高中数学探究性教学案例及反思.pdf
聚 焦新课程高中数学探究性教学案例及反思 谈函数f(x)=x+1x(x 0)的教学设计安徽省宣城市教学研究室 李 群(邮编:242000)安徽省广德县教学研究室 黄柏林(邮编:242200)文1阐述了函数f(x)=ax+bx(a、b 0)的高考复习设计.本文与之不同的是,提供一个在高中起始阶段,讨论类似问题的教学案例.1问题的提出在高一年级,经常会碰到这样的问题:已知函数f(x)=x+1x(x 0),证明:当x 1时,函数f(x)是增函数.有的学生会提出这样一个问题,为什么当x 1时,函数f(x)是增函数,而不是x 0呢?当学生提出这个问题时,我们首先要肯定学生的质疑精神.如何处理这个问题?通常的处理办法是告诉学生,这个问题在今后学习过程中会逐步解决.在教学实践中,笔者觉得这种处理办法虽然省力,但是失去了一个难得的教学契机.囿于高一学生的认知结构,讨论函数f(x)=x+1x(x 0)有一定难度,却使问题富有挑战胜,有利于鼓励学生大胆质疑,促进学生开展自主探索,也是开展一次探究性教学的机会.为了获得较好的效果,首先告诉学生提出的问题很有价值,值得探讨;同时,要求学生对问题进行思考,为解决该问题作积极的准备.为此,我们进行了下面的教学设计,开展了一次探究性教学尝试.2教学过程2.1联想方程x+1x=c+1c教师:首先请同学们说说x+1x这个式子,我们以前在学习的过程中,见过没有.学生1:在初中已经见过,我们学过方程x+1x=c+1c,方程的根分别为x1=c,x2=1c.从式子形状入手,经过准备的学生容易联想到方程x+1x=c+1c.方程与函数本来就有着紧密联系.引导学生运用已知方程的结论,对函数f(x)=x+1x(x 0)进行探讨.建议学生用列表法和描点作图法进行分析,并尝试用自然语言对函数变化规律进行描述.减字木兰花 有序庐阳渔花厅小聚黄同荫先生赠以是阙,勉和寄谢渔花飞处,欣闻荫老吟佳句.醉眼惊开,不尽黄河滚滚来.苍灵劲妙,人未道兮翁已道.古曲传情,寄与庐阳同调人.(4)我们有一个好管家我刊第一任主编是安徽省数学会副理事长雷垣教授,第二任是张智珊教授,第三任是安徽省数学会张国铮副理事长,第四任就是贾汉凯研究员,我刊被多次评为优秀科技期刊,与他的努力是分不开的.在他的领导下,编辑部严把质量关,狠抓标准化、规范化,突出本刊自身的鲜明个性与特色,使我刊在内容质量和外观形式上,都有很大提高.他对于 中学数学教学的最大功劳,还在于能开动脑筋,想办法,适应社会主义市场经济,实现社会效益与经济效益并举,以刊养刊,以书养刊,在国家仅给少量开办费与周转金,不再每年拨款的情况下,保证自负盈亏.即使在经济极其困难的情况下,仍能坚持原定办刊宗旨,在正刊上从来不搞复习资料与考试辅导材料谋利,他想方设法,开源节流,调动全体编辑人员和各方面的力量,协调编辑、印刷、发行等各方面关系,尽量降低成本,节省开支.他从正式创刊起,一直参与本刊工作,曾任安徽省科技期刊编辑学会副理事长,他与编辑部全体同志一起,艰苦创业,积极奋进,严谨编校,组织通联,把期刊发展推向良性循环,是我们刊物的“好管家”.72008年第1期中学数学教学 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/综合学生列表和描点情况,给出下列一表一图.x1413121234y4143132122212313414图表一经列出,课堂上立即活跃起来,学生们七嘴八舌议论起来,发表看法.学生2:从表上可以看出,互为倒数的一对自变量,它们的函数值相等.学生3:从 图上看,图形有点像抛物线,x=1正好是对称轴.学生4:不对,点12,212和点2,212关于直线x=1不对称.学生5:x=1虽然不是对称轴.点(1,2)是图像的最低点.有点像抛物线顶点.学生6:现在可以看出x 1时,函数是单调增,还可以看出0 x 0)图像的轮廓已经心中有数,课堂气氛热烈.2.2将函数y=x与y=1x图像比较为了使问题进一步深入,教师转换思考角度,引导学生分别以函数y=x和y=1x(x 0)图像为基础,描绘y=x+1x(x 0)的图像,促使学生继续探究.在同一直角坐标系,绘出函数y=x与y=1x(x 0)的图像,要求学生进一步观察思考.教师:函数y=x和y=1x的图像在第一象限的交点为(1,1).我们能否估计出y=x+1x(x 0)图像在直角平面坐标系中的位置?学生6:y=x+1x可以看成是由y=x与y=1x合成的.教师:合成,说得好.请同学们进一步观察.学生7:当0 x 1时,函数图像在直线y=x上方.教师:请同学们继续观察,在x 0的条件下,x在不断接近于0时和x不断增大时,函数图像与双曲线和直线的关系.学生8:当x在不断接近于0时,函数图像与双曲线y=1x之间逐渐靠拢;当x不断增大时,1x越来越小,函数图像与直线y=x之间逐渐靠拢.教师:刚才同学们看得很仔细,思考得很深入.请同学们自己动手绘出函数y=x+1x(x 0)的图像.再证明函数y=x+1x(x 0),当x 1时,函数为增函数;我们还可以证明,当0 x 0)的图像容易看出,x=1时,函数最小值为2.下面大家讨论一下,证明它的最小值是2.在讨论之后,组织同学发表意见.学生10:我们依照一元二次函数求最小值的方法,y=x+1x=x-1x2+2,当x-1x=0时,y有最小值.教师:说得很好,请一位同学说一说你们的思考过程.学生11:这个函数的图像与一元二次函数有相似之处,它有一个最低点,所以想到用配方法试试看.教师:刚才有同学说,图像有点像抛物线还是有道理的.你的解决过程顺利吗?学生10:不是的,我先把式子配成x+1x2-2没有成功,后来改成x-1x2+2的.教师:请哪位同学说一说,前一种配方情况为什么不行?8中学数学教学2008年第1期 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/学生11:x 0时,x+1x2不可能等于零;x=1时,x-1x2恰好为零.教师:还有其他途径可以证明吗?学生12:可以利用单调性证明.在x 1时,函数为单调增,而0 x 0)有最小值2,反过来想一想,利用单调性可以证明一元二次函数y=ax2+bx+c(a 0)有最小值吗?学生13:可以,但是要证明它的单调性.教师:再说具体一点.学生13:要证明一元二次函数y=ax2+bx+c(a0)在-,-b2a上 单 调 减,在-b2a,+单调增.经过以上几个主要环节,学生对y=x+1x(x 0)的函数图像的性状已基本清楚.使大多数学生对问题得到解决有愉悦的表现.在此基础上,提出问题,要求学生对函数y=ax+bx(a、b 0)进一步进行思考.3课后反思3.1探究性教学是指教师在课堂巧妙地组织教学,引导学生自主地参与教学,获取知识,促使学生加深对知识的体验,帮助学生逐步形成研究问题的积极态度,掌握研究问题的基本方法,提高研究问题所必须的探究能力.提倡运用探究性教学已成为广大数学教师的共识.在教学实践中,如何选择组织适当的内容开展探究性教学是一个值得探讨的问题.对一些一般性数学规律,在教学过程中,它的一些知识形成过程和结论,都被阐述得比较清楚.但是,对于学生来说,这些内容都是新的.放手让学生进行主动探究,可以促使学生当前认识结构中各知识点之间的连接,建立更广泛的联系,提高认知结构的网络化程度.本案例,比较深入地探讨了函数y=x+1x(x0)的性质,使学生对函数的单调性、单调区间、最值有了更深刻的认识.为进一步认识函数y=ax+bx(a、b 0)及一般函数打下了基础.在整个中学数学教学的过程中,函数概念及其性质的探究是数学学习中具有战略意义的基本问题.以恰当的问题引导数学活动,组织有效的探究性教学是极其有意义的.3.2提出恰当的对学生数学思维有适度启发的问题,引导他们经历观察、实验、猜测、推理、交流等理性思维的基本过程,切实改进学生的学习方式.本案例问题的提出,是经学生质疑引起的,这只是事物的表象.其实质应该是由教师提出的,开展探究性教学的主体是学生,核心却是教师.它首先要求教师对中学数学教育的内容拥有较高的“贯通度”,高瞻远瞩,具有战略的眼光,在知识形成过程的“关键点”上,在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上,在数学知识之间“联结点”上,在学生思维的“最近发展区”内,对教学实践中发生的各种问题进行提炼、加工,使之成为探究性教学的素材.笔者考虑函数y=x+1x(x 0)与初中数学出现过的方程x+1x=c+1c的自然联系,并将其作为探究函数的起点,学生在解决问题过程中,运用初中已学过的关于方程和函数等有关知识,使学生自主探究得以实现,获得了成功感.3.3由于建构主义学习理论的兴起和发展,建构主义的学习观对中学数学产生了深远的影响.学习者对知识的接收只能由他们自己建构来完成.他们不仅以自己的知识经验为背景,对新知识进行分析、检验和批判,而且要对原有的知识进行再加工和再创造.运用建构主义学习观对本案例进行诠释,我们可以获得许多有益的启示.同时,对建构主义对教学产生的影响,在许多地方还存在较多的争议.我们应该根据教材和学生的特点以及班级的具体情况选择教学策略,防止走向极端.由于建构主义者十分重视学生的主体作用,在促进学生主动建构知识意义的时候,常常忽视了教师的主导作用.实际上,成功的教学设计离不开教师作用的发挥.教师的启发,引导得当是学生探究成功的关键.作为本案例,虽然重视教92008年第1期中学数学教学 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/怎样计算平均增长率安徽省安庆市交通技校 姚锡友(邮编:246001)平均增长率又称为平均增长速度,它是环比增长速度的序时平均数,反映了现象在一段时间内逐期增长的平均速度,是一个动态统计分析指标,其计算公式为:平均增长速度(%)=平均发展速度(%)-100%.根据平均发展速度的意义可知:如果某种现象从最初的基期水平出发,每期都按照平均发展速度发展,或者每期按照各自的环比发展速度发展,其结果应该一样,都可以达到最后的报告期水平.设a0、an分别为基期和报告期发展水平,x、r分别为平均发展速度和平均增长速度,xi、ri(1in)分别为各期环比发展速度和环比增长速度,则a0 xn=a0 x1x2x3xn=an,x=nx1x2x3xn=nana0,r=nx1x2x3xn-1=nana0-1,xi=1+ri(1in),r=n(1+r1)(1+r2)(1+rn)-1(1+r1)+(1+r2)+(1+r3)+(1+rn)n-1=r1+r2+r3+rnn,当且仅当r1=r2=r3=rn时,上式取等号.所以,一般情况下,平均增长率不等于各期环比增长率的算术平均数.由此可见,普通高中新课标数学必修(一)(人教版A版,2005年6月第一版)第115页例4行中马尔萨斯人口模型的年平均增长率r的计算方法是不妥的.如果取十位有效数字,我国1950年到1959年这段时间内的人口年平均增长率应为96720755196-1=0.022117366,而按算术平均数计算,则是0.022120866,两者并不相同.虽然由于这段时间我国各年人口增长的速度较为接近,根据题中精确度要求,两种计算结果完全相同,但笔者仍然建议再版时就此问题加以修正.(收稿日期:2007211205)师的引导和启发,在“度”的把握上还必须进一步探讨,有待在教学实践中不断改进,不断提高.探究性教学不仅在课堂内发生,并且还延伸到课堂之外,它给予学生更广阔的思维空间.本案例,对函数y=ax+bx(a、b 0)的探讨,采用类比方法,从联想方程x+ax=c+ac入手,学生经过探索,完全有使问题得以解决的能力.在可能条件下,有计划地将探究性教学问题适当引伸,为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利条件,以激发学生的数学学习兴趣,鼓励学生在学习过程中,养成独立思考,积极探索的习惯.参考文献1杨利刚.探究巩固迁移运用.数学通报,2005(12).2章建跃.教学教育改革中几个问题的思考(续).数学通报,2005(7).3吴国建.数学探究性教学的基本类型及其教学实践.数学通报,2003(4).4教育部制定.普通高中数学课程标准(实验).人民教育出版社,2006,6.(收稿日期:2007212201)01中学数学教学2008年第1期 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/
