把握数学知识体系_提高教师能力及素质_下__教学案例设.pdf

黑龙江教育 中学教学案例与研究关于学科内外习题挖掘的总体要求一、课内例题的闪亮点例 1：A 城有肥料 200 吨，B 城有肥料 300 吨，现要把这些肥料全部运往 C、D 两乡.从 A 城往 C、D 两乡运肥料费用分别为每吨 20 元和 25 元；从 B 城往 C、D 两乡运肥料费用分别为每吨 15元和 24 元.现 C 乡需要肥料 240 吨，D 乡需要肥料 260 吨.怎样调运总运费最少？例题的分析与评价：这是方案设计型题中的调运问题.其中蕴含着方程、函数的思想.在哈尔滨中考中占有重要地位，符合新课程标准，与学生实际相结合，与实际生活联系非常密切，学生学起来很感兴趣，也容易明白.它不仅锻炼了学生综合分析问题、解决问题的能力，启发锻炼了学生的思维，而且对学生今后的生活也有一定影响.并且它对后来应用题的学习起到了承上启下的作用，所以讲好、练好这道典型的例题至关重要.二、课外经典题目的示范点例 2：如图 1，平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点A、B 的 坐 标 分 别 为（6，0），（6，8）.动点 M、N 分别从 O、B同时出发，以每秒 1 个单位的速度运动.其中，点 M 沿 OA 向终点A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动.过点 N 作 NPBC，交 AC 于P，连结 MP.已知动点运动了 x秒.（1）P 点的坐标为（，）（用含 x 的代数式表示）.（2）试求MPA 面积的最大值，并求此时 x 的值.（3）请你探索：当 x为何值时，MPA 是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果.三、重点问题的专题点（仅以开放型专题为例）距离型专题存在型专题探究型专题应用型专题方案设计型专题运动（平移、翻折、旋转）型专题多解问题专题坐标系中的几何图形专题求函数解析式专题开放型专题1.条件开放例 3：已知（x1，y1），(x2，y2)为反比例函数 ykx图像上的点，当 x1x20 时，y1y2，则 k 的一个值可为（只需写出符号条件的一个k 的值）.解：答案不唯一，只要符合 k0即可，如 k=-1，或k=-2 例 4：如图 2，已知，在ABC 和DCB 中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使ABCDCB，则还需增加一个条件是.解：答案不唯一.如：AB=DC；ACB=DBC；A=D=Rt例 5（2 0 0 7 年江苏省南京市）：已知点 P（x，y）位于第二象限，并且 yx+4，x，y 为整数，写出一个符合上述条件的点 P 的坐标：，答：（-1，3），（-1，2），（-1，1），（-2，1），（-2，2），（-3，1）六个中任意写出一个即可.2.结论开放例 6：（2 0 0 5 年湖南省湘潭市）如图3，在ABC 中，AB=AC，ADBC，D 为垂足.由以上两个条件可得（写出一个结论.）解：1=2 或 B D=D C或A B D A C D等例 7：已知矩形 ABCD 和点 P，当点 P 在边 BC 上任一位置（如图 4-所示）时，易证得结论：PA2PC2=PB2+PD2，请你探究：当 P 点分别在图 4-、图 4-中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图证明你的结论把握数学知识体系，提高教师能力及素质（下）xyAMPCNBO图 1ADBC图 2ADBCPADBCPADBCPNM图 4-图 4-图 4-笠哈尔滨市阿城区龙涤新世纪学校马红艳专 题ADBC图 34黑龙江教育 中学教学案例与研究答：对图 4-的探究结论为对图 4-的探究结论为证明：如图 4-结论均是：PA2+PC2=PB2+PD2证明：如图 4-过点 P 作 MNAD 交 AD 于点 M，交 BC 于点 NA DBC，MNAD，MNBC.在 RtAMP 中，PA2=PM2+MA2.在 RtBNP 中，PB2=PN2+BN2.在 RtDMP 中，PD2=DM2+PM2.在 RtCNP 中，PC2=PN2+NC2.PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2，PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2.MNAD，MNNC，DCBC 四边形 MNCD 是矩形MD=NC同理 AM=BNPM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2即 PA2+PC2=PB2+PD23.综合开放例 8：如图 5，ABC 中，AB=AC，过点 A 作 GEBC，角平分线 BD、CF 相交于点 H，它们的延长线分别交 GE 于点 E、G.试在图中找出 3 对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明解：BCFCBD.BHFCHD.BDACFA.证明BCFCBDAB=AC.ABC=ACB.BD、CF 是角平分线.BCF=12ACB，CBD=12ABCBCF=CBD.又 BC=CB.BCFCBD例 9：已知抛物线 y=-（x-m）2+1 与 x 轴的交点为 A、B（B 在A 的右边），与 y 轴的交点为 C（1）写出 m=1时与抛物线有关的三个正确结论；（2）当点 B在原点的右边，点 C 在原点的下方时，是否存在BOC 为等腰三角形的情形?若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由；（3）请你提出一个对任意的 m 值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分有差异）解：（1）当 m=1 时，抛物线解析式为 y=-（x-1）2+1，可从对称轴、顶点坐标、开口方向、最值、增减性等多方面去写出许多正确结论，任写三个即可；（2）存在m=2；（3）是结论开放题，答案有许多，如：抛物线 y=-（x-m）2+1与 x 轴总有交点，顶点纵坐标为 1 或函数最大值为 1 等例 10：如图 6，直线 ACBD，连结 AB，直线 AC，BD 及线段AB 把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点 P 落在某个部分时，连结 PA，PB，构成PAC，APB，PBD 三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0 角.）（1）当动点 P 落在第部分时，求证：APB=PAC+PBD；（2）当动点 P 落在第部分时，APB=PAC+PBD 是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点 P 在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD 之间的关系，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明解：（1）解法一：如图 6-，延长 BP 交直线 AC 于点 E，ACBD，PEA=PBD.APB=PAE+PEA，APB=PAC+PBD.解法二：如图 6-，过点 P 作 FPAC，PAC=APF.ACBD，FPBD.FPB=PBD.APB=APF+FPB=PAC+PBD.解法三：如图 6-，ACBD，CAB+ABD=1 8 0，即 PAC+PAB+PBA+PBD=1 8 0.又APB+PBA+PAB=1 8 0，APB=PAC+PBD.（2）不成立.（3）（a）当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是PBD=PAC+APB.（b）当动点 P 在射线 BA 上，结论是PBD=PAC+APB.或PAC=PBD+APB 或 APB=0，PAC=PBD（任写一个即可）（c）当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是PAC=APB+PBD.选择（a）证明：如图 6-，连接 PA，连接 PB 交 AC于 M，ACBD，PMC=PBD.又 PMC=PAM+APM，PBD=PAC+APB.GAFDBCEH图 5xyADBCEP图 6-ADBCFP图 6-ADCBP图 6-ADCBP图 6-M专 题ADBCADBCADBCP图 65黑龙江教育 中学教学案例与研究选择（b）证明：如图 6-，点 P 在射线 BA 上，APB=0.ACBD，PBD=PAC.PBD=PAC+APB.或PAC=PBD+APB，或 APB=0 ，PAC=PBD.选择（c）证明：如图 6-，连接 PA，连接 PB交 AC 于 F，ACBD，PFA=PBD.PAC=APF+PFA，PAC=APB+PBD.练习：1.代数式 m2-n2（mn0）的三个实际意义是：.2.多项式 x2+px+1 2 可分解为两个一次因式的积，整数 p 的值是.（写出一个即可.）3.请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式4.平移抛物线 y=x2+2 x-8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式.5.请给出一元二次方程 x2-8 x+=0 的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根6.已知 a=sin6 0，b=cos4 5，c=（12）-1，d=11+2姨，从 a、b、c、d 这 4 个数中任意选取 3 个数求和.7.如图 7，ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的点，BD 与 CE交于点 O.给出下列三个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明ABC 是等腰三角形8.在正方形 ABCD 中，点 P 是 CD上一动点，连结 PA，分别过点 B、D 作BEPA、DFPA，垂足分别为 E、F，如图 8-（1）请探索BE、DF、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系.若点 P 在 DC的延长线上（如图 8-），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点 P 在 CD 的延长线上呢（如图）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明四、创新题目的思维点1.创编的背景和载体原题：（人教版三年制数学教材八年级下册 1 0 0页第 7题）如图 9.A B BA,B C CB,C A AC,ABC 与B 有什么关系？线段 AB 与线段 AC 呢？2.创编过程第一问是利用两个全等的直角三角形拼出三个平行四边形的过程，或者是过三角形的三个顶点，分别作对边的平行线，三条平行线的交点即为所求的三个顶点.其中还隐含着三角形中位线定理.第二问主要引导学生，学会判断在坐标平面内的任意三点组构成的三角形是否是直角三角形，此题已知中把ABC设计为 9 0 这样也可以利用平行四边形的性质做题.第三问主要利用动点运动过程中，所产生的两个相似的直角三角形，利用相似中的正 A 斜 X，找出等量关系从而解得 t 值.3.创编题目的特点考查内容全面性：创编题目中涉及到的知识点，包括平行四边形的性质、判定，勾股定理逆定理，相似中的正 A 斜 X，相似三角形的判定.包含知识点全面，但连接紧密.知识综合创新性：创编题目虽然涉及到的知识点较多，但在解题过程中，知识点的内在联系紧密，合理，使得解题过程更有条理.对学生的启发性：把前后知识紧密联系在一起，对学生学习有指导性，和方向性多解问题是中考的重点内容，锻炼学生分析问题，全面考虑问题的习惯.4.创编题目及答案创编题目：例 11：如图 10 在平面直角坐标系中有三点 A（-1，0）、B（0，-2）、C（4，0）.（1）是否存在一点P 使以 A、B、C、P 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在求出 P点坐标.（2）把你得到的 P 点坐标顺次连接，形成了什么图形？并求ADCBP图 6-ADCBEFPADCBEFPADCBEFP图 8-图 8-图 8-专 题ADCBP图 6-xyANCBMO图 1 0CAABCB图 9ADCBE图 7O6黑龙江教育 中学教学案例与研究出此图形的面积.（3）若点 M 从 A 点向 B 点匀速运动，点 N 从 C点向 A 点匀速运动.速度均为 1c m/s.求 t 为何值时为AMN 直角三角形？创编题答案：解：（1）存在.如图 1 1，四边形 ABCP1为平行四边形时，点 B（0，-2）向左平移 1个单位向上平移 2 个单位得到 A（-1，0），点 C（4，0）向左平移 1 个单位向上平移 2 个单位得到 P1（3，2）.1 分四边形 ABCP2为平行四边形时，点 A（-1，0）向右平移 1个单位向下平移 2 个单位得到 B（0，-2)，点 C（4，0）向右平移1 个单位向下平移 2 个单位得到 P2（5，-2）.1 分四边形 ABCP3为平行四边形时，点 C（4，0）向左平移 4 个单位向下平移 2 个单位得到 B（0，-2），点 A（-1，0）向左平移 4 个单位向下平移 2 个单位得到 P3（-5，-2）.1 分（2）直角三角形.P1P2=（3-5）2+2-（-2）2姨=2 0姨，P1P3=3-（-5）2+2-（-2）2姨=8 0姨，P2P3=5-（-5）2姨=1 0，P1P22+P1P32=P2P32.P1P2P3为直角三角形.2 分SP1P2P3=12P1P2 P1P3=1225姨45姨=2 0.1 分（3）如图 1 2，当 时AMN=9 0 时，ABCAMN，ABAC=AMAN.即5姨5=t5-t，解 得 t=55姨-54.2 分当AMN=9 0 时，ACB AMN，ACAB=AMAN.即55姨=t5-t解 得 t=2 5-55姨4.2 分五、中考题目的监控点中考题目肯定是万变不离书本，题型、考查内容都有所变化.下面列举一些新题型.例 12：右图是由 16 个边长为 1 的正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段.点评：这是一道开放性的试题，形式新颖，依据图形和数学的基本知识，寻找符合要求的线段，着意考查学生观察和分析图形的能力，考查学生对于有理数和无理数的理解与认识，可以使学生进一步感受到这些数的真实存在.例 13：现有一块形如母子正方形的板材，木工师傅想先把它分割成几块，然后适当拼接，制成某种特殊形状的板面（要求板材不能有剩余，拼接时不重叠、无空隙），请你按下列要求，帮助木工师傅分别设计一种方案：（1）板面形状为非正方形的中心对称图形；（2）板面形状为等腰梯形；（3）板面形状为正方形.请在方格纸中的图形上画出分割线，在相应的下边的方格纸上面拼接后的图形.例 14：为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图.按规定，地下停车库道口上方要张贴先搞标志，以便告知停车人车辆能否驶入，为标明限高，请你根据该图计算 CE.（sin1 8=0.3 0 9 0，cos1 8=0.9 5 1 1，tan1 8=0.3 2 4 9，精确到 0.1 米.）E-m a i l:h i t 7 9 0 2 0 5 1 6 3.c o m笠编辑/张烨（1）（2）（3）专 题xyP1ACBP2P3O图 1 1xyANCBMO图 1 27