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统计学第五章平均指标第1页，共48页，编辑于2022年，星期二平均指标按计算方法分类平均指标按计算方法分类 算术平均数算术平均数 调和平均数调和平均数 几何平均数几何平均数 数值平均数数值平均数位置平均数位置平均数众数众数中位数中位数二、平均指标的计算与应用二、平均指标的计算与应用第2页，共48页，编辑于2022年，星期二算术平均数的学习要点算术平均数的学习要点q算术平均数算术平均数q基本含义基本含义q两种算术两种算术q平均数平均数q的计算公式的计算公式q两种算术两种算术q平均数平均数q的适用条件的适用条件q加权算术加权算术q平均数平均数q的影响因素分析的影响因素分析q数学性质数学性质第3页，共48页，编辑于2022年，星期二基本形式：基本形式：例：例：它表明平均每一个单位所分担的标志它表明平均每一个单位所分担的标志值是多少。值是多少。（一）算术平均数（一）算术平均数第4页，共48页，编辑于2022年，星期二【例例】某企业某日工人的日产量资料如下：某企业某日工人的日产量资料如下：日产量日产量日产量日产量（件）（件）（件）（件）10101111121213131414计算该企业该日全部工人的平均日产量。计算该企业该日全部工人的平均日产量。日产量日产量日产量日产量（件）（件）（件）（件）工人人数工人人数工人人数工人人数（人）（人）（人）（人）101011111212131314147070100100380380150150100100合计合计合计合计800800情况情况情况情况1 1情况情况情况情况2 2第5页，共48页，编辑于2022年，星期二适用于总体资料未经分组整适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况理、尚为原始资料的情况式中：式中：为算术平均数为算术平均数;为总体单位总数；为总体单位总数；为第为第 个单位的标志值。个单位的标志值。A.简单算术平均数简单算术平均数第6页，共48页，编辑于2022年，星期二平均每人日销售额为：平均每人日销售额为：简单算术平均数的计算实例简单算术平均数的计算实例某售货小组某售货小组5 5个人，某天的销售额个人，某天的销售额分别为分别为520520元、元、600600元、元、480480元、元、750750元、元、440440元，则元，则【例例】第7页，共48页，编辑于2022年，星期二【例例】某企业某日工人的日产量资料如下：某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）日产量（件）日产量（件）日产量（件）工人人数（人）工人人数（人）工人人数（人）工人人数（人）101011111212131314147070100100380380150150100100合计合计合计合计800800计算该企业该日全部工人的平均日产量。计算该企业该日全部工人的平均日产量。加权算术平均数的计算实例加权算术平均数的计算实例第8页，共48页，编辑于2022年，星期二适用于总体资料经过分适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况组整理形成变量数列的情况式中：式中：为算术平均数为算术平均数;为第为第 组的次数；组的次数；为组数；为组数；为第为第 组的标志值或组中值。组的标志值或组中值。B.加权算术平均数加权算术平均数第9页，共48页，编辑于2022年，星期二解：解：加权算术平均数的实例分析加权算术平均数的实例分析若上述资料为组距数列，则应取各组的组若上述资料为组距数列，则应取各组的组中值作为该组的代表值用于计算；此时求中值作为该组的代表值用于计算；此时求得的算术平均数只是其真值的近似值。得的算术平均数只是其真值的近似值。说说明明第10页，共48页，编辑于2022年，星期二分析：分析：加权算术平均数的影响因素分析加权算术平均数的影响因素分析各组权数各组权数各组权数各组权数各组变量值各组变量值各组变量值各组变量值第11页，共48页，编辑于2022年，星期二丙班丙班乙班乙班甲班甲班203911002013960人数（人）人数（人）f成绩（分）成绩（分）x404040合计合计思考题思考题:依据下例依据下例,分析说明算术平均数的影响因素分析说明算术平均数的影响因素第12页，共48页，编辑于2022年，星期二808099996161平均成绩（分）平均成绩（分）平均成绩（分）平均成绩（分）丙班丙班乙班乙班甲班甲班203911002013960人数（人）人数（人）f成绩（分）成绩（分）x思考题思考题:依据下例依据下例依据下例依据下例,分析说明算术平均数的影响因素分析说明算术平均数的影响因素第13页，共48页，编辑于2022年，星期二表现为次数、频数、单位数；即表现为次数、频数、单位数；即公式公式 中的中的表现为频率、比重；即公式表现为频率、比重；即公式中的中的加权算术平均数的计算方法归纳加权算术平均数的计算方法归纳变量数列中各组标志值出现的次数变量数列中各组标志值出现的次数（频率），反映了各组的标志值对（频率），反映了各组的标志值对平均数的影响程度。平均数的影响程度。权数权数绝对权数绝对权数相对权数相对权数第14页，共48页，编辑于2022年，星期二比重权数比重权数比重权数比重权数丁班丁班丁班丁班f甲班甲班甲班甲班f1/401/40121239/4039/403923926060思考题思考题:依据下例依据下例,分析权数对算术平均数的影响分析权数对算术平均数的影响1 11001003939人数（人）人数（人）成绩（分）成绩（分）x100%40240合计合计6060第15页，共48页，编辑于2022年，星期二算术平均数的主要数学性质算术平均数的主要数学性质1n即：即：或或n算术平均数与标志值个数的乘积等于算术平均数与标志值个数的乘积等于?n算术平均数与标志值个数的乘积等于算术平均数与标志值个数的乘积等于各标志值的总和。各标志值的总和。第16页，共48页，编辑于2022年，星期二算术平均数的主要数学性质算术平均数的主要数学性质2n变量值与其算术平均数的离差之和恒等于零。变量值与其算术平均数的离差之和恒等于零。n即：即：或或第17页，共48页，编辑于2022年，星期二算术平均数的主要数学性质算术平均数的主要数学性质3n变变量量值值与与其其算算术术平平均均数数的的离离差差平平方方和和为为最最小。小。n即：即：或或第18页，共48页，编辑于2022年，星期二离差的概念离差的概念12345678-1-1-213第19页，共48页，编辑于2022年，星期二几何平均数的学习要点几何平均数的学习要点q几何平均数几何平均数q基本含义及公式基本含义及公式q适用条件适用条件第20页，共48页，编辑于2022年，星期二是是n n项变量值连乘积的开项变量值连乘积的开n n次次方根方根几何平均数几何平均数用于计算现象的平均比率或平均速度用于计算现象的平均比率或平均速度应用：应用：n各个比率或速度的连乘积等于总比率或总各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；速度；n相乘的各个比率或速度不为零或负值。相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条件：应用的前提条件：（三）几何平均数（三）几何平均数第21页，共48页，编辑于2022年，星期二A.简单几何平均数简单几何平均数式中：式中：为几何平均数为几何平均数;为变量值的为变量值的个数；个数；为第为第 个变量值。个变量值。几何平均数的计算方法几何平均数的计算方法第22页，共48页，编辑于2022年，星期二【例例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为某日各工序产品的合格率分别为9595、9292、9090、8585、8080，求整个流水生产线产品的，求整个流水生产线产品的平均合格率。平均合格率。分析：分析：设经过第一道工序生产出设经过第一道工序生产出A个单位个单位，则，则第一道工序的合格品为第一道工序的合格品为A0.95；第二道工序的合格品为第二道工序的合格品为（A0.95）0.92；第五道工序的合格品为第五道工序的合格品为（A0.950.920.900.85）0.80；第23页，共48页，编辑于2022年，星期二因该流水线的最终合格品即为第五道工序因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，的合格品，故该流水线总的合格品应为故该流水线总的合格品应为 A0.950.920.900.850.80；则该流水线产品总的合格率为：则该流水线产品总的合格率为：即即该流水线总的合格率等于各工序合格率的该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算采用几何平均法计算。第24页，共48页，编辑于2022年，星期二求解平均合格率求解平均合格率第25页，共48页，编辑于2022年，星期二B.加权几何平均数加权几何平均数适用于各变量值出现的次数不适用于各变量值出现的次数不同的情况同的情况式中：式中：为几何平均数为几何平均数;为第为第 组的次数；组的次数；为组数；为组数；为第为第 组的标志值或组中值。组的标志值或组中值。几何平均数的计算方法几何平均数的计算方法第26页，共48页，编辑于2022年，星期二【例例】某金融机构以复利计息。近某金融机构以复利计息。近12年来的年利率前年来的年利率前4年为年为3，下，下2年为年为5，下，下2年为年为8，下，下3年为年为10，最，最后后1年为年为15。求平均年利率。求平均年利率。设本金为设本金为V，则至各年末的本利和应为：，则至各年末的本利和应为：第第1年末的本利和为：年末的本利和为：第第2年末的本利和为：年末的本利和为：第第12年末的本利和为：年末的本利和为：分析：分析：第第2年的年的计息基础计息基础第第12年的年的计息基础计息基础第27页，共48页，编辑于2022年，星期二则该笔本金则该笔本金12年总的本利率为：年总的本利率为：即即即即1212年总本利率等于各年本利率的连乘积年总本利率等于各年本利率的连乘积年总本利率等于各年本利率的连乘积年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均，符合几何平均，符合几何平均，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。解：解：第28页，共48页，编辑于2022年，星期二思思考考若上题中不是按复利而是按若上题中不是按复利而是按单利单利计息计息，且各年的利率与上相同，且各年的利率与上相同，求平均年利率。求平均年利率。第29页，共48页，编辑于2022年，星期二思思考考若上题中不是按复利而是按若上题中不是按复利而是按单利单利计息计息，且各年的利率与上相同，且各年的利率与上相同，求平均年利率。求平均年利率。分分析析第第1年末的应得利息为年末的应得利息为：第第2年末的应得利息为年末的应得利息为：第第12年末的应得利息为：年末的应得利息为：设本金为设本金为V，则各年末应得利息为：，则各年末应得利息为：第30页，共48页，编辑于2022年，星期二则该笔本金则该笔本金12年应得的利息总和为：年应得的利息总和为：=V（0.034+0.052+0.151）这里的利息率或本利率不再符合几何平这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为的方法计算。因为假定本假定本金为金为V 第31页，共48页，编辑于2022年，星期二所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：息率，即：解：解：（比较：按复利计息时的平均年利率为（比较：按复利计息时的平均年利率为6.85）第32页，共48页，编辑于2022年，星期二指总体中出现次数最多的变量指总体中出现次数最多的变量值，用值，用 表示表示,它不受极端数它不受极端数值的影响，用来说明总体中大值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。多数单位所达到的一般水平。众数众数（四）众数（四）众数第33页，共48页，编辑于2022年，星期二日产量（件）日产量（件）工人人数（人）工人人数（人）101112131470100380150100合计合计800【例例A A】已知已知某企业某日工人的日产量资料如下某企业某日工人的日产量资料如下:众数的确定众数的确定（对品质数列或单项数列）（对品质数列或单项数列）计算该企业该日全部工人日产量的众数。计算该企业该日全部工人日产量的众数。第34页，共48页，编辑于2022年，星期二众数的确定众数的确定（等距数列）（等距数列）【例例B B】某车间某车间5050名工人月产量的资料如下：名工人月产量的资料如下：月产量（件）月产量（件）月产量（件）月产量（件）工人人数（人）工人人数（人）工人人数（人）工人人数（人）向上累计次数向上累计次数向上累计次数向上累计次数（人）（人）（人）（人）200200以下以下以下以下200200400400400400600600600600以上以上以上以上3 37 732328 83 3101042425050合计合计合计合计5050计算该车间工人月产量的众数。计算该车间工人月产量的众数。第35页，共48页，编辑于2022年，星期二众数的众数的不唯一性不唯一性n n无众数无众数一个众数一个众数多于一个众数多于一个众数第36页，共48页，编辑于2022年，星期二n当数据分布存在明显的集中趋势，且有显当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；著的极端值时，适合使用众数；众数的原理及应用众数的原理及应用n当数据分布的集中趋势不明显或存在当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数也等于没有众数）。）。第37页，共48页，编辑于2022年，星期二将总体各单位标志值按大小顺将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位序排列后，指处于数列中间位置的标志值，用置的标志值，用 表示表示中位数中位数（五）中位数（五）中位数第38页，共48页，编辑于2022年，星期二中位数的位次为：中位数的位次为：即第即第3个单位的标志值就是中位数个单位的标志值就是中位数【例例A A】某售货小组某售货小组5 5个人，某天的销售额按个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为从小到大的顺序排列为440440元、元、480480元、元、520520元、元、600600元、元、750750元，则元，则中位数的确定中位数的确定（未分组资料）（未分组资料）第39页，共48页，编辑于2022年，星期二中位数的位次为：中位数的位次为：中位数应为第中位数应为第3和第和第4个单位标志值的算术平均数，个单位标志值的算术平均数，即即【例例B B】若上述售货小组为若上述售货小组为6 6个人，某天的销个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为售额按从小到大的顺序排列为440440元、元、480480元、元、520520元、元、600600元、元、750750元、元、760760元，则元，则中位数的确定中位数的确定（未分组资料）（未分组资料）第40页，共48页，编辑于2022年，星期二【例例C C】某企业某日工人的日产量资料如下：某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）日产量（件）日产量（件）日产量（件）工人人数（人）工人人数（人）工人人数（人）工人人数（人）向上累计次数向上累计次数向上累计次数向上累计次数（人）（人）（人）（人）1010111112121313141470701001003803801501501001007070170170550550700700800800合计合计合计合计800800计算该企业该日全部工人日产量的中位数。计算该企业该日全部工人日产量的中位数。中位数的位次：中位数的位次：中位数的确定中位数的确定（单项数列）（单项数列）第41页，共48页，编辑于2022年，星期二中位数的确定中位数的确定（组距数列）（组距数列）【例例D D】某车间某车间5050名工人月产量的资料如下：名工人月产量的资料如下：月产量（件）月产量（件）月产量（件）月产量（件）工人人数（人）工人人数（人）工人人数（人）工人人数（人）向上累计次数向上累计次数向上累计次数向上累计次数（人）（人）（人）（人）200200以下以下以下以下200200400400400400600600600600以上以上以上以上3 37 732328 83 3101042425050合计合计合计合计5050计算该车间工人月产量的中位数。计算该车间工人月产量的中位数。第42页，共48页，编辑于2022年，星期二中位数的主要性质中位数的主要性质1.1.具有惟一性。同均值一样一组数据只有一个中位具有惟一性。同均值一样一组数据只有一个中位数。数。2.2.不受极端值影响。当一组数据出现极端值时它适不受极端值影响。当一组数据出现极端值时它适于作为集中趋势的测度指标。于作为集中趋势的测度指标。第43页，共48页，编辑于2022年，星期二(六六)算术平均数和众数、中位数的关系算术平均数和众数、中位数的关系n右右偏偏(正正偏偏)时时，算算术术平平均均数数受受极极大大值值的影响，有：的影响，有：n左左偏偏(负负偏偏)时时，算算术术平平均均数数受受极极小小值值的影响，有：的影响，有：n对称钟型分布：对称钟型分布：n非非对对称称钟钟型型分分布布：三三者者通通常常不不等等，其其差差别别取决于偏斜的方向和程度。取决于偏斜的方向和程度。第44页，共48页，编辑于2022年，星期二第45页，共48页，编辑于2022年，星期二众数、中位数和均值的关系众数、中位数和均值的关系(图示图示)左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布均值均值均值均值均值均值 中位数中位数中位数中位数中位数中位数 众数众数众数众数众数众数对称分布对称分布对称分布对称分布对称分布对称分布 均值均值均值均值均值均值=中位数中位数中位数中位数中位数中位数=众数众数众数众数众数众数众数众数众数众数众数众数右偏分布右偏分布右偏分布右偏分布右偏分布右偏分布 中位数中位数中位数中位数中位数中位数 均值均值均值均值均值均值第46页，共48页，编辑于2022年，星期二算术平均数和众数、中位数的数量关系算术平均数和众数、中位数的数量关系皮尔逊经验规则：皮尔逊经验规则：在适度偏斜的钟型分布情形下，中位数一在适度偏斜的钟型分布情形下，中位数一般介于众数与算术平均数之间；且中位数般介于众数与算术平均数之间；且中位数与算术平均数的距离，大约只是中位数与与算术平均数的距离，大约只是中位数与众数之距离的一半。众数之距离的一半。第47页，共48页，编辑于2022年，星期二因此，该零件的直径分布为右偏因此，该零件的直径分布为右偏【例例】某车间生产的一批零件中，直径大于某车间生产的一批零件中，直径大于402402厘米的占一半，众数为厘米的占一半，众数为400400厘米，试估计厘米，试估计其平均数，并判定其偏斜方向。其平均数，并判定其偏斜方向。算术平均数和众数、中位数的数量关系算术平均数和众数、中位数的数量关系已知已知Me=402，Mo=400第48页，共48页，编辑于2022年，星期二