《角平分线的性质》PPT课件.ppt

12.3角平分线的性质（一）角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角OBAC平分线。平分线。OBACAOC=AOC=BOCBOCAOB=2AOB=2AOC=2AOC=2BOCBOC 不利用工具，请你将一张用纸不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？么办法？AOBC活活 动动1 再再再再打打打打开开开开纸纸纸纸片片片片 ，看看看看看看看看折折折折痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？（对折对折）1、如如图图，是是一一个个角角平平分分仪仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将将点点A放放在在角角的的顶顶点点,AB和和AD沿沿着着角角的的两两边边放放下下,沿沿AC画画一一条条射射线线AE,AE就就是是角角平平分分线线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如如果果前前面面活活动动中中的的纸纸片片换换成成木木板板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？p2、证明：在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共边）（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等）AC平分平分DAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE把简易平分角的仪器放在角的两把简易平分角的仪器放在角的两把简易平分角的仪器放在角的两把简易平分角的仪器放在角的两边时，（边时，（边时，（边时，（1 1）平分角的仪器两边）平分角的仪器两边）平分角的仪器两边）平分角的仪器两边ABAB与与与与ADAD相等，从几何作图角度相等，从几何作图角度相等，从几何作图角度相等，从几何作图角度怎么画？（怎么画？（怎么画？（怎么画？（2 2）BC=DCBC=DC，从几何，从几何，从几何，从几何作图角度怎么画？作图角度怎么画？作图角度怎么画？作图角度怎么画？BADC 探究体验探究体验A A作法:以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.分别以M,N为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧在AOB的内部交于点C.作射线OC,射线射线OC即为所求即为所求.0温馨提示温馨提示:作角平分线是最基本的作角平分线是最基本的尺规作图尺规作图,大家一定要掌握噢大家一定要掌握噢!试一试试一试由上面的探究可以得出作已知角的由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法平分线的方法已知:AOB.求作:AOB的平分线.将将 AOB对折对折,再折出一个直角三角形再折出一个直角三角形(使使第一条折痕为斜边第一条折痕为斜边),然后展开然后展开,观察两次折观察两次折叠形成的三条折痕叠形成的三条折痕,你能得到什么结论你能得到什么结论?OABAOBED探究探究2-做一做做一做 已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD OA，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E.求证：求证：PD=PE.AOBPED证一证证一证已知：已知：AOC=BOC，点，点P在在OC上，上，PD OA于于D，PE OB于于E求证求证:PD=PEAOBEDP PC PDOAPDOA，PEOBPEOB证明：证明：PDO=PEO=90在在PODPOD和和PEOPEO中中 PDOPEO（AAS）PDOPEO AOCBOC OP=OP PDPE角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等你能用文字语言叙述一下发现的结论吗你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？说一说AOBPEDPD OA，PE OB OP平分平分AOB PD=PE.用符号表示为：用符号表示为：如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）（已知）=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。不必再证全等不必再证全等练习练习3 3如图，如图，OC是是 AOB的平分线，的平分线，又又 _ PD=PE ()PD OA，PE OBBOACDPE 角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路 1 1、如如 图图,OC,OC是是 AOBAOB的的 平平 分分 线线,点点 P P在在 OCOC上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂垂足足分分别别是是D D、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC4例例1:1:如图，在如图，在ABCABC中，中，C C90900 0，ADAD平分平分BACBAC交交BCBC于点于点DD，若，若BCBC8,BD8,BD5 5，则点，则点D D到到ABAB的距离为？的距离为？A AC CD DB BE EE例例2 2：如图，：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交相交于点于点P P。求证：点。求证：点P P到三角形三边的距离均相等。到三角形三边的距离均相等。ABCPEFGMN例例3 3：在：在OABOAB中，中，OEOE是是 AOBAOB的角平分线，的角平分线，且且EA=EBEA=EB，ECEC、EDED分别垂直分别垂直OAOA，OBOB，垂足，垂足为为C C，D D，求证：，求证：AC=BDAC=BD。O OA AB BE EC CD D教学内容教学内容教学内容教学内容9 9 9 9例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解变题变题变题变题1 1 1 1如图，如图，如图，如图，ABCABC中，中，中，中，C C9090，ADAD是是是是BACBAC的平分线，的平分线，的平分线，的平分线，DEDEABAB于于于于E E，F F 在在在在ACAC上，且上，且上，且上，且BD=DFBD=DF，求证：，求证：，求证：，求证：CF=EBCF=EB.A AF FC CD DB BE E 合作交流合作交流变题变题变题变题2 2 2 2如图，如图，如图，如图，ABCABC中，中，中，中，C C9090，ADAD是是是是BACBAC的平分线，的平分线，的平分线，的平分线，DEDEABAB于于于于E E，BC=8BC=8，BD=5BD=5，求，求，求，求DEDE.A AC CD DB BE E变变变变 题题题题 1 1 如如 图图：在在 ABC中中，C=90 AD是是BAC的的平平分分线线，DEAB于于 E，F在在 AC上上，BD=DF；求证：求证：CF=EBACDEBF 分分析析:要要证证CF=EB,首首先先我我们们想想到到的的是是要要证证它它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB.现现已已有有一一个个条条件件BD=DF(斜斜边边相相等等),还还需需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE(因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质)再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！A A0 0B BM MN NP PC C1 1、如图，、如图，OCOC平分平分AOBAOB，PMOBPMOB于点于点MM，PNOAPNOA于点于点N N，POMPOM的面积为的面积为6 6，OM=6OM=6，则则PN=_PN=_。22 2、如图、如图:ABC:ABC中中,C=90,C=900 0，ADAD是是BACBAC的平分线，的平分线，DEABDEAB于于E E，F F在在ACAC上，上，BD=DFBD=DF，求证：，求证：CF=EBCF=EB A AC CD DB BE EF3 3、如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=CBAC=CB，ADAD为为BACBAC的平分线，的平分线，DEABDEAB于点于点E E。求证：求证：DBEDBE的周长等于的周长等于ABAB。ABCDEB 思考：思考：如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意上任意一点一点,问问PE=PD?为什么为什么?OAEDCPPD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等所以不一定相等.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度要使这个度假村到三条公路的距离相等假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？应在何处修建？练习练习1：如图，如图，的的的外角的平的外角的平分线与分线与的外角的平分线相交于的外角的平分线相交于点求证：点到三边，点求证：点到三边，所在直线的距离相等所在直线的距离相等F FGH丰收乐园丰收乐园这节课我们学习了哪些知识？这节课我们学习了哪些知识？1、“作已知角的平分线作已知角的平分线”的尺规作图法；的尺规作图法；2、角的平分线的性质：、角的平分线的性质：111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。OC是是AOB的平分线的平分线,又又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点角的平分线上的点到到角的两边距离相等角的两边距离相等).EDOABPC几何语言几何语言:回味无穷回味无穷w定理（文字语言）定理（文字语言）:角平分线角平分线上的点到这个角的两边的距离上的点到这个角的两边的距离相等相等.w符号语言：符号语言：w1 12 PDOA,PEOB2 PDOA,PEOB(已知）已知）wPD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).).w用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.OCB1A2PDE练习练习2：如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.CDABOP知识拓展知识拓展 如图，在如图，在ABC中，中，AC=BC，C=90，AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAB，垂足为，垂足为E。（1）已知）已知CD=4cm，求，求AC的长；的长；（2）求证：）求证：AB=AC+CDBACDE