1951年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案.pdf
第 1 页 共 6 页1919191951515151 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：第一部分：1设有方程组 x+y=8，2x-y=7，求 x，y.解略：=35yx2 若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？证：设ABC的重心与外接圆的圆心均为O（图1）OA=OC，E 为 AC 的中点，BEAC；同理，CDAB，AFBC 王新敞在RtABE 与 RtACD中，A 为公共角，BE=CD=R+21R=23R（R 为外接圆半径），所以ABEACD，AB=AC，同理可得 AB=BC 王新敞由此可知ABC 为等边三角形 王新敞3当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为 1丈，则旗杆长为若干丈？解略：3丈 王新敞0)()()(:)()(,)(,:?,.4=+=+=+=tactcbtbazyxtactzcbytbaxtaczcbybaxzyxcbaaczcbybax由此可得则有设解则各不相等而若5试题 10道，选答 8 道，则选法有几种？解略：45810=c6若一点 P 的极坐标是（r,），则它的直角坐标如何？解：x=rcos,y=rsin 奎屯 新疆7若方程x2+2x+k=0 的两根相等，则 k=？解：由=b2-4ac=0,得 k=18列举两种证明两个三角形相似的方法 王新敞第 2 页 共 6 页答：略 王新敞9当（x+1)(x-2)0 时，x 的值的范围如何？解略：-1x210若一直线通过原点且垂直于直线 ax+by+c=0，求直线的方程 王新敞解略：bx-ay=011（x+x1)6展开式中的常数项如何？解：由通项公式可求得是 T4=20 奎屯 新疆1202cos=的通解是什么？解：).(4为整数kk=13系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个 奎屯 新疆14解：原式=1003)5(4)2(4550554)5(55430)2(=+15x2-4y2=1的渐近线的方程如何？解略：02=yx16 三平行平面与一直线交于A，B，C 三点，又与另一直线交于 A，B，C三点，已知AB=3，BC=7 及 AB=9 求 AAABBB1CCC1?345505542=第 3 页 共 6 页C 王新敞解：如图易证:3011=CACABAACABACAB17有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为 18 立方尺，求圆锥的体积 王新敞略：6 立方尺 王新敞18已知 lg2=0.3010,求 lg5.略：lg5=1-lg2=0.699019二抛物线y2=12x 与 2x2=3y 的公共弦的长度是多少？解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：5320国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？解：由图可知：AFG=C+E=2C,AGF=B+D=2B,A+AFG+AGF=A+2C+2B=5A5A=1800，A=360第二部分：第二部分：1P，Q，R 顺次为ABC中 BC，CA，AB 三边的中点，求证圆 ABC 在A 点的切线与圆 PQR在 P 点的切线平行 奎屯 新疆证：如图：由 AD 是大圆的切线，可得：1=2 王新敞由 RQBC，可得：2=3，第 4 页 共 6 页由 QPAB，可得：3=4 王新敞由 PE 是小圆的切线，可得：4=5 王新敞由 RPAC，可得：5=6 王新敞综上可得：1=6，故 ADPE 王新敞2设ABC 的三边 BC=4pq,CA=3p2+q2,AB=3p2+2pq-q2,求B，并证B为A 及C 的等差中项 王新敞解：由余弦定理可得：.CABA,-B 60)180(60B 214)23(2)3()4()23(2cos222222222222的等差中项与是=+=+=ABBABCpqqpqpqppqqpqpBCABCABCABB3（1）求证，若方程 x3+ax2+bx+c=0 的三根可排成等比数列，则 a3c=b3.证：设，是方程 x3+ax2+bx+c=0 的三根，由根与系数关系可知：+=-a+=b=-c又因，排成等比数列，于是2=王新敞33333233a )()()(bccab=+=+=+=此即（2）已知方程 x3+7x2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根 王新敞解：由可知3=-c，3=27，=3 王新敞代入+=-7第 5 页 共 6 页可得+=-10，又由，成等比数列，2=，即=9，故可得方程组：=+.91,19,910或或可得解之于是，所求之三根为-9，3，-1 或-1，3，-9 奎屯 新疆4过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线 王新敞证：设抛物线方程为y2=2px过抛物线顶点 O任作互相垂直的二弦OA和OB，设 OA的斜率为k，则直线 OB 的斜率为-k1，于是直线 OA 的方程为：y=kx直线 OB的方程为：xky1=设点 A（x1,y1),点 B(x2,y2)由，可得：.2,2121kpykpx=由，可得：x2=2pk2,y2=-2pk设 P（x，y）为 AB 的中点，由上可得：YAP（x,y)OXBpkkpyyypkkpxxx=+=+=+=22212221第 6 页 共 6 页由可得：由可知：px2222kpkp+=,代入 ,2p-pxy 22222222222=+=即ppxpkpkpy所以，点 P 的轨迹为一抛物线 王新敞2222222kppkpy+=
