刻的理解（2）老教材中的“向量的夹角”安排在“向量的数量积”之前，而新教材对这一顺序进行了调整，将“向量的夹角”放在“向量的数量积”的定义之后，这样安排，可以保证学生首先集中精力从求功运算中抽象出向量的数量积运算，符合“发现”的自然顺序（）“平面向量的数量积的几何意义”，不再作为授课内容，而是以“链接”的形式出现教师指导学生阅读学习，作为向量数量积的运算律（）证明的依据（证明不作要求）（）老教材中明确给出了向量数量积的五条运算性质，而新教材中没有设置这段内容，只是作为向量数量积定义的特殊情形给出了a与b共线时的数量积的表达式这样设计，实际上是给学生探究活动留下了空间 【问题聚焦】焦点问题：物理学中的“功”是平面向量的数量积的原型在教学设计中，我们需要用“功”来引入向量数量积的定义和运算，学生现有的对“功”的认识，维持在初中水平，即力对物体所作的功等于力的大小与物体在力的方向上产生的距离大小的乘积 用力和位移来表示力对物体所作的功，特别是当力与位移存在一个夹角时的情形，要到高一下学期才能在物理课程中系统学习，这就为课题的引入带来了困难 焦点问题：初、高中数学的衔接，不仅是知识的衔接，也是数学思想方法的衔接对刚刚进入高中学习的学生来说，他们的分析、总结、概括能力还比较弱，这方面的思维习惯尚不健全，因此，通过学生的讨论、概括出求功运算的特点，进而抽象出向量数量积的定义是本课教学的难点之一 焦点问题：向量数量积性质的探索与总结、对向量数量积三个运算律的理解与应用 两个向量的数量积是两个向量相乘的一种，是学生以前没有接触过的新的乘法，与数量间的乘法、实数与向量间的乘法有很大区别，因此运算法则、运算律要重新定义，学生对于数量积概念和运算法则的理解和掌握有些困难它与实数的乘法的概念、性质和运算律既类似也有区别，这一区别是教学的重点也是学生学习研究的难点【教学示例】教学设计意图 1关注问题性、启发性，加强联系性 本课通过物理学中的求功运算来创设教学情景，使学生自然提出问题：求功运算与数学知识有怎样的联系？进而启发学生主动探索求功运算的特点，从中抽象出向量积的定义及其两个非零向量夹角的定义教学过程中，由学生所熟悉的初中学过的“功”W=FS 出发，引导他们分析得到力F与位移S之间的夹角为时的功W=FcosS，通过分析求功运算的特点，舍弃各个量的物理含义，从而抽象出向量数量积的定义，并通过F与S的夹角及其范围，得到两个非零向量夹角的定义及其范围这样设计的目的，是遵循认知规律，以问题引导学习，体现数学知识的形成与学生认知的过程性，加强知识间的联系性，促使学生主动探究，培养学生的创新意识和应用意识 讲背景、讲方法、讲能力提高 在“求功运算”这个真实背景下，学生能够真切地认识到两个向量“乘法”的存在，引入这个背景的意义，在于通过物理知识揭示数学知识中向量数量积的运算，激发学生的好奇心和求知欲；在于培养锻炼学生的抽象思维能力在课程内容的设计与实施过程中，始终围绕“发现向量的新运算”这一目标，让学生经历由求功运算抽象出向量的数量积运算，弄清两个非零向量夹角，再到归纳并完善定义的全过程使学生明确自己是在探索知识而不是要接受知识，这一过程的主要目的是使学生的思维水平能够得到有效提升 关注对学生思维能力和创新意识的培养 通过教师教学方法上的设计和教师指导下学生的合作交流与互动讨论，从实际事例的分析中，抽象出概念、推导出运算律和性质，而后举例说明这些概念、运算律和性质的应用 在掌握知识的同时，切实有效地训练思维，发展能力 教学过程 一、情景创设 问题 1 物理学中，向量的运算比较多，比如求位移、速度、合力的大小等，用到了向量的加法，减法和数乘运算，那么，物理中有没有其它的向量运算呢？二、学生活动 问题 2 初中物理中的“功”是怎样计算的？学生回顾：是物体所受力的大小与物体在力的方向上移动的距离的积，即 W=FS 这里的实际上就是F大小F，是物体在力F的方向上产生的位移S的大小S，因此，F S 问题 当F和S存在一个夹角时，力对物体所做的功是多少？学生讨论：将F正交分解为水平方向上的分力1F和竖直方向上的分力2F，由于物体在2F方向上的位移为零，因此，2F对物体所做的功为零这样，F对物体所做的功与1F对物体所做的功等效，所以，1FSSFcosFcosS 通过对上述公式的分析，可以得到如下结论：（1）功W 是两个向量F和S的某种运算的结果，而且这个结果是一个数量（）功不仅与力和位移的大小有关，而且还与它们的夹角有关 由此可见，“求功运算”作为一种新的向量运算，不同于我们以前学习过的其他数学运算 三、建构数学 问题 4 从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？教师指出数学抽象的方向：舍弃抽象原型的物理意义，抽取其中的数量关系 平面向量的数量积（1）最初的认识 学生讨论：把力F和位移S抽象地看成两个向量a和b，把力F和位移S的夹角看作向量a和b的夹角，就可以得到一种新的运算，它是从向量a，b得到一个数量（即cosba）的运算（2）进一步表述 引进“向量的数量积”等术语后，就可以把上面的结果进一步表述为：已知两个向量a和b，它们的夹角为，我们把数量cosba叫做a和b的数量积（或内积），记作ba，即ba=cosba 评注：上述设计使学生领悟到数学的发展不仅产生于内部需求，更重要的是来源于实践此处从数学与其他学科的联系与数学内部需要引出学习本课的必要性和重要性，激发学生的探究兴趣和积极性 两个向量的夹角 问题 在上面的向量的数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”的概念，它究竟代表什么意义呢？从实际背景中的“力”和“位移”的夹角出发，展开讨论，抽象出两个向量的夹角的定义：对于两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则=AOB（001800）叫做向量a和b的夹角 评注：明确夹角概念，强调共起点 教学过程中，动员学生就力对物体做功的情形进行讨论，画出F和S所成角（零度角，锐角，直角，钝角，平角）的不同图形，并进行展示交流，教师指导学生进行归纳，并用准备好的课件演示抽象过程，强化学生对向量夹角的认识 特别地，当a与b的夹角分别等于00，0180和090时，两个向量分别是同向，反向和垂直向量a和b垂直，记作ba 在讨论中应注意上述定义中对向量的“非零”限制 平面向量的数量积（形式化的表述）（）表述的精确化 问题 在进一步弄清了“向量的夹角”的意义以后，应该怎样更精确地表述向量的数量积的概念？学生思考：对前面的定义加上“非零”的限制 问题 零向量有没有数量积？应该如何定义？教师：（重放问题中的图片）物体在2F方向上的位移为零，因此，2F对物体所做的功为零受此启发我们规定：零向量与任何向量的数量积为 评注：至此，“向量的数量积运算”、“两个向量的夹角极其范围”、“零向量的数量积”均从“求功运算”中抽象获得通过讨论，整理得到“数量积”的完整定义 向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量cosba叫做a和b的数量积（或内积），记作ba，即ba=cosba同时规定：0 与任何向量的数量积为，即0?a=（）对定义的理解 尽管向量的数量积是从求功运算中抽象出来的，但是，它已经是一种抽象的数学运算了一般地，它已经不具有“求功运算”的具体意义了在引入向量的数量积以后，物理学中功的概念就可以用数学语言表述为：功就是力F与在其作用下物体产生的位移S的数量积，即F?S 两个向量数量积的结果是一个实数，这与向量的加法、减法和数乘运算是不同的 注意；0?a=，等式右边的零是一个实数，而不是零向量（）练习（投影）判断下列说法是否正确：向量的数量积可以是任意实数 若=a，则对任意向量b，有ba 若a，则对任意非零向量b，有ba 如果ba，那么a和b的夹角为锐角 若a，ba，则b 若cba,是三个非零向量，bacbca=那么,评注：通过练习深化对数量积概念的理解，如使学生体会到向量不能随便约分（）数量积的运算性质 问题 向量的数量积有什么样的性质？教师把需要总结的数量积的性质，设计成七个讨论题，调动全体学生参与到探索中来，发动学生进行合作讨论，让他们总结规律这七个讨论题是：（）向量的数量积的正负如何确定？（）单位向量与任何向量的数量积有什么规律？（）互相垂直的两个向量的数量积有什么特点？（）共线向量的数量积有什么规律？（）任何求两个向量的夹角？（）比较两个向量的数量积的模与两个向量模的乘积的大小关系（）两个相等向量的数量积等于什么？教师指出：从向量数量积的定义入手，并与字母的乘法运算相比较 在小组合作讨论的基础上，再由教师归纳结论 评注：由向量数量积的定义入手，研究其性质，很自然地教给学生研究问题的出发点 实际授课时，学生可以得到：当a与b同向时，baba，当a与b反向时，baba 特别地2aaa=此时可能仍有学生不知如何思考，可提醒学生有序地思考如对角从00变到0180顺次考虑教给结论不如授予方法，引导学生学会怎样思考，不仅“发现”了数量积的所有性质，更重要的是让学生感悟到了应该如何去研究 问题 向量的数量积满足什么样的运算律？学生类比猜想，再进行验证，教师明确给出结论 评注：对于前两个运算律，学生自己能够证明，而对于分配律，学生证明有困难，教师可以指导学生用“特殊化”的思想，如：分别令00=，0180=和ba=来进行验证，并要求学生举出反例 四、数学运用 例已知正ABC的边长为2，设=BCa，CAb，ABc，求accbba+小结强调：求向量的夹角，首先要使其共起点 例判断正误：（）)()(cbacba=；（）（）222)(abba=；（）（）2222)(bababa+=+；（）（）若b，且cbba=，则ca=（）小结强调：向量的数量积与实数的乘法有类似之处，但又很不相同，不能盲目照搬如数量积不满足结合律 练习：已知向量a和b的夹角为，3,2=ba，分别在下列条件下求ba：（）0135=；（）ab；（）ba （直接应用）练习：（）设ba,是两个单位向量，它们的夹角是060，则)23()(baba+等于（）（）8 （）29 （）25 （）8（）已知ba，bababa+=与且23,3,2垂直，则等于（）（）23 （）23 （）23 （）1（）已知,3)51()3(,12,10bbaba=且则a与b的夹角是（）（）060 （）0120 （）0135 （）0150（）化简：bbababa+)3()()32(评析：本案例运用了“以问题为中心”的讨论式教学模式 教师以建构主义理论为依据设置问题情境，让问题处于学生思维水平的最近发展区教师的作用不仅是问题的提供者，还是讨论学习的引导者、组织者教师立足于学生发展的角度，还课堂于学生，还问题的探索权于学生，使学生养成主动参与、乐于探究、勤于动手、交流合作的学习方式 设计的开始是创设情境，引导学生从已有的物理知识背景功的概念出发，提出研究课题向量数量积的概念使学生领悟到数学来源于实践，激发学生兴趣，使数学学习真正成为学生自觉的兴趣和需要，使学生积极地参与到课堂中来 向量的数量积是中学代数中从未遇到过的一种新的“乘法”，它与实数的乘法既有相似之处，又有着很大的区别，这就给理解和掌握这一概念带来了一些困难 为了解决这个难点，教师精心设计了一组练习题，启发学生从定义出发，辩析正误，巩固概念此时，教师并没有急于“推销”自己的想法，把学生的思维纳入自己预先设好的轨道，以教师的思考代替学生的思考，而是为学生提供独立思维的空间，让学生主动思考、主动发现，是学生主动参与到问题的发现、讨论等活动中来 教师是学生数学建构活动中深谋远虑的设计者，是学生活动的组织者、参与者、促进者，而并非仅仅是知识的传授者在研究向量数量积的性质时，教师设计了一个“问题串”，并将这些问题逐一在学生的最近发展区内展开，力求使性质的得出是从学生的头脑中自然产生的，符合学生的认知规律通过学生辩析研讨，逐一得出结果 得出性质之后，教师启发学生，根据数学知识的系统性，我们接下来要研究什么呢？凭借已有的学习经验，使学生想到要研究数量积的运算律再类比实数的运算律，写出向量的数量积可能有的运算律，并进行交流整个过程，自然流畅，从学生已有的知识经验出发，为学生提供从事数学知识、思想和方法，同时取得一定的数学活动经验 例题与练习使学生对向量数量积的基本知识得到进一步巩固，并初步体验数量积在解决问题中的作用【资源点击】单元课时分配建议：第课时 向量的概念及表示 第课时 向量线性运算的引入及向量的加法 第课时 向量的减法 第课时 向量的数乘定义及其运算律 第课时 向量共线定理 第课时 平面向量基本定理 第课时 平面向量的坐标表示及坐标运算 第课时 向量平行的坐标表示 第课时 平面向量的数量积及其运算律 第课时 平面向量的数量积的坐标表示 第课时 平面向量的数量积的应用 第课时 向量的应用 作业量建议（新授课）：小题5一一6个，大题2一一3个，时间控制在一节课左右